23.1. Определенный интеграл Римана

    Напомним, что множество точек отрезка [a,b] таких, что

a = x0 < x1 < ... < < = b,

называется разбиением отрезка [a,b], a принадлежит R, b принадлежит R.
    Точки xk называются точками разбиения tau, отрезки [xk-1,xk] - отрезками разбиения tau; их длины обозначаются дельтаxk, т. е. дельтаxk = xk - xk-1, k = 1, 2, ..., , а число

|tau| определение max{дельтаx1, дельтаx2, ...дельта}

называемся мелкостью разбиения tau.
    Разбиение называется разбиением, вписанным в разбиение tau, если tau принадлежит tau*, т. е. если каждая точка разбиения tau содержится в разбиении tau*. В этом случае каждый отрезок [,Image998b.gif (895 bytes)] разбиения содержится в некотором отрезке [xj-1,xj] разбиения tau, j = 1, 2, ..., .
    Разбиение tau*, вписанное в разбиение tau, называется также разбиением, следующим за разбиением tau, и пишут tau* tau. В этом случае говорят также, что разбиение tau предшествует разбиению tau*, и пишут tau tau*.
    Существенными являются следующие два свойства разбиений отрезка.
    1o. Если tau tau', а tau' tau", то tau tau".
началоДействительно, если каждый отрезок разбиения tau" содержится в некотором отрезке разбиения tau', а каждый отрезок разбиения tau' содержится в некотором отрезке разбиения tau, то каждый отрезок разбиения tau" содержится в соответствующем отрезке разбиения tauконец
    2o. Для любых разбиений tau' и tau" существует такое разбиение tau, что tau tau'   и tau tau".
началоВ самом деле, таким разбиением является, например, разбиение, состоящее из всех точек обоих разбиений tau' и tau"конец
    Пусть функция f определена на отрезке [a,b], a < b, и  - некоторое разбиение этого отрезка. Всякая сумма вида

   ksik принадлежит [xk-1,xk],    k = 1, 2, ..., ,

называется интегральной суммой Римана функции f.

Рис. 102
Рис. 102

     В случае если функция f неотрицательна, то интегральная сумма равна площади фигуры, составленной из прямоугольников с основанием [xk-1,xk] и высотой длины f(ksik) (рис. 102).
    Определение 1. Функция f называется интегрируемой по Риману на отрезке [a,b], если для любой последовательности разбиений

n = 1, 2, ...,

отрезка [a,b], мелкость которых стремится к нулю: |taun| = 0 , и для любого выбора точек , k = 1, 2, ..., , последовательности интегральных сумм

n = 1, 2, ...,

имеют и притом один и тот же предел.
    Этот предел называется интегралом Римана функции f по отрезку [a,b]. Его обозначают и пишут

= .

(23.1)

Согласно определению это означает, что если

, ,
k = 1, 2, ..., ,

то

= ,

если только |taun| = 0.
    Можно сформулировать определение интеграла Римана, и не используя понятия предела последовательности, а, как говорят, на "языке эпсилон-дельта".
    Определение 2. Число I называется интегралом Римана от функции f на отрезке [a,b], если для любого эпсилон > 0 существует такое дельта > 0, что, каково бы ни было разбиение отрезка [a,b], мелкость которого меньше дельта: |tau| < дельта, и каковы бы ни были точки ksik принадлежит [xk-1,xk] , k = 1, 2, ..., , выполняется неравенство

|2301_15.gif (1048 bytes) - I| < эпсилон.

    Аналогично равносильности определений предела функции в терминах последовательностей и в терминах окрестностей доказывается и равносильность определений 1 и 2 интеграла Римана. Это рекомендуется читателю проделать самостоятельно.
    В интеграле число a называется нижним, а число b - верхним пределом интегрирования. В дальнейшем для краткости вместо "функция, интегрируемая по Риману", будем говорить "интегрируемая функция", а вместо "интеграл Римана" - просто "интеграл". Дополним определение интеграла следующими соглашениями. Если функция f задана в точке x = a, то по определению = 0 . Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то положим

определение .


Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям Оглавление Ограниченность интегрируемых функций