23.1. Определенный интеграл Римана

    Напомним, что множество точек отрезка [a,b] таких, что

a = x₀ < x₁ < ... < < = b,

называется разбиением отрезка [a,b], a R, b R.
    Точки x_k называются точками разбиения , отрезки [x_k-1,x_k] - отрезками разбиения ; их длины обозначаются x_k, т. е. x_k = x_k - x_k-1, k = 1, 2, ..., , а число

|| max{x₁, x₂, ...}

называемся мелкостью разбиения .
    Разбиение называется разбиением, вписанным в разбиение , если *, т. е. если каждая точка разбиения содержится в разбиении *. В этом случае каждый отрезок [,] разбиения содержится в некотором отрезке [x_j-1,x_j] разбиения , j = 1, 2, ..., .
    Разбиение *, вписанное в разбиение , называется также разбиением, следующим за разбиением , и пишут * . В этом случае говорят также, что разбиение предшествует разбиению *, и пишут *.
    Существенными являются следующие два свойства разбиений отрезка.
    1^o. Если ', а ' ", то ".
Действительно, если каждый отрезок разбиения " содержится в некотором отрезке разбиения ', а каждый отрезок разбиения ' содержится в некотором отрезке разбиения , то каждый отрезок разбиения " содержится в соответствующем отрезке разбиения . 
    2^o. Для любых разбиений ' и " существует такое разбиение , что '   и ".
В самом деле, таким разбиением является, например, разбиение, состоящее из всех точек обоих разбиений ' и ". 
    Пусть функция f определена на отрезке [a,b], a < b, и  - некоторое разбиение этого отрезка. Всякая сумма вида

   _k [x_k-1,x_k],    k = 1, 2, ..., ,

называется интегральной суммой Римана функции f.

     В случае если функция f неотрицательна, то интегральная сумма равна площади фигуры, составленной из прямоугольников с основанием [x_k-1,x_k] и высотой длины f(_k) (рис. 102).
    Определение 1. Функция f называется интегрируемой по Риману на отрезке [a,b], если для любой последовательности разбиений

,  n = 1, 2, ...,

отрезка [a,b], мелкость которых стремится к нулю: |_n| = 0 , и для любого выбора точек , k = 1, 2, ..., , последовательности интегральных сумм

,  n = 1, 2, ...,

имеют и притом один и тот же предел.
    Этот предел называется интегралом Римана функции f по отрезку [a,b]. Его обозначают и пишут

Согласно определению это означает, что если

, ,
k = 1, 2, ..., ,

то

= ,

если только |_n| = 0.
    Можно сформулировать определение интеграла Римана, и не используя понятия предела последовательности, а, как говорят, на "языке -".
    Определение 2. Число I называется интегралом Римана от функции f на отрезке [a,b], если для любого > 0 существует такое > 0, что, каково бы ни было разбиение отрезка [a,b], мелкость которого меньше : || < , и каковы бы ни были точки _k [x_k-1,x_k] , k = 1, 2, ..., , выполняется неравенство

| - I| < .

    Аналогично равносильности определений предела функции в терминах последовательностей и в терминах окрестностей доказывается и равносильность определений 1 и 2 интеграла Римана. Это рекомендуется читателю проделать самостоятельно.
    В интеграле число a называется нижним, а число b - верхним пределом интегрирования. В дальнейшем для краткости вместо "функция, интегрируемая по Риману", будем говорить "интегрируемая функция", а вместо "интеграл Римана" - просто "интеграл". Дополним определение интеграла следующими соглашениями. Если функция f задана в точке x = a, то по определению = 0 . Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то положим

.

Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям Оглавление Ограниченность интегрируемых функций