Напомним, что множество точек отрезка [a,b]
таких, что
a = x0 < x1 < ... < <
= b,
называется разбиением отрезка [a,b],
a R, b
R.
Точки xk называются точками
разбиения , отрезки [xk-1,xk] -
отрезками разбиения
; их
длины обозначаются
xk,
т. е.
xk = xk - xk-1,
k = 1, 2, ...,
, а
число
||
max{
x1,
x2, ...
}
называемся мелкостью разбиения .
Разбиение
называется разбиением, вписанным в
разбиение
, если
*, т. е. если каждая точка
разбиения
содержится в
разбиении
*. В этом случае
каждый отрезок [
,
]
разбиения содержится в некотором отрезке [xj-1,xj]
разбиения
, j = 1, 2, ...,
.
Разбиение *,
вписанное в разбиение
,
называется также разбиением, следующим за
разбиением
, и пишут
*
. В этом случае говорят также, что разбиение
предшествует разбиению
*, и пишут
*.
Существенными являются следующие два
свойства разбиений отрезка.
1o. Если
', а
'
", то
".
Действительно, если
каждый отрезок разбиения
"
содержится в некотором отрезке разбиения
', а каждый отрезок
разбиения
'
содержится в некотором отрезке разбиения
, то каждый отрезок разбиения
" содержится в
соответствующем отрезке разбиения
.
2o. Для любых разбиений ' и
"
существует такое разбиение
,
что
' и
".
В самом деле, таким
разбиением является, например, разбиение,
состоящее из всех точек обоих разбиений
' и
".
Пусть функция f
определена на отрезке [a,b], a < b,
и - некоторое
разбиение этого отрезка. Всякая сумма
вида
k
[xk-1,xk],
k = 1, 2, ...,
,
называется интегральной суммой Римана функции f.
|
В случае если функция f
неотрицательна, то интегральная сумма равна площади фигуры,
составленной из прямоугольников с основанием [xk-1,xk]
и высотой длины f(
k)
(рис. 102).
Определение 1. Функция f
называется интегрируемой по Риману на отрезке [a,b], если
для любой последовательности разбиений
, n = 1,
2, ...,
отрезка [a,b], мелкость которых
стремится к нулю: |
n| = 0 , и для любого
выбора точек
, k = 1,
2, ...,
,
последовательности интегральных сумм
, n = 1,
2, ...,
имеют и притом один и тот же предел.
Этот предел называется интегралом
Римана функции f по отрезку [a,b].
Его обозначают и пишут
|
(23.1) |
Согласно определению это означает, что если
,
,
k = 1, 2, ..., ,
то
=
,
если только |
n| = 0.
Можно сформулировать определение
интеграла Римана, и не используя понятия предела
последовательности, а, как говорят, на "языке -
".
Определение 2. Число I
называется интегралом Римана от функции f
на отрезке [a,b], если для любого > 0 существует такое
> 0, что, каково бы ни было
разбиение
отрезка [a,b],
мелкость которого меньше
: |
| <
, и каковы бы ни были точки
k
[xk-1,xk]
, k = 1, 2, ...,
,
выполняется неравенство
| - I| <
.
Аналогично равносильности
определений предела функции в терминах
последовательностей и в терминах окрестностей
доказывается и равносильность определений 1 и 2
интеграла Римана. Это рекомендуется читателю
проделать самостоятельно.
В интеграле число a называется нижним, а
число b - верхним пределом
интегрирования. В дальнейшем для краткости
вместо "функция, интегрируемая по Риману",
будем говорить "интегрируемая функция", а
вместо "интеграл Римана" - просто
"интеграл". Дополним определение интеграла
следующими соглашениями. Если функция f
задана в точке x = a, то по
определению
= 0 . Если
функция f интегрируема на отрезке [a,b],
то положим
.
Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям Оглавление Ограниченность интегрируемых функций