Изучение определенного интеграла
начнем с исследования необходимых, а затем и
достаточных условий интегрируемости функций.
Теорема1. Если функция интегрируема
на некотором отрезке, то она ограничена на
нем.
Пусть функция f
интегрируема на отрезке [a,b] и
= I .
Зафиксируем какое-либо > 0, например
= 1. Согласно определению 2
интеграла существует такое
> 0, что для любой интегральной суммы
,
соответствующей разбиению
мелкости |
| <
, выполняется неравенство |
- I| < 1 , а
следовательно, и неравенство
I - 1 < |
(23.2) |
т. е. множество {} значений интегральных сумм
, |
| <
, функции f
ограничено.
Допустим теперь, что существует
функция f, интегрируемая на некотором
отрезке [a,b], и неограниченная на этом
отрезке. Возьмем произвольное разбиение отрезка [a,b]. Из того,
что функция f неограниченна на отрезке [a,b],
следует, что она неограниченна и по крайней мере
на одном из отрезков разбиения
.
Пусть для определенности функция f
неограниченна на отрезке [x0,x1].
Из ее неограниченности на этом отрезке следует,
что для любого числа n на нем существует
такая точка, обозначим ее
,
что
| f()| > n,
[x0,x1],
n = 1, 2, ...
Отсюда, очевидно, следует, что
|
(23.3) |
Зафиксируем какие-либо точки k в остальных отрезках
разбиения
:
k
[xk-1,xk],
k = 2, 3, ...,
.
Тогда сумма
(23.4) |
будет иметь вполне определенное значение.
Добавив к этой сумме слагаемое f()
x1
, получим интегральную сумму
, причем в силу условия (23.3) и постоянства
суммы (23.4) будем иметь
=
[f(
)
x1
+
] =
.
а следовательно, для любого разбиения множество значений интегральных
сумм
неограниченно.
Поэтому неограниченно и множество {
}, |
| <
(число
> 0 было выбрано выше), что
противоречит неравенству (23.2).
Замечание. Условие ограниченности
функции, являясь необходимым условием
интегрируемости функции по Риману, не является
достаточным условием для этого. В самом деле,
рассмотрим, например, функцию Дирихле
Каковы бы ни были отрезок [a,b] и его
разбиение , выбрав все точки
k
[xk-1,xk]
рациональными, в силу условия , f(
k) = 1, получим
=
= b - a,
а выбрав точки k
иррациональными, в силу условия f(
k) = 0, k = 1,
2, ...,
, будем иметь
=
Поэтому интегральные суммы функции Дирихле
заведомо не имеют предела при |
|
0.
Тем самым функция Дирихле дает пример
функции, ограниченной на любом отрезке, но
неинтегрируемой на нем.
Определенный интеграл Римана Оглавление Верхние и нижние суммы Дарбу