23.2. Ограниченность интегрируемых функций

    Изучение определенного интеграла начнем с исследования необходимых, а затем и достаточных условий интегрируемости функций.
    Теорема1. Если функция интегрируема на некотором отрезке, то она ограничена на нем.
началоПусть функция f интегрируема на отрезке [a,b] и int01.gif (227 bytes)= I .
    Зафиксируем какое-либо эпсилон > 0, например эпсилон = 1. Согласно определению 2 интеграла существует такое дельта > 0, что для любой интегральной суммы sgmtau.gif (82 bytes), соответствующей разбиению tau мелкости |tau| < дельта, выполняется неравенство |sgmtau.gif (82 bytes) - I| < 1 , а следовательно, и неравенство

I - 1 < sgmtau.gif (82 bytes)< I + 1

(23.2)

т. е. множество {sgmtau.gif (82 bytes)} значений интегральных сумм sgmtau.gif (82 bytes), |tau| < дельта, функции f ограничено.
    Допустим теперь, что существует функция f, интегрируемая на некотором отрезке [a,b], и неограниченная на этом отрезке. Возьмем произвольное разбиение отрезка [a,b]. Из того, что функция f неограниченна на отрезке [a,b], следует, что она неограниченна и по крайней мере на одном из отрезков разбиения tau. Пусть для определенности функция f неограниченна на отрезке [x0,x1]. Из ее неограниченности на этом отрезке следует, что для любого числа n на нем существует такая точка, обозначим ее , что

| f()| > n,     принадлежит [x0,x1],     n = 1, 2, ...

Отсюда, очевидно, следует, что

f() = бесконечность.

(23.3)

Зафиксируем какие-либо точки ksik в остальных отрезках разбиения tau:

 ksik принадлежит [xk-1,xk],      k = 2, 3, ..., .

Тогда сумма

(23.4)

будет иметь вполне определенное значение. Добавив к этой сумме слагаемое f()дельтаx1 , получим интегральную сумму , причем в силу условия (23.3) и постоянства суммы (23.4) будем иметь

= [f()дельтаx1 + ] = бесконечность.

а следовательно, для любого разбиения tau множество значений интегральных сумм неограниченно. Поэтому неограниченно и множество {sgmtau.gif (82 bytes)}, |tau| < дельта (число дельта > 0 было выбрано выше), что противоречит неравенству (23.2). конец
    Замечание. Условие ограниченности функции, являясь необходимым условием интегрируемости функции по Риману, не является достаточным условием для этого. В самом деле, рассмотрим, например, функцию Дирихле

Каковы бы ни были отрезок [a,b] и его разбиение , выбрав все точки ksik принадлежит [xk-1,xk] рациональными, в силу условия , f(ksik) = 1, получим

= = b - a,

а выбрав точки ksik иррациональными, в силу условия f(ksik) = 0, k = 1, 2, ..., , будем иметь

=

Поэтому интегральные суммы sgmtau.gif (82 bytes) функции Дирихле заведомо не имеют предела при |tau|0.
    Тем самым функция Дирихле дает пример функции, ограниченной на любом отрезке, но неинтегрируемой на нем.


Определенный интеграл Римана  Оглавление Верхние и нижние суммы Дарбу