23.5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций

    Теорема 2. Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем, необходимо и достаточно, чтобы разность верхних и нижних сумм Дарбу стремилась к нулю, когда мелкость разбиений отрезка стремится к нулю:

    Следствие. Для того чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция f была на нем интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы

где  - разбиение отрезка [a,b], а _k(f) - колебание функции f на отрезке [x_k-1,x_k], k = 1, 2, ..., .
Необходимость. Пусть ограниченная на отрезке [a,b] функция f интегрируема на этом отрезке и I = f(x)dx. Тогда = I . Поэтому для любого > 0 существует такое > 0, что, каковы бы ни были разбиение отрезка [a,b], имеющее мелкость || < , и точки _k [x_k-1,x_k],   k = 1, 2, ..., , для интегральной суммы = выполняется неравенство |- I| < , а следовательно, и неравенство

    Переходя в неравенстве (23.22) к нижней и верхней граням относительно точек ₁, ₂, ... , в силу свойств сумм Дарбу (23.14) и (23.15) получим

I -   < < < I + .

    Таким образом, если || < , то 0  < - < 2. Отсюда сразу и следует, что

( - ) = 0.

    Достаточность. Пусть функция f ограничена на отрезке [a,b] и для ее сумм Дарбу выполняется условие (23.20). Из определения нижнего I_* и верхнего I^* интегралов (см. п. 23.4) и неравенства (23.19) имеем

Поэтому 0 < I_* - I^* < - . Отсюда в силу условия (23.20) следует, что I_* - I^* . Обозначим общее значение нижнего и верхнего интегралов через I, т. е. I = I_* = I^* . Из (23.23) будем иметь < I < , но любая интегральная сумма также лежит между суммами Дарбу и (см. (23.8)): < < , поэтому
| - I| <  - . Отсюда в силу условия (23.20) следует, что | - I| = 0. Это означает, что существует предел интегральных сумм

т. е. что функция f интегрируема, причем

    Следствие непосредственно вытекает из свойства (23.16) сумм Дарбу: условие (23.21) равносильно в силу указанного свойства условию (23.20).
    Теорема 3. Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], a и  - ее суммы Дарбу, то

Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то согласно теореме 2 выполняется условие (23.20). При доказательстве теоремы 2 было показано, что при выполнении этого условия верхний интеграл функции совпадает с ее нижним интегралом: I = I_* = I^* (а поэтому в силу (23.23) < I < ), и что I = f(x)dx . Следовательно, 0 < I - < - , 0 < - I < - . Отсюда в силу выполнения условия (23.20) следует, что (I - )= 0 и ( - I) = 0 . А это равносильно существованию пределов (23.26). 

Нижний и верхний интегралы  Оглавление  Интегрируемость непрерывных и монотонных функцй