Теорема 2. Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем, необходимо и достаточно, чтобы разность верхних и нижних сумм Дарбу стремилась к нулю, когда мелкость разбиений отрезка стремится к нулю:
|
(23.20) |
Следствие. Для того чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция f была на нем интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы
|
(23.21) |
где - разбиение
отрезка [a,b], а
k(f) -
колебание функции f на отрезке [xk-1,xk],
k = 1, 2, ...,
.
Необходимость. Пусть
ограниченная на отрезке [a,b] функция f
интегрируема на этом отрезке и I =
f(x)dx. Тогда
= I
. Поэтому для любого
>
0 существует такое
> 0,
что, каковы бы ни были разбиение
отрезка [a,b], имеющее мелкость |
| <
, и
точки
k
[xk-1,xk], k = 1,
2, ...,
, для интегральной
суммы
=
выполняется неравенство |
- I| <
, а
следовательно, и неравенство
I - |
(23.22) |
Переходя в неравенстве (23.22) к нижней
и верхней граням относительно точек 1,
2, ...
, в силу свойств сумм Дарбу (23.14)
и (23.15) получим
I - <
<
< I +
.
Таким образом, если || <
, то 0 <
-
< 2
. Отсюда сразу и
следует, что
(
-
)
= 0.
Достаточность. Пусть функция f ограничена на отрезке [a,b] и для ее сумм Дарбу выполняется условие (23.20). Из определения нижнего I* и верхнего I* интегралов (см. п. 23.4) и неравенства (23.19) имеем
|
(23.23) |
Поэтому 0 < I* - I* <
-
. Отсюда в силу условия (23.20) следует, что I* - I*
. Обозначим общее значение нижнего и верхнего
интегралов через I, т. е. I = I* = I*
. Из (23.23) будем иметь
<
I <
, но
любая интегральная сумма
также
лежит между суммами Дарбу
и
(см. (23.8)):
<
<
,
поэтому
| - I| <
-
.
Отсюда в силу условия (23.20) следует, что
|
- I|
= 0. Это означает, что существует предел
интегральных сумм
|
(23.24) |
т. е. что функция f интегрируема, причем
|
(23.25) |
Следствие непосредственно вытекает
из свойства (23.16) сумм Дарбу: условие (23.21)
равносильно в силу указанного свойства
условию (23.20).
Теорема 3. Если функция f
интегрируема на отрезке [a,b], a и
- ее суммы Дарбу, то
|
(23.26) |
Если функция f
интегрируема на отрезке [a,b], то
согласно теореме 2 выполняется условие (23.20).
При доказательстве теоремы 2 было показано,
что при выполнении этого условия верхний
интеграл функции совпадает с ее нижним
интегралом: I = I* = I*
(а поэтому в силу (23.23)
<
I <
), и что I
=
f(x)dx .
Следовательно, 0 < I -
<
-
, 0 <
- I <
-
. Отсюда в силу выполнения условия (23.20) следует,
что
(I -
)= 0 и
(
- I) = 0 . А
это равносильно существованию
пределов (23.26).
Нижний и верхний интегралы Оглавление Интегрируемость непрерывных и монотонных функцй