Теорема 4. Функция, непрерывная
на отрезке, интегрируема на нем.
Если функция f
непрерывна на отрезке [a,b], то она,
во-первых, ограничена на нем, а во-вторых,
равномерно непрерывна. Последнее означает, что
для любого
> 0
существует такое
> 0 ,
что для всех точек x
[a,b] и x'
[a,b] таких,
что |x - x'| <
,
выполняется неравенство | f(x') - f(x)|
<
.
Возьмем для отрезка [a,b]
какое-либо разбиение
мелкости |
| <
. Тогда для любых двух точек x и x',
принадлежащих одному и тому же отрезку разбиения
, x
[xk-1,xk], x'
[xk-1,xk],
имеет место неравенство|x - x'| < xk-1 - xk =
xk < |
| <
, а
поэтому и неравенство | f(x') - f(x)|
<
. Отсюда следует, что
колебание
k(f)
функции f на отрезке [xk-1,xk]
удовлетворяет неравенству
|
(23.27) |
Следовательно,
(23.28) |
Поскольку было
произвольным положительным числом, то
неравенство (23.28) означает, что
= 0 .
Поэтому в силу следствия 1 теоремы 2 функция f
интегрируема на отрезке [a,b].
Теорема 5. Функция, монотонная
на отрезке, интегрируема на нем.
Пусть для
определенности функция f возрастает на
отрезке [a,b]. Тогда, в частности, для
любого x
[a,b]
выполняется неравенство
f(a) < f(x) < f(b),
и, следовательно, функция f ограничена на
отрезке [a,b]. Очевидно также, что в силу
возрастания функции f для любого разбиения отрезка [a,b] имеют
место равенства
mk = |
(23.29) |
Mk = |
Поэтому, заметив, что xk-1 - xk
xk-1 - xk = |
(23.30) |
и что x0 = a, = b получим
Отсюда следует, что (
-
)
= 0 , и потому, согласно теореме 2, функция f
интегрируема на отрезке [a,b].
Замечание. Отметим, что монотонные на
отрезке функции могут быть и разрывными. Так,
например, функция f(x) = sign x
монотонна и разрывна на любом отрезке,
содержащем точку x = 0. Поскольку же
всякая монотонная функция, в частности, f(x) = sign x,
согласно теореме 4, интегрируема, то отсюда
следует, что существуют разрывные интегрируемые
функции.
Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций Оглавление Основные свойства определенного интеграла