23.6. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций

    Теорема 4. Функция, непрерывная на отрезке, интегрируема на нем.
    Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], то она, во-первых, ограничена на нем, а во-вторых, равномерно непрерывна. Последнее означает, что для любого > 0 существует такое > 0 , что для всех точек x [a,b] и x' [a,b] таких, что |x - x'| < , выполняется неравенство | f(x') - f(x)| < .
    Возьмем для отрезка [a,b] какое-либо разбиение мелкости || < . Тогда для любых двух точек x и x', принадлежащих одному и тому же отрезку разбиения , x [x_k-1,x_k], x' [x_k-1,x_k], имеет место неравенство|x - x'| < x_k-1 - x_k = x_k < || < , а поэтому и неравенство | f(x') - f(x)| < . Отсюда следует, что колебание _k(f) функции f на отрезке [x_k-1,x_k] удовлетворяет неравенству

Следовательно,

Поскольку было произвольным положительным числом, то неравенство (23.28) означает, что
= 0 . Поэтому в силу следствия 1 теоремы 2 функция f интегрируема на отрезке [a,b]. 
    Теорема 5. Функция, монотонная на отрезке, интегрируема на нем.
    Пусть для определенности функция f возрастает на отрезке [a,b]. Тогда, в частности, для любого x [a,b] выполняется неравенство

f(a) < f(x) < f(b),

и, следовательно, функция f ограничена на отрезке [a,b]. Очевидно также, что в силу возрастания функции f для любого разбиения отрезка [a,b] имеют место равенства

Поэтому, заметив, что x_k-1 - x_k

и что x₀ = a, = b получим

Отсюда следует, что ( - ) = 0 , и потому, согласно теореме 2, функция f интегрируема на отрезке [a,b]. 
    Замечание. Отметим, что монотонные на отрезке функции могут быть и разрывными. Так, например, функция f(x) = sign x монотонна и разрывна на любом отрезке, содержащем точку x = 0. Поскольку же всякая монотонная функция, в частности, f(x) = sign x, согласно теореме 4, интегрируема, то отсюда следует, что существуют разрывные интегрируемые функции.

Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций  Оглавление  Основные свойства определенного интеграла