24.1. Основные свойства определенного интеграла

    Перечислим свойства определенного интеграла, вытекающие непосредственно из того, что он является пределом интегральных сумм.

В данном случае подынтегральная функция тождественно равна 1, и потому при любом разбиении  все интегральные суммы Римана равны b - a:

следовательно,

dx = = b - a.

    2^o. Линейность интеграла. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a,b], то при любых
R и R функция f + g  также интегрируема на отрезке [a,b] и

    Каковы бы ни были разбиение отрезка [a,b] и точки _k [x_k-1,x_k], k = 1, 2, ..., , будем иметь

    Поскольку при ||0 предел правой части этого равенства в силу интегрируемости функций f и g существует, то существует при этом условии и предел левой части ( f + g) , что означает интегрируемость функции f + g. Перейдя в равенстве (24.2) к пределу при ||0, получим формулу (24.1). 

    3^o. Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема и на любом отрезке
[a*,b*] [a,b].
    Из интегрируемости функции f на отрезке [a,b] следует ее ограниченность на нем, а следовательно, и на отрезке [a*,b*]. Если  - какое-либо разбиение отрезка [a*,b*], то всегда, добавив к нему соответствующее конечное множество точек, лежащих на отрезках [a,b], но уже вне отрезка [a*,b*], можно получить разбиение , > , отрезка [a,b] той же мелкости

Обозначив посредством _k(f) и колебания функции f соответственно на отрезках [x_k-1,x_k] и [,] и заметив, что _k( f )x_k отличается от , x_k = x_k - x_k-1, = - , на неотрицательные слагаемые вида _k(f)x_k , соответствующие отрезкам [x_k-1,x_k] разбиения , лежащим вне отрезка [a*,b*], получим

Из интегрируемости функции f на отрезке [a,b], согласно следствию 1 теоремы 2 из п. 23.5, вытекает, что
_k( f )x_k = 0, поэтому в силу (24.3) и (24.4) = 0 , а это, согласно тому же следствию теоремы 2 п. 23.5, и означает интегрируемость функции f на отрезке [a*,b*]. 

    4^o. Аддитивность интеграла. Если функция f интегрируема на отрезке [a,b] и a < c < b, то

    Если и  - разбиения соответственно отрезков [a,c] и [c,b], то объединение этих разбиений
= является разбиением отрезка [a,b], причем

Пусть и  - какие-либо интегральные суммы Римана функции f, соответствующие разбиениям и ; тогда

- интегральная сумма Римана функции f на отрезке [a,b].
    Согласно свойству 2^o из интегрируемости функции f на отрезке [a,b] следует ее интегрируемость на отрезках [a,c] и [c,b]. Следовательно, интегральные суммы , и при условии, что мелкости разбиений , и стремятся к нулю, имеют конечные пределы - интегралы от функции по указанным отрезкам:

= f(x)dx,    = f(x)dx,     =f(x)dx

Поэтому, перейдя к пределу в равенстве (24.7) при условии ||0 (при этом в силу (24.6) ||0 и ||0 ), получим формулу (24.5). 
    Замечание 1. В силу определения интеграла =f(x)dx при b < a (см. п. 23.1) формула (24.5) остается в силе и при c > b, если только функция f интегрируема на отрезке [a,c].
В самом деле, если , то по доказанному + = и, следовательно, = - = + . 
    Замечание 2. Если функция f интегрируема на отрезках и , то она интегрируема и на отрезке [a,b], а следовательно, для нее в силу свойства 3^o имеет место формула (24.5).
    Действительно, если функция f интегрируема на отрезках [a,c] и [c,b], то она ограничена на них, а поэтому ограничена и на отрезке [a,b]. Далее, всякое разбиение отрезка [a,b], не содержащее точки x = c, добавлением этой точки превращается в разбиение ', которое является объединением разбиений отрезков [a,c] и [c,b]. Если точка x = c входит в разбиение , то положим ' = . Тогда |'| < ||. Рассмотрим такие интегральные суммы и , что у них на отрезках разбиений и ', не содержащих точки x = c, выбраны одинаковые точки, в которых берутся значения функции f. Эти суммы отличаются друг от друга не более чем на три слагаемых. Поэтому, если | f(x)| < M, a < x < b, то

| - | < 3M||0   при   ||0

А так как существует предел

= f(x)dx + f(x)dx,

то существует и равный ему предел

,

т. е. функция f интегрируема на отрезке [a,b]. 
        Замечание 3. Из свойства аддитивности интеграла и из теоремы 4 п. 23.6 следует интегрируемость так называемых кусочно непрерывных на отрезке функций. 
    Функция называется кусочно непрерывной на отрезке, если она имеет на нем только конечное множество точек разрыва, и притом только первого рода. На концах отрезка функция может быть не определена.
    Таким образом, функция f кусочно непрерывна на отрезке [a,b], если найдется такое разбиение этого отрезка, что для всех k = 1, 2, ..., существуют конечные пределы f(x_k-1 + 0) и f(x_k - 0). В точках x_k, k = 1, 2, ..., , функция f может быть определена или не определена. Если положить

то функция f_k будет непрерывна, а поэтому, согласно теореме 4 п. 23.6, и интегрируема на отрезке [x_k-1,x_k], k = 1, 2, ..., . Отсюда следует интегрируемость функции f на отрезке [a,b] (значения функции f в тех точках x_k, в которых она не определена, можно задавать произвольно: это не влияет ни на существование, ни на значение интеграла) и справедливость формулы

f(x)dx =

    5^o. Интегрируемость произведения интегрируемых функций. Если функции f и g интегрируемы на некотором отрезке, то их произведение также интегрируемо на этом отрезке.
    Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a,b], то они на нем ограничены, т. е. существует такая постоянная A > 0, что для всех x [a,b] выполняются неравенства

а следовательно, и | f(x)g(x)| < A²,    т. е. произведение fg ограничено на отрезке [a,b]. Проверим для него выполнимость критерия (23.21) интегрируемости функций. Из тождества

f(x')g(x') - f(x)g(x) = [ f(x') - f(x)]g(x') + [g(x') - g(x)] f(x),
x [a,b],   x' [a,b]

имеем

Если  - разбиение отрезка [a,b], то, выбирая точки x и x' в одном и том же отрезке [x_k-1,x_k] этого разбиения и переходя в неравенстве (24.9) к верхним граням по всевозможным x [a,b]и x' [a,b] , получим

_k(fg) < A[_k(f) + _k(g)],   k = 1, 2, ...,

здесь _k() , как обычно, - колебание соответствующей функции на отрезке [x_k-1,x_k]. Отсюда

В силу интегрируемости функций f и g на отрезке [a,b] имеем (см. (23.21))

_k( f )x_k = _k(g)x_k = 0.

Поэтому из неравенства (24.10) следует, что _k( fg)x_k = 0, откуда в силу того же критерия (23.21) и вытекает интегрируемость произведения fg. 
    6^o. Интегрирование частного интегрируемых функций. Если функции f и g интегрируемы на некотором отрезке и абсолютная величина функции g ограничена на нем снизу положительной постоянной, то частное f/g также интегрируемо на этом отрезке.
    Покажем, что при сделанных предположениях функция 1/g интегрируема. Пусть функция g интегрируема на отрезке [a,b] и существует такая постоянная c > 0, что для всех точек x [a,b] выполняется неравенство g(x) > c. Тогда для любых точек x,x' [a,b] имеем

    Если  - разбиение отрезка [a,b] и точки x,x' содержатся в одном и том же отрезке [x_k-1,x_k], k = 1, 2, ..., , разбиения , то переходя к верхним граням в полученном неравенстве, будем иметь

Отсюда

    В силу интегрируемости функции g правая часть неравенства стремится к нулю при ||0. Поэтому стремится к нулю и его левая часть. Это означает интегрируемость функции 1/g на отрезке [a,b].
    Если функция f также интегрируема на этом отрезке, то частное f/g, будучи произведением интегрируемых функций f и 1/g, согласно свойству 5^o также интегрируемо. 
7^o. Интегрирование неравенств. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a,b] и

то

В частности, если f(x) > 0, x [a,b], то

    Из неравенства (24.11) следует, что для любых интегральных сумм (f) и (g) соответственно функций f и g выполняется неравенство

ибо , k = 1, 2, ..., . Переходя в неравенстве (24.14) к пределу при ||0, получим неравенство (24.12).
    Неравенство (24.13) следует из неравенства (24.12) при g(x) 0.  .
   8^o.Если функция f интегрируема и неотрицательна на отрезке [a,b], существует точка x₀ [a,b], в которой функция f непрерывна, и f(x₀) > 0, то

 f(x)dx > 0.

    Если функция f непрерывна в точке x₀ [a,b] и f(x₀) > 0, то из очевидного неравенства f(x₀) > f(x₀)/2 > 0 согласно "лемме о сохранении знака" (см. следствие из следствия 2^o в п. 6.7) следует, что существует такой отрезок [,], что x₀ [,] [a,b] ,> , и для всех точек x [,] выполняется неравенство

а тогда

    9^o. Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то ее абсолютная величина| f| интегрируема на нем и

    Прежде всего из интегрируемости функции f следует ее ограниченность, а следовательно, и ограниченность функции | f |. Покажем, что для функции | f | выполняется критерий интегрируемости (23.21).
     Заметив, что для любых двух точек x [a,b] и x' [a,b] справедливо неравенство

рассмотрим какое-либо разбиение отрезка [a,b]. Тогда, выбирая точки x и x' из одного и того же отрезка [x_k-1,x_k] этого разбиения, x [x_k-1,x_k], x' [x_k-1,x_k], и переходя в обеих частях неравенства (24.17) к верхним граням, будем иметь

_k(| f |) =|| f(x')| - | f(x)|| < | f(x') -  f(x)| = _k(f),

где _k(| f |) и _k(f) - колебания соответственно функций | f | и f на отрезке [x_k-1,x_k], k = 1, 2, ..., . Поэтому

0 < < _k( f )x_k,

а поскольку, согласно уже упоминавшемуся критерию интегрируемости (23.21), для интегрируемой функции f выполняется условие _k( f )x_k = 0 , то и _k(| f |)x_k= 0 , откуда и следует интегрируемость функции | f |.
    Если теперь ( f ) =   f(_k)x_k, _k [x_k-1,x_k], k = 1, 2, ..., , т. е. ( f )  - интегральная сумма Римана функции f, то

где в правой части неравенства стоит интегральная сумма Римана функции | f |. Так как

( f ) = f(x)dx,   (| f |) = | f(x)|dx ,

то, перейдя в неравенстве (24.18) к пределу при ||0, получим

 f(x)dx < | f(x)|dx.

Заметим, что если не предполагать, что a < b (см. п. 23.1), то вместо неравенства (24.16) следует писать

    10^o. Непрерывность интеграла. Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то функции

F(x) f(t)dt,	(24.20)
G(x) f(t)dt	(24.21)

непрерывны на этом отрезке.
    Следствие. Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то

    Функция f, будучи интегрируемой на отрезке [a,b], ограничена на нем, поэтому существует такая постоянная c > 0, что для всех x [a,b] выполняется неравенство

Представим интеграл f(t)dt в виде суммы (см. (24.3)):

(отметим, что это равенство верно как при x > 0, так и при x < 0 , лишь бы x [a,b] и x + x [a,b] ). Теперь видно, что приращение F(x) функции F(x) (см. (24.20)) можно записать в виде

Поэтому

|F(x)| = f(t)dt| f(t)|dtcdt = c|x|.

Отсюда, очевидно, сразу следует, что F(x) = 0, т. е. непрерывность функции F(x).
    Непрерывность функции G(x) следует из непрерывности функции F(x). В самом деле, поскольку

f(t)dt + f(t)dt = f(t)dt,

т. е. F(x) + G(x) = f(t)dt, то

а так как интеграл f(t)dt - постоянная величина, то непрерывность функции F влечет за собой непрерывность функции G. 
    Свойство непрерывности функции F называется непрерывностью интеграла f(t)dt по верхнему пределу интегрирования, соответственно свойство непрерывности функции G - непрерывностью интеграла по нижнему пределу интегрирования.
    Для того чтобы убедиться в справедливости равенства (24.22), выберем какую-либо точку c (a,b), тогда функции f(t)dt и f(t)dt в силу свойства  непрерывны соответственно в точках x = a и x = b, поэтому при
0 < < b - a будем иметь

f(x)dxf(x)dx+f(x)dx =
= f(x)dx + f(x)dxf(x)dx+f(x)dxf(x)dx.

Интегрируемость непрерывных и монотонных функций  Оглавление Интегральная теорема о среднем