24.2. Интегральная теорема о среднем

    Теорема. Пусть на отрезке [a,b]:

    1) функции f и g интегрируемы;
    2) <  f(x) < M;
    3) функция g не меняет знака.

(24.27)

   Тогда существует такое число mu, <  mu < M, что

f(x)g(x)dx = mug(x)dx.

(24.28)

    Следствие. Если в дополнение к условиям теоремы функция f непрерывна на отрезке [a,b], то на интервале (a,b) существует такая точка ksi, что

f(x)g(x)dx = f(ksi)g(x)dx,   <  ksi < b,

(24.29)

Рис. 103
Рис. 103

в частности, при g(x) на [a,b]

g(x)dx = f(ksi)(b - a),     <  ksi < b

(рис. 103).

начало    Умножив неравенство (24.27) на g(x), получим, что для всех
x принадлежит [a,b] в случае g(x> 0 выполняется неравенство

mg(x) <  f(x)g(x) < Mg(x),

а в случае g(x< 0 - неравенство

mg(x) >  f(x)g(x) > Mg(x).

Интегрируя эти неравенства, будем иметь

mg(x)dx <  f(x)g(x)dx < Mg(x)dx,

(24.30)

или соответственно

mg(x)dx >  f(x)g(x)dx > Mg(x)dx,

(24.31)

Если

g(x)dx = 0,

(24.32)

то как в первом, так и во втором случае

 f(x)g(x)dx = 0

(24.33)

и, следовательно, равенство (24.28) верно при любом mu, так как обе его части, согласно (24.32) и (24.33), обращаются в нуль.
    Если же g(x)dx не равно 0, то при g(x> 0 имеем g(x)dx > 0, а при g(x< 0 - соответственно g(x)dx < 0.
    Поделив обе части неравенств (24.30) и (24.31) на интеграл g(x)dx, в обоих случаях получим одно и то же неравенство

<   < M.

(24.34)

Определим число mu равенством

 mu определение ,

(24.35)

тогда f(x)g(x)dx = mug(x)dx , причем в силу (24.34) и (24.35) выполняется неравенство <  mu < Mконец
    Докажем следствие.
начало    Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], то согласно теореме Вейерштрасса она достигает своих наибольшего и наменьшего значений в некоторых точках alpha и beta этого отрезка:

f(alpha) = f(x),    f(beta) = f(x)

(24.36)

При

m = f(alpha),   M = f(beta)

(24.37)

выполняется условие (24.27) теоремы и, следовательно, существует такое число mu,

<  mu < M,

(24.38)

для которого выполняется равенство (24.28).
    В силу условий (24.37), (24.38), согласно теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции, на отрезке [a,b] существует точка ksi, для которой имеет место равенство f(ksi) = mu, а поэтому и равенство (24.29). Покажем, что, более того, точку ksi всегда можно выбрать так, что она будет лежать на интервале (a,b). Если g(x)dx = 0 , то из формулы (24.28) следует f(x)g(x)dx = 0 , поэтому равенство (24.29) выполняется при любом выборе точки ksi принадлежит (a,b). Пусть теперь

g(x)dx не равно 0,

(24.39)

и для определенности g(x> 0 во всех точках x отрезка [a,b], а следовательно,

g(x)dx > 0

(24.40)

(случай , g(x< 0, < x < b сводится к рассматриваемому заменой функции g(x) на функцию -g(x): применив к неотрицательной функции g(x) формулу (24.29) и умножив обе части равенства на -1, получим и в этом случае формулу (24.29)).
    Из выполнения условий (24.39) и (24.40) следует, что

g(x)dx > 0.

(24.41)

    В силу неравенства (24.38) возможны три случая: <  mu < M, mu = M и mu = m. Если <  mu < M, то из условий (24.37) согласно теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции следует, что между точками alpha и beta, а следовательно, на интервале (a,b) существует такая точка ksi, что f(ksi) = mu.
    Если же mu = M, то равенство (24.28) примет вид

f(x)g(x)dx = Mg(x)dx,

откуда

(M - f(x))g(x)dx = 0,

(24.42)

    Из неравенства (24.41) в силу следствия из свойства 10o определенного интеграла (см. п. 24.1) существует такое эпсилон > 0, что

g(x)dx > 0.

(24.43)

    Если бы на интервале (a,b) не существовала точка ksi, в которой f(ksi) = M, то непрерывная функция  M - f(x) была бы положительной во всех точках отрезка [a+эпсилон,b-эпсилон] , а следовательно, и в точке x0 принадлежит  [a+эпсилон,b-эпсилон]
, в которой она принимает наименьшее значение на этом отрезке; т. е., если

M - f(x0) = M - f(x),

(24.44)

то

M - f(x0) > 0.

(24.45)

Поэтому

(M - f(x))g(x)dx > (M - f(x))g(x)dx(M - f(x0))g(x)dx0,

что противоречит равенству (24.42). А это означает, что на интервале (a,b) существует такая точка ksi, что
mu = M = f(ksi). Случай рассматривается аналогично. конец


Основные свойства определенного интеграла  Оглавление Дифференцирование определенного интеграла по пределам интегрирования