24.2. Интегральная теорема о среднем

    Теорема. Пусть на отрезке [a,b]:

   Тогда существует такое число , m <   < M, что

    Следствие. Если в дополнение к условиям теоремы функция f непрерывна на отрезке [a,b], то на интервале (a,b) существует такая точка , что

в частности, при g(x) на [a,b]

g(x)dx = f()(b - a),     a <   < b

(рис. 103).

    Умножив неравенство (24.27) на g(x), получим, что для всех
x [a,b] в случае g(x) > 0 выполняется неравенство

mg(x) <  f(x)g(x) < Mg(x),

а в случае g(x) < 0 - неравенство

mg(x) >  f(x)g(x) > Mg(x).

Интегрируя эти неравенства, будем иметь

или соответственно

Если

то как в первом, так и во втором случае

и, следовательно, равенство (24.28) верно при любом , так как обе его части, согласно (24.32) и (24.33), обращаются в нуль.
    Если же g(x)dx 0, то при g(x) > 0 имеем g(x)dx > 0, а при g(x) < 0 - соответственно g(x)dx < 0.
    Поделив обе части неравенств (24.30) и (24.31) на интеграл g(x)dx, в обоих случаях получим одно и то же неравенство

Определим число равенством

тогда f(x)g(x)dx = g(x)dx , причем в силу (24.34) и (24.35) выполняется неравенство m <   < M. 
    Докажем следствие.
    Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], то согласно теореме Вейерштрасса она достигает своих наибольшего и наменьшего значений в некоторых точках и этого отрезка:

При

выполняется условие (24.27) теоремы и, следовательно, существует такое число ,

для которого выполняется равенство (24.28).
    В силу условий (24.37), (24.38), согласно теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции, на отрезке [a,b] существует точка , для которой имеет место равенство f() = , а поэтому и равенство (24.29). Покажем, что, более того, точку всегда можно выбрать так, что она будет лежать на интервале (a,b). Если g(x)dx = 0 , то из формулы (24.28) следует f(x)g(x)dx = 0 , поэтому равенство (24.29) выполняется при любом выборе точки  (a,b). Пусть теперь

и для определенности g(x) > 0 во всех точках x отрезка [a,b], а следовательно,

(случай , g(x) < 0, a < x < b сводится к рассматриваемому заменой функции g(x) на функцию -g(x): применив к неотрицательной функции g(x) формулу (24.29) и умножив обе части равенства на -1, получим и в этом случае формулу (24.29)).
    Из выполнения условий (24.39) и (24.40) следует, что

    В силу неравенства (24.38) возможны три случая: m <   < M,  = M и = m. Если m <   < M, то из условий (24.37) согласно теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции следует, что между точками и , а следовательно, на интервале (a,b) существует такая точка , что f() = .
    Если же  = M, то равенство (24.28) примет вид

f(x)g(x)dx = Mg(x)dx,

откуда

    Из неравенства (24.41) в силу следствия из свойства 10^o определенного интеграла (см. п. 24.1) существует такое > 0, что

    Если бы на интервале (a,b) не существовала точка , в которой f() = M, то непрерывная функция  M - f(x) была бы положительной во всех точках отрезка [a+,b-] , а следовательно, и в точке x₀   [a+,b-]
, в которой она принимает наименьшее значение на этом отрезке; т. е., если

то

Поэтому

(M - f(x))g(x)dx > (M - f(x))g(x)dx(M - f(x₀))g(x)dx0,

что противоречит равенству (24.42). А это означает, что на интервале (a,b) существует такая точка , что
 = M = f(). Случай рассматривается аналогично. 

Основные свойства определенного интеграла  Оглавление Дифференцирование определенного интеграла по пределам интегрирования