26.1. Формула замены переменной

    Пусть функция f(x) задана на промежутке _x, а функция (t) - на промежутке _t и (_t) _x. Тогда имеет смысл композиция f, т. е. сложная функция f((t)).

    Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на промежутке _x, а функция (t) непрерывеа вместе со своей производной  на промежутке _t , то

где

_t,    _t,    a = (),    b = ()

(рис. 104).
    Формула (26.1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Пусть F(x) - какая-либо перво образная для функции f(x) на промежутке _x; тогда функция F((t)) является первообразной для функции f((t))'(t) на промежутке _t, ибо

F((t)) = F'((t))'(t) = f((t))'(t).

Поэтому по теореме Ньютона-Лейбница

f((t))'(t)dt = F(()) - F(()) = F(b) - F(a) = f(x)dx. 

Существование первообразной  Оглавление Формула интегрирования по частям