27.1. Понятие площади плоского множества

    Проведем на координатной плоскости x, y для каждого k = 0, 1, 2, ... всевозможные прямые

x = 10^-kp,   y = 10^-kq,   p Z,   q Z.

В результате при фиксированном k получим разбиение плоскости на замкнутые квадраты {(x, y): 10^-kp < x < 10^-k(p + 1), 10^-kq < y < 10^-k(q + 1)} со сторонами длины 10^-k. Квадраты, из которых состоит это разбиение, будем называть квадратами ранга k. Очевидно, что каждый квадрат ранга k состоит из 100 равных квадратов ранга k + 1.
    Пусть X - множество на плоскости x, y. Обозначим через s_k = s_k(X) объединение всех квадратов ранга k, содержащихся в множестве X. Все квадраты ранга k + 1, которые получаются разбиением квадратов ранга k, содержащихся в s_k, заведомо принадлежат s_k+1. Поэтому при переходе от k и k + 1 множество s_k может только увеличиться за счет тех квадратов ранга k + 1, которые содержатся в X, но не содержатся в квадратах ранга k, принадлежащих s_k. Таким образом,

Каждое s_k состоит из конечного или бесконечного множества квадратов ранга k. Если их конечное множество, то через s_k обозначим площадь многоугольника s_k. Если же s_k состоит из бесконечного множества квадратов ранга k, то s_k не может иметь конечной площади. В этом случае будем писать
s_k = + .
    Очевидно, что если некоторое множество s_k состоит из бесконечного множества квадратов ранга k, то и для всех k' > k множества s_k' также состоят из бесконечного множества квадратов ранга k', так как уже тех квадратов ранга k', которые содержатся в квадратах ранга k, принадлежащих s_k, будет бесконечно много. Поэтому если s_k = + , то и для всех k' > k имеет место s_k' = + .
    Из включений (27.1) следует, что

иначе говоря, последовательность {s_k} точек, вообще говоря, расширенной числовой прямой возрастает и потому имеет конечный или бесконечный предел s_k, называемый площадью или мерой множества X и обозначаемый X. Таким образом,

    Согласно этому определению каждое множество на плоскости имеет конечную или бесконечную площадь. Площадь всякого ограниченного множества конечна. В самом деле, если множество X ограничено, то оно содержится в некотором многоугольнике S₀, состоящем из конечного числа квадратов нулевого ранга и имеющем поэтому конечную площадь. В силу этого при любом k = 0, 1, 2, ... s_k(X) X S₀ и, следовательно, s_k(X) < S₀ < + т. е. последовательность {s_k(X)} ограничена сверху, а поэтому имеет конечный предел.
    Иногда меру X называют внутренней мерой множества X по причинам, которые будут ясны из дальнейшего.
    Из курса элементарной математики известно, что если множество X является многоугольником, замкнутым или открытым (т. е. включающим ограничивающую его ломаную или нет), кругом, его сектором или сегментом, то площади совпадают с определенными нами площадями X.
    Теорема 1. Если X₁ и X₂ - подмножества координатной плоскости переменных x, y и X₁ X₂, то

    Если s_k(X₁) и s_k(X₂) - совокупность всех квадратов ранга k, содержащихся соответственно в множествах X₁ и X₂, k = 0, 1, 2, ..., то из условия X₁ X₂, очевидно, следует, что s_k(X₁) s_k(X₂), а потому
s_k(X₁) < s_k(X₂). Переходя в этом неравенстве к пределу при k, получим неравенство (27.4). 

Формула интегрирования по частям  Оглавление  Пример неограниченного множества положительной конечной плоскости