27.2*. Пример неограниченного множества положительной конечной площади.

    Всякое ограниченное множество, как это было показано выше, имеет конечную площадь. Однако существуют и неограниченные множества с конечной площадью. Примером неограниченного множества нулевой площади является прямая. Приведем пример неограниченного множества с положительной конечной площадью. Этот пример был построен еще в XIV веке французским математиком Н. Оресмом.
    На координатной плоскости переменных x и y рассмотрим квадрат

Q = {(x,y): 0 < x < 1, 0 < y < 1}.

    Его правую половину, т. е. его часть, для точек которой выполняется неравенство x > 1/2, переместим так, что она займет положение прямоугольника

Q₁ = {(x,y): 0 < x < 1/2, 1 < y < 2}

(т. е. "поставим" правую половину квадрата Q на его левую половину; рис.~105). Далее, правую половину прямоугольника Q₁, т. е. его часть, для точек которой выполняется неравенство x > 1/4, переместим так, что она займет положение прямоугольника

Q₂ = {(x,y):  0 < x < 1/4, 2 < y < 3}

(т. е. снова "поставим" правую половину на левую) и так далее.
    Продолжая этот процесс, получим неограниченную фигуру P ("башню"), являющуюся объединением левой половины Q и правых половин прямоугольников Q, Q₁, Q₂, ..., поставленных друг на друга и на левую половину квадрата Q. Указанные части, составляющие фигуру P, представляют собой прямоугольники, равновеликие прямоугольникам, лежащим в квадрате, площади которых образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию 1/2, 1/4, 1/8, ..., сумма которой равна 1, т. е. площади квадрата Q: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... =1. Естественно, что площадь бесконечной фигуры P равна (как это можно доказать) площади квадрата Q, т. е. положительной конечной величине.
    Заметим, что бесконечная фигура P лежит над осью x и под графиком "ступенчатой" (кусочно постоянной) функции, изображенной на рис. 106.
    Нетрудно получить и бесконечное множество конечной площади, ограниченное графиком непрерывной на полуинтервале (0,1] функции, положительной полуосью оси y, отрезком 0 < x < 1, y = 0, оси x. Чтобы получить график такой функции, достаточно, например, соединить прямолинейными отрезками правые концы ступенек графика функции, изображенной на рис. 106. В результате получится функция, график которой изображен на рис. 107. Отметим, что эта функция, будучи неограниченной, неинтегрируема по Риману.

Понятие площади плоского множества Оглавление Понятие объема