Пусть в трехмерном пространстве R3 фиксирована декартова
прямоугольная система координат x, y, z.
Аналогично разбиению плоскости на квадраты
ранга k = 0, 1, 2, .. можно произвести
разбиение пространства R3
на кубы с помощью плоскостей, параллельных
координатным плоскостям и отстоящих
последовательно друг от друга на расстояние 10-k,
точнее, с помощью плоскостей x = 10-kp,
y = 10-kq, z = 10-kr,
p, q, r Z, т.
е. на кубы
{(x, y, z): 10-kp < x < 10-k(p + 1), 10-kq < y < 10-k(q + 1), 10-kr < z < 10-k(r + 1)}
При фиксированном k получится разбиение
пространства R3
на кубы с ребрами длины 10-k. Кубы этого
разбиения называются кубами ранга k.
Для любого множества X
R3 через sk(X)
обозначается совокупность всех кубов ранга k,
содержащихся в множестве X. Очевидно, как и в
случае плоскости,
s0(X) |
(27.5) |
и, следовательно, последовательность объемов sk конечных или
бесконечных многогранников sk(X), k = 0,
1, 2, ..., является возрастающей:
|
(27.6) |
Объем (мера) X
множества X (или, подробнее, внутренний
объем, внутренняя мера) определяется как
конечный или бесконечный предел этой
последовательности:
|
(27.7) |
Таким образом, всякое множество трехмерного пространства R3 имеет конечный или бесконечный объем. Как и в случае плоскости, доказывается, что если
X1 |
(27.8) |
то
|
(27.9) |
Пример неограниченного множества положительной конечной площади Оглавление Вычисление площадей криволинейных трапеций