27.3. Понятие объема

    Пусть в трехмерном пространстве R3 фиксирована декартова прямоугольная система координат x, y, z. Аналогично разбиению плоскости на квадраты ранга k = 0, 1, 2, .. можно произвести разбиение пространства R3 на кубы с помощью плоскостей, параллельных координатным плоскостям и отстоящих последовательно друг от друга на расстояние 10-k, точнее, с помощью плоскостей x = 10-kp, y = 10-kq, z = 10-kr,   p, q, r принадлежит Z, т. е. на кубы

{(x, y, z): 10-kp < x < 10-k(p + 1), 10-kq < y < 10-k(q + 1), 10-kr < z < 10-k(r + 1)}

При фиксированном k получится разбиение пространства R3 на кубы с ребрами длины 10-k. Кубы этого разбиения называются кубами ранга k.
    Для любого множества X включает R3 через sk(X) обозначается совокупность всех кубов ранга k, содержащихся в множестве X. Очевидно, как и в случае плоскости,

s0(X) включает s1(X) включает ... включает sk(X) включает ... включает X,

(27.5)

и, следовательно, последовательность объемов musk конечных или бесконечных многогранников sk(X), k = 0, 1, 2, ..., является возрастающей:

mus0(X) < mus1(X) < ... < musk(X) < ...

(27.6)

    Объем (мера) muX множества X (или, подробнее, внутренний объем, внутренняя мера) определяется как конечный или бесконечный предел этой последовательности:

muX определение musk(X).

(27.7)

Таким образом, всякое множество трехмерного пространства R3 имеет конечный или бесконечный объем. Как и в случае плоскости, доказывается, что если

X1 включает X2 включает R3,

(27.8)

то

muX1 < muX2.

(27.9)

Пример неограниченного множества положительной конечной площади  Оглавление Вычисление площадей криволинейных трапеций