Теорема1. Если функция f неотрицательна и интегрируема на отрезке [a,b], a
P = {(x, y): a < x < b, 0 < y < f(x)}, |
(28.1) |
то площадь P множества S выражается формулой
S = |
(28.2) |
|
Множество вида (28.1) называется криволинейной
трапецией, порожденной графиком функции f (рис. 108).
Пусть
- разбиение отрезка [a,b],
|
(28.3) |
Обозначим соответственно через и
замкнутые прямоугольники,
составленные из всех прямоугольников вида
|
(28.4) |
|
(28.5) |
т. е.
|
(28.6) |
Из (28.3) следует, что для любого
разбиения выполняется
включение
P
, а следовательно (см. теорему
в п. 27.1),
|
(28.7) |
Из (28.4) и (28.5) следует, что = mk
xk,
= Mk
xk , и так как
прямоугольники
,
соответственно
, не
имеют общих внутренних точек, то в силу (28.6)
|
(28.8) |
|
(28.9) |
Иначе говоря, площади многоугольников и
равны соответственно нижней и
верхней суммам Дарбу функции f (рис. 109).
Поэтому из неравенства (28.7) следует, что
|
(28.10) |
А так как =
=
f(x)dx,
то
P =
f(x)dx.
![]() Рис. 109 |
![]() Рис. 110 |
Если функция f неположительна и непрерывна на отрезке [a,b] и
P = {(x, y): a < x < b, f(x) < y < 0},
то
|
(28.11) |
Действительно, если
f*(x) |
(28.12) |
а P* - множество, симметричное с множеством P относительно оси x (рис. 110), то в силу формулы (28.2)
|
(28.13) |
ибо функция f* уже неотрицательна.
Поскольку площади симметричных множеств равны,
т. е. P* =
P, а
f*(x)dx
-
f*(x)dx,
то из равенства (28.13) сразу следует
формула (28.11).
Если функция f непрерывна и
знакопеременна на отрезке [a,b], то
интеграл от нее равен "алгебраической
сумме", вообще говоря, бесконечного числа
слагаемых, равных площадям криволинейных
трапеций, образованных частями графика функции f,
расположенными соответственно в полуплоскостях y > 0
и y < 0, причем площади первых
берутся со знаком плюс, а площади вторых - со
знаком минус.
|
Примеры.
1. Найдем площадь, образованную одной
аркой синусоиды:
sin x dx
= -cos x
= 2.
2. Найдем площадь S(x) криволинейной трапеции, ограниченной дугой гиперболы y = 1/x, отрезком [1,x] оси x и соответствующими отрезками, параллельными оси y (рис. 111):
S(x) = = ln t
= ln x.
Понятие объема Оглавление Вычисление площадей в полярных координатах