29.7. Интегралы от комплекснозначных функций действительного аргумента

    Если функция f(x) определена на промежутке с концами a и b, - < a < b < +, и ее значениями являются комплексные числа, т. е.

то интеграл f(x)dx (собственный или несобственный) определяется равенством

    Это определение имеет, конечно, смысл только тогда, когда оба интеграла в правой части равенства существуют.
    Интеграл f(x)dx называется несобственным, если хотя бы один из интегралов u(x)dx, v(x)dx несобственный. При этом несобственный интеграл f(x)dx называется сходящимся, если сходятся оба интеграла u(x)dx, v(x)dx. В этом случае, согласно определению, имеет место равенство (29.51). 
    Функция f(x) называется абсолютно интегрируемой, если абсолютно интегрируемы функции u(x) и v(x).      Определение (29.51) сохраняет свойство линейности:

(₁ f₁(x) + ₂ f₂(x))dx = ₁ f₁(x)dx + ₂ f₂(x)dx.
₁ C,     ₂ C.

    Ряд свойств интеграла от действительных функций (аддитивность по множествам интегрирования, формула Ньютона-Лейбница, правила замены переменной и интегрирования по частям) также переносится и на случай комплекснозначных функций.
    Если f(x) = u(x) + iv(x), причем действительные функции u(x) и v(x) интегрируемы по Риману на отрезке [a,b], то интеграл f(x)dx, также называемый в этом случае интегралом Римана, является пределом   (комплекснозначных) интегральных сумм = f(_k)x_k, где  - разбиение отрезка [a,b],
x_k-1 < _k  < x_k, x_k = x_k - x_k-1, k = 1, 2, ..., :

= f(x)dx

|| - мелкость разбиения .
    Отсюда тем же методом, что и для действительных функций, легко показать, что если для функции f существует интеграл Римана, то он существует и для ее абсолютной величины, причем

f(x)dx < | f(x)|dx.

    Предельным переходом справедливость этого неравенства устанавливается и для абсолютно интегрируемых в несобственном смысле комплекснозначных функций.
    Подобным же образом вводится и понятие неопределенного интеграла от функции (29.50):

    Для этого интеграла также имеет место свойство линейности, справедливы формулы замены переменной и интегрирования по частям, которые в силу формулы (29.52) вытекают из соответствующих свойств интегралов от функций действительного аргумента, принимающих только действительные значения.
    Для непрерывных функций f определенный и неопределенный интегралы (29.51) и (29.52), как и в действительной области, связаны соотношением

f(x)dx = f(t)dt + C.

Признаки сходимости Дирихле и Абеля  Оглавление  Определение ряда