Теорема 5 (признак Дирихле). Если
на полуоси x > a:
1) функция f непрерывна и
имеет ограниченную первообразную;
2) функция g непрерывно
дифференцируема и убывает, стремясь к нулю
при x+
, т. е.
g(x) = 0; то
интеграл
|
(29.41) |
сходится.
Пусть F -
ограниченная первообразная функции f на
полуоси x > a, F'(x) = f(x).
По условию функция f непрерывна, поэтому
функция F непрерывно дифференцируема.
Проинтегрируем по частям интеграл
f(x)g(x)dx,
a < b < +
:
|
(29.42) |
Поскольку по условию функция F ограничена на полуоси x > a, то существует такая постоянная c > 0, что для всех x > a выполняется неравенство
|F(x)| < c |
(29.43) |
и, следовательно, |F(b)g(b)| <
c|g(b)| . В силу стремления к нулю
функции g при x+
отсюда получаем
|
(29.44) |
Докажем теперь, что интеграл F(x)g'(x)dx,
стоящий в правой части paвенства (29.42), абсолютно
сходится. Из убывания функции g(x)
(второе условие теоремы) вытекает, что g'(x) < 0
при x > a, т. е.
|g'(x)| = -g'(x). |
(29.45) |
Далее, из того, что функция g при x > a,
убывая, стремится к нулю, когда x+
, следует, что g(x) > 0
при x > a, в частности,
g(b) > 0. |
(29.46) |
В результате
|F(x)g'(x)|dx
-
|F(x)|g'(x)dx
- c
g'(x)|dx
= c[g(a) - g(b)]
cg(a).
Таким образом, множество интегралов |F(x)g'(x)|dx
при всех b > a ограничено
сверху, а это, согласно лемме п. 29.3,
и означает сходимость интеграла
|F(x)g'(x)|dx. Итак,
интеграл
F(x)g'(x)dx
абсолютно, а следовательно, и просто сходится,
т. е. существует конечный предел
|
(29.47) |
В силу выполнения условий (29.44) и (29.47) из равенства (29.42) следует существование конечного предела
f(x)g(x)dx = -F(a)g(a)
-
F(x)g'(x)dx,
что и означает сходимость интеграла (29.41).
Теорема 6 (признак Абеля). Если
на полуоси x > a:
1) функция f непрерывна и
интеграл
|
(29.48) |
сходится;
2) функция g непрерывно
дифференцируема, ограничена и монотонна; то
интеграл
f(x)g(x)dx
сходится.
Покажем, что эта
теорема вытекает из предыдущей. Прежде всего
отметим, что интегралы
f(x)g(x)dx
и
f(x)[-g(x)]dx
сходятся или расходятся одновременно и что в силу монотонности функции g одна из функций g или -g убывает. Пусть для определенности убывает функция g. В силу ее ограниченности и монотонности существует конечный предел
g(x) = c,
а так как функция g убывает, то, убывая,
стремится к нулю и разность g(x) - c
при x+
.
Представим произведение f(x)g(x)
в виде
f(x)g(x) = f(x)[g(x) - c] + cf(x) |
(29.49) |
В силу первого условия теоремы интеграл cf(x)dx сходится. Из
этого же условия следует, что интеграл
F(x) = f(t)dt,
x > a ограничен. В самом деле,
из существования конечного предела
F(x) =
f(t)dt следует
ограниченность функции F в некоторой
окрестности U(+
) = {x: x > b}
бесконечно удаленной точки +
(свойство 1o
из п. 6.7). На отрезке же [a,b] функция F
ограничена, ибо она непрерывна. В результате
функция F ограничена на всей полупрямой x > a.
Функция F является первообразной функции f,
тем самым функция f имеет ограниченную
первообразную при x > a.
Таким образом, для интеграла f(x)[g(x)
- c]dx выполнены все условия признака
Дирихле, и потому этот интеграл сходится. В силу
доказанного из равенства (29.49) следует
сходимость интеграла
f(x)g(x)dx.
Примеры.
1. Интеграл dx в силу признака Дирихле
сходится при всех a > 0. Действительно,
функция f(x) = sin x имеет
ограниченную первообразную F(x) = -cos x,
а функция g(x) = 1/
,
убывая, стремится к нулю.
2. Интеграл dx, a > 0, силу
признака Абеля сходится. В самом деле, как мы уже
знаем, интеграл
dx
сходится, а функция g(x) = atctg x
ограниченна и монотонна.
Замечание. Усовершенствовав
доказательства теорем 5 и 6, можно показать, что
признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов
остаются справедливыми, если у функции f
условие ее непрерывности заменить условием ее
интегрируемости на любом конечном отрезке [a,b],
а у функции g отбросить требование ее
непрерывной дифференцируемости, оставив все
остальные.
Абсолютно сходящиеся интегралы Оглавление Интегралы от комплекснозначных функций действительного аргумента