29.6. Признаки сходимости Дирихле и Абеля

    Теорема 5 (признак Дирихле). Если на полуоси x > a:
    1) функция f непрерывна и имеет ограниченную первообразную;
    2) функция g непрерывно дифференцируема и убывает, стремясь к нулю при x+, т. е.
g(x) = 0; то интеграл

сходится.
    Пусть F - ограниченная первообразная функции f на полуоси x > a, F'(x) = f(x). По условию функция f непрерывна, поэтому функция F непрерывно дифференцируема. Проинтегрируем по частям интеграл
f(x)g(x)dx, a < b < +:

Поскольку по условию функция F ограничена на полуоси x > a, то существует такая постоянная c > 0, что для всех x > a выполняется неравенство

и, следовательно, |F(b)g(b)| < c|g(b)| . В силу стремления к нулю функции g при x+ отсюда получаем

    Докажем теперь, что интеграл F(x)g'(x)dx, стоящий в правой части paвенства (29.42), абсолютно сходится. Из убывания функции g(x) (второе условие теоремы) вытекает, что g'(x) < 0 при x > a, т. е.

    Далее, из того, что функция g при x > a, убывая, стремится к нулю, когда x+, следует, что g(x) > 0 при x > a, в частности,

В результате

|F(x)g'(x)|dx -|F(x)|g'(x)dx - cg'(x)|dx = c[g(a) - g(b)] cg(a).

Таким образом, множество интегралов |F(x)g'(x)|dx при всех b > a ограничено сверху, а это, согласно лемме п. 29.3, и означает сходимость интеграла |F(x)g'(x)|dx. Итак, интеграл F(x)g'(x)dx абсолютно, а следовательно, и просто сходится, т. е. существует конечный предел

В силу выполнения условий (29.44) и (29.47) из равенства (29.42) следует существование конечного предела

f(x)g(x)dx = -F(a)g(a) - F(x)g'(x)dx,

что и означает сходимость интеграла (29.41). 

    Теорема 6 (признак Абеля). Если на полуоси x > a:
    1) функция f непрерывна и интеграл

сходится;
    2) функция g непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна; то интеграл

f(x)g(x)dx

сходится.
    Покажем, что эта теорема вытекает из предыдущей. Прежде всего отметим, что интегралы

f(x)g(x)dx   и    f(x)[-g(x)]dx

сходятся или расходятся одновременно и что в силу монотонности функции g одна из функций g или -g убывает. Пусть для определенности убывает функция g. В силу ее ограниченности и монотонности существует конечный предел

g(x) = c,

а так как функция g убывает, то, убывая, стремится к нулю и разность g(x) - c при x+.
    Представим произведение f(x)g(x) в виде

В силу первого условия теоремы интеграл cf(x)dx сходится. Из этого же условия следует, что интеграл
F(x) = f(t)dt, x > a ограничен. В самом деле, из существования конечного предела F(x) = f(t)dt следует ограниченность функции F в некоторой окрестности U(+) = {x:  x > b} бесконечно удаленной точки + (свойство 1^o из п. 6.7). На отрезке же [a,b] функция F ограничена, ибо она непрерывна. В результате функция F ограничена на всей полупрямой x > a. Функция F является первообразной функции f, тем самым функция f имеет ограниченную первообразную при x > a.
Таким образом, для интеграла f(x)[g(x) - c]dx выполнены все условия признака Дирихле, и потому этот интеграл сходится. В силу доказанного из равенства (29.49) следует сходимость интеграла

f(x)g(x)dx.    

    Примеры.
    1. Интеграл dx в силу признака Дирихле сходится при всех a > 0. Действительно, функция f(x) = sin x имеет ограниченную первообразную F(x) = -cos x, а функция g(x) = 1/ , убывая, стремится к нулю.

    2. Интеграл dx, a > 0, силу признака Абеля сходится. В самом деле, как мы уже знаем, интеграл
dx сходится, а функция g(x) = atctg x ограниченна и монотонна.
    Замечание. Усовершенствовав доказательства теорем 5 и 6, можно показать, что признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов остаются справедливыми, если у функции f условие ее непрерывности заменить условием ее интегрируемости на любом конечном отрезке [a,b], а у функции g отбросить требование ее непрерывной дифференцируемости, оставив все остальные.

Абсолютно сходящиеся интегралы  Оглавление  Интегралы от комплекснозначных функций действительного аргумента