Теорема 1 (необходимые
условия сходимости ряда). Если ряд сходится, то
последовательность его членов стремится к нулю.
Если ряд
un сходится, т. е.
существует конечный предел
snего
частичных сумм, то из равенства
un = sn - sn-1, n = 2, 3, ...,
следует, что
un =
sn -
sn-1 = s - s =
0.
Пример. Ряд (30.5), членами которого
являются члены геометрической прогрессии {qn},
в случае, когда знаменатель прогрессии q по
абсолютной величине не менее единицы, т. е. |q| > 1,
q C, расходится, так как
последовательность его членов {qn}не
стремится к нулю, ибо |qn| > 1.
Теорема 2. Если ряды un и
vn сходятся, то для любых
C,
C ряд
(
un +
vn) cходится и
(
un +
vn)
=
un
+
vn.
Положим sn
=
uk,
n =
vk, тогда
(
uk +
vk) =
sn
+
n
Если ряды uk
и
vk
сходятся, т. е. существуют конечные пределы
sn =
uk и
n =
vk , то
существует и конечный предел
(
uk
+
vk) =
sn
+
n =
un +
vn.
что и означает справедливость утверждения
теоремы.
Определение 2. Для ряда un ряд
un+k
называется n-м остатком данного ряда.
Если n-и остаток ряда сходится, то
его сумму будем обозначать rn, т. е.
rn = |
(30.6) |
Теорема 3. Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится. Если какой-то остаток ряда сходится, то сам ряд также сходится, причем, если
s = |
(30.7) |
то при любом n = 1, 2, ...
s = sn + rn. |
(30.7) |
Пусть sn
и
являются соответственно n-й
частичной суммой ряда
un
и m-й частичной суммой его остатка (30.6):
sn = u1 + u2
+ ... + un, = un+1
+ un+2 + ... +un+m;
тогда
sn+m = sn + |
(30.8) |
Поэтому при произвольно
фиксированном n пределы sn+m
и
одновременно
существуют или не существуют. Существование
первого из этих пределов означает сходимость
ряда
uk , а
существование второго - сходимость остатка
(30.6)
un+k этого ряда.
Если оба рассматриваемых предела существуют, то,
перейдя к пределу при m
в равенстве (30.8),
получим формулу (30.7).
Отметим, что если ряд un сходится, то его остатки
стремятся к нулю. Это сразу следует из
формулы (30.7), так как сходимость ряда означает,
что
sn = s,
и поэтому
rn
(s - sn)
= 0.