30.2. Свойства сходящихся рядов

    Теорема 1 (необходимые условия сходимости ряда). Если ряд сходится, то последовательность его членов стремится к нулю.
    Если ряд u_n сходится, т. е. существует конечный предел s_nего частичных сумм, то из равенства

u_n =  s_n - s_n-1,     n = 2, 3, ...,

следует, что

 u_n = s_n - s_n-1 = s - s = 0.

    Пример. Ряд (30.5), членами которого являются члены геометрической прогрессии {qⁿ}, в случае, когда знаменатель прогрессии q по абсолютной величине не менее единицы, т. е. |q| > 1, q C, расходится, так как последовательность его членов {qⁿ}не стремится к нулю, ибо |qⁿ| > 1.
    Теорема 2. Если ряды u_n и v_n сходятся, то для любых C, C ряд (u_n + v_n) cходится и

(u_n + v_n) = u_n + v_n.

    Положим s_n = u_k, _n = v_k, тогда

(u_k + v_k) = s_n + _n

Если ряды u_k и v_k сходятся, т. е. существуют конечные пределы s_n =u_k и _n =v_k , то существует и конечный предел

 (u_k + v_k) = s_n + _n = u_n + v_n.

что и означает справедливость утверждения теоремы. 

    Определение 2. Для ряда u_n ряд

u_n+k

называется n-м остатком данного ряда.
    Если n-и остаток ряда сходится, то его сумму будем обозначать r_n, т. е.

    Теорема 3. Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится. Если какой-то остаток ряда сходится, то сам ряд также сходится, причем, если

то при любом n = 1, 2, ...

    Пусть s_n и являются соответственно n-й частичной суммой ряда u_n и m-й частичной суммой его остатка (30.6):

s_n = u₁ + u₂ + ... + u_n,   = u_n+1 +  u_n+2 + ... +u_n+m;

тогда

    Поэтому при произвольно фиксированном n пределы s_n+m и одновременно существуют или не существуют. Существование первого из этих пределов означает сходимость ряда u_k , а существование второго - сходимость остатка (30.6) u_n+k этого ряда. Если оба рассматриваемых предела существуют, то, перейдя к пределу при m в равенстве (30.8), получим формулу (30.7). 
    Отметим, что если ряд u_n сходится, то его остатки стремятся к нулю. Это сразу следует из формулы (30.7), так как сходимость ряда означает, что s_n  = s, и поэтому

 r_n (s - s_n) = 0.

Определение ряда  Оглавление  Критерий Коши