30.5. Знакочередующиеся ряды

    Теорема 9 (Лейбниц). Если последовательность {u_n} убывает и стремится к нулю, т. е.

то ряд

сходится, причем, если s = (-1)ⁿ⁺¹u_n, s_n = (-1)^k+1u_k то при любом n = 1, 2, ... выполняется неравенство

    Прежде всего отметим, что из условия (30.31) следует, что

в силу чего члены ряда (30.32) поочередно то > 0, то < 0.
    Ряды вида (30.32) при называются  знакочередующимися.
    Частичные суммы с четными номерами ряда (30.32) возрастают и неотрицательны. В самом деле,

ибо в силу убывания последовательности {u_n} значения всех выражений, стоящих в круглых скобках, неотрицательны. Кроме того, последовательность {s_2n} ограничена сверху:

ибо

u_k - u_k+1 > 0,     k = 1, 2, ...,       u_2n 0.

Поскольку последовательность {s_2n} возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел

при этом из неравенств (30.35) и (30.36) следует, что (рис. 123)

    Покажем, что тот же предел имеет и последовательность частичных сумм с нечетными номерами. Действительно,

s_2n+1 = s_2n + u_2n+1,
u_2n+10,

поэтому

    Из (30.37), (30.39) следует, что последовательность {s_2n} всех частичных сумм ряда (30.32) имеет конечный предел s, т. е. этот ряд сходится, и s является его суммой. Докажем неравенство (30.33). Имеем

s - s_n = (-1)^n+k+1u_n+k = (-1)ⁿ(-1)^k+1u_n+k,

где в правой части стоит ряд (-1)^k+1u_n+k. Применив к нему неравенство (30.38), получим

0 < (-1)^k+1u_n+k < u_n+1.

поэтому

|s - s_n| = (-1)^k+1u_n+k < u_n+1.      

    Пример. Ряд (-1)ⁿ/n сходится. Это сразу следует из теоремы 9.
    Замечание. Выше (см. следствие теоремы 6 в п. 30.4) было показано, что если у двух знакопостоянных рядов u_n и v_n  их члены эквивалентны: u_n ~ v_n, n (см. (30.22)), то они одновременно сходятся или расходятся. Для не знакопостоянных рядов аналогичное утверждение уже не имеет места. Например, если

u_n = (-1)ⁿ/n^1/2,         v_n = (-1)ⁿ/n^1/2 + 1/n,

то

  =  1 + = 1,

т. е. u_n ~ v_n, n. Однако в силу признака Лейбница ряд сходится, а ряд 1 + расходится, ибо расходится гармонический ряд .
    Очевидно, что = o, n. Таким образом, добавляя к членам ряда бесконечно малые более высокого порядка по сравнению с членами ряда, можно изменить сходимость ряда: из сходящегося ряда получить расходящийся.

Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами  Оглавление  Абсолютно сходящиеся ряды