30.6. Абсолютно сходящиеся ряды

    Определение 3. Ряд

называется абсолютно сходящимся, если ряд, членами которого являются абсолютные величины членов данного ряда, т. е.

сходится.

    Теорема10 (критерий Коши абсолютной сходимости ряда). Для того чтобы ряд (30.40) абсолютно сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовало такое n₀, что для всех номеров n > n₀ и p = 0, 1, ...всех выполнялось бы неравенство

|u_n+k| < .

    Это сразу следует из определения абсолютно сходящегося ряда и критерия Коши сходимости ряда (теорема 4 из п. 30.3). 

    Теорема11. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.
    Это следует из неравенства

    В самом деле, в силу критерия Коши абсолютной сходимости ряда (30.40) для любого > 0 существует такое n₀, что для всех n > n₀ и всех p > 0 правая часть неравенства (30.42) меньше . Следовательно, и левая часть этого неравенства окажется меньше , т. е. для ряда (30.40) выполняется критерий Коши сходимости рядов, и потому ряд (30.40) сходится. 
    Примеры.
    1. Ряд iⁿ/2ⁿ абсолютно, а значит, и просто сходится. Это следует из равенства |iⁿ/2ⁿ| = 1/2ⁿ и сходимости ряда 1/2ⁿ.
    2. Ряд (-1)ⁿ/n сходится (см. п. 30.5), но не абсолютно, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т. е. гармонический ряд  , расходится (см. п. 30.3).
    Теорема12. Линейная комбинация абсолютно сходящихся рядов является абсолютно сходящимся рядом.
    Если ряды u_n и v_n абсолютно сходятся, a , C, то сходится и ряд |||u_n| + |||v_n|. Отсюда в силу неравенств

|u_n + v_n| < |||u_n| + |||v_n|,      n = 1, 2, ...,

по признаку сравнения (см. теорему 6) следует сходимость ряда |u_n + v_n|, т. е. абсолютная сходимость ряда (u_n + v_n) . 
    Теорема13. Если ряд (30.40) абсолютно сходится, то любой ряд

составленный из тех же членов, что и данный ряд, но взятых, вообще говоря, в другом порядке, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму

= u_n.

    Пусть ряд (30.40) абсолютно сходится. Докажем, во-первых, что ряд (30.43) сходится и имеет ту же сумму, что и ряд (30.40), а во-вторых, что ряд (30.43) абсолютно сходится. Пусть

s = u_n,    s_n = u_k,  = ,   = |u_n|,    _n = |u_k|.

Зафиксируем произвольно > 0. В силу абсолютной сходимости ряда (30.40) существует такой номер n₀, что

и, следовательно, выполняется неравенство

    Выберем номер m₀ так, чтобы частичная сумма ряда (30.43) содержала в качестве своих слагаемых все члены ряда (30.40), входящие в сумму . Для всякого m > m₀ положим

В силу выбора номера слагаемыми суммы являются члены ряда (30.40) с номерами, большими n₀. Поскольку абсолютная величина суммы не превышает абсолютных величин ее слагаемых, то

Поэтому при m > m₀ будем иметь

|s - ||s - (+ )| < |s - |+ || /2 + /2 = .

Это означает, что = s. Иначе говоря, ряд (30.43) сходится и его сумма равна s, т. е. равна сумме ряда (30.40):

= s = u_n.

    Второе утверждение - абсолютная сходимость ряда (30.43) - следует из уже доказанного первого утверждения, если его применить к ряду

    В самом деле, если ряд (30.40) абсолютно сходится, то сходится ряд (30.48), причем он, очевидно, сходится абсолютно, так как его члены неотрицательны. Поэтому согласно доказанному сходится и любой ряд, получающийся перестановкой членов ряда (30.48), в частности, сходится ряд ||. А это и означает, что ряд абсолютно сходится. 
    Теорема 14. Если ряды

абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных попарных произведений u_mv_n членов этих рядов, также абсолютно сходится, причем его сумма s равна произведению сумм данных рядов: если

то

    Коротко говоря, утверждение теоремы означает, что абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать почленно.
    Докажем абсолютную сходимость ряда, составленного из всевозможных попарных произведений членов рядов (30.49). Заметим, что если будет показано, что ряд из этих произведений абсолютно сходится при каком-то их порядке, то согласно предыдущей теореме отсюда будет следовать, что он абсолютно сходится и при любом другом порядке своих членов. Поэтому расположим произведения в конкретном порядке, удобном для доказательства теоремы. Для описания этого порядка составим следующую таблицу:

    Рассмотрим составленный из элементов таблицы (30.52) ряд

в котором порядок членов выбран согласно нумерации элементов таблицы (30.52) по схеме

Докажем абсолютную сходимость ряда (30.53), т. е. сходимость ряда

Положим

' = |u_m|,    " = |v_n|.   =  |u_k|,        = |v_k|,

а через _n обозначим частичные суммы ряда (30.55). Тогда

Перейдя в этом равенстве к пределу при n, получим

= '".

    Но последовательность {_n} всех частичных сумм ряда (30.55) в силу неотрицательности его членов возрастает и потому имеет предел, конечный или бесконечный, совпадающий, конечно, с пределом любой ее подпоследовательности, в частности, с пределом подпоследовательности {}. Таким образом, существует конечный предел

_{n =} = '",

т. е. ряд (30.53) абсолютно сходится, и, следовательно, абсолютно сходится любой ряд, полученный перестановкой его членов.
    Докажем теперь формулу (30.51). Обозначим через частичные суммы ряда (30.53) и положим

=  u_k,        = v_k.

Аналогично (30.56) имеем

Поскольку уже доказано, что ряд (30.53) абсолютно, а следовательно, и просто сходится, то существует конечный предел

Поэтому

Знакочередующиеся ряды  Оглавление  Условно сходящиеся ряды