30.10. Суммирование рядов методом средних арифметических

    Если заданный числовой ряд расходится, то иногда оказывается полезным определить сумму ряда не обычным способом - как предел его частичных сумм - а каким-либо другим. Рассмотрим один из таких способов, называемый суммированием рядов методом средних арифметических.
    Для ряда u_n, u_n C, составим из его частичных сумм s_n их средние арифметические

_n = (s₁ + s₂ + ...+ s_n)/n,      n = 1, 2, ...

    Если существует конечный предел _n, то заданный ряд называется суммируемым методом средних арифметических к числу .
    Пример. Расходящийся ряд 1 - 1 + 1 - 1 + ... суммируется методом средних арифметических к числу 1/2.
    В самом деле, в этом случае s_2n = 0, s_2k-1 = 1, _2k = 1/2, _2k-1 = k/(2k -1), k = 1, 2, ..., и, следовательно,
_n = 1/2.
    Таким образом, если под 1 - 1 + 1 - 1 + ... понимать число, к которому этот ряд суммируется методом средних арифметических, то получится равенство

Замечательно то, что если в формулу

(-1)ⁿxⁿ = 1/(1 + x),     |x| < 1,

для суммы геометрической прогрессии {(-1)ⁿxⁿ} подставить x = 1, то получим

(-1)ⁿ = 1/2,

т. е. снова формулу (30.86).
    Понятие суммируемости ряда методом средних арифметических является обобщением понятия сходимости ряда, так как, с одной стороны, существуют расходящиеся ряды, суммируемые методом средних арифметических, а с другой -- всякий сходящийся ряд суммируем методом средних арифметических к своей сумме. Покажем это.
    Лемма 4. Если последовательность z_n C, n = 1, 2, ..., сходится, то последовательность средних арифметических ее членов

также сходится, и притом к тому же пределу, что и сама последовательность {z_n}.
    Пусть lim z_n = z₀. Для любых натуральных чисел n₀ и n > n₀ выполняется следующее тождество:

    Зафиксируем произвольно > 0. Согласно определению предела последовательности существует такой номер n₀, что для всех n > n₀ имеет место неравенство

Поскольку z₁ + ... + -  n₀z₀ - фиксированное число, а 1/n = 0, то существует такой номер m₀, что для всех n > m₀ выполняется неравенство

    Если теперь = max {n₀,m₀} и n > n₀, то

w_n - z₀ |(z₁ + ... + -  n₀z₀)/n| + |(( - z₀) + ...+ (z_n - z₀))/n| < .

Это и означает, что w_n = z₀. 
    Теорема 18. Если ряд сходится, то он суммируется методом средних арифметических к своей сумме.
    Сходимость ряда u_n означает, что последовательность его частичных сумм {s_n} имеет конечный предел, а тогда, согласно лемме 4, и последовательность средних арифметических {_n} членов последовательности {s_n} имеет тот же предел

_n = s_n.     

Исследование сходимости рядов методом выделения главной части ряда  Оглавление  Сходимость функциональных последовательностей и рядов