Упражнение 4.1

Энергия нулевых колебаний одномерного осциллятора может быть записана в виде

где справа выполнено усреднение по движению нуклона в основном остоянии (в квантовой механике значение физической величины в некотором состоянии всегда определяется как среднее по этому состоянию). Неопределенность импульса и координаты в основном состоянии характеризуется среднеквадратичными флуктуациями
и .
Но для среднеквадратичных флуктуаций импульса и координаты существует точная оценка нижней границы их произведения: xp_x > /2 (уточненная формулировка соотношения (принципа) неопределенности Гейзенберга). Выражая из этого соотношения x через p_x, мы найдем, что минимальная энергия осциллятора (энергия в основном состоянии) может быть переписана в форме

E₀ = (p_x)²/(2m) = (1/8)m²²/(p_x)².

Диференцируя это выражение по (p_x)², найдем, что минимум E₀ достигается при (p_x)² = m/2. Он равен /2. Это и есть искомая энергия нулевых колебаний одномерного гармонического осциллятора.

Упражнение 4.2

Средний потенциал V_ls(1), действующий на нуклон 1, может быть представлен в виде

где производится усреднение по переменным _{2 2} и интегрирование по ₂. В силу сферической симметрии задачи при усреднении выпадут все члены, содержащие векторы ₂ и ₂ как множители. Ядерную плотность (₂) можно апроксимировать выражением

(₂) = (₁) + (₂ -₁)(₁) +... + (₁) + (₂ -₁)(₁/r₁) ((₁)/r₁) +...,

так как потенциал V_LS (|₁-₂|) отличен от нуля только вблизи т. ₁. Учитывая это получим

Но интеграл

Следовательно,
V_ls(l) = C(1/r₁)((₁)/r₁)₁₁
где

Упражнение 4.3

Выведите формулу Шмидта для одночастичного магнитного момента одн

Умножая обе стороны равенства (4.14) на   = + , получим _одн =(₀/(g_l+g_s),

_одн = ₀{(1/2)(g_l + g_s)j(j + 1) + (1/2)( g_l - g_s)[l(l + 1) - 3/4]}

Теперь усредним это соотношение по движению нуклона в ядре. Момент количества движения сохраняется при движении, поэтому усреднение на него не подействует. При усреднении же вектора ₀ получим
_одн = (₀/)g_j,
где g_j - гиромагнитный множитель для одночастичного движения. Заменяя далее ² на ²j(j+1) найдем

g_j = g_{l ±} (g_s - g_l)/(2l + 1) при j = l ± 1/2 .

Откуда следует, что

_одн = ₀ g_j j = ₀ j[g_{l ±} (g_s - g_l)/(2l + 1)] при j = l ± 1/2 .

Упражнение 4.4

Спин-орбитальное расщепление уровней (1/2)^- и (3/2)^- ядра ⁵⁷Ni, которые интерпретируются в одночастичной оболочечной модели как состояния p_1/2 и p_3/2, равно 1.05 МэВ. Подставляя эту величину в формулу (4.11), находим C_ls = 1.05/(1 + 0.5) = 0.7 МэВ. С другой стороны из формулы (4.12) находим, что
C_ls = 20·57^-2/3 = 1.3 МэВ. Для ядра ²⁰⁹Pb в спектре энергетических уровней наблюдаются два спин-орбитальных дублета: g_7/2 - g_9/2 и d_3/2 - d_5/2. Из первого дублета находим C_ls = (2.49 - 0)/(4 + 0.5) = 0.55 МэВ, из второго получаем C_ls = (2.54 - 1.57)/(2 + 0.5) = 0.39 МэВ. По формуле (4.12) находим
C_ls = 20·209^-2/3 = 0.57 МэВ. Сравнивая эти цифры, следует иметь в виду, что формула (4.12) дает усредненную по многим ядрам и оболочкам константу спин-орбитального взаимодействия. Поэтому проведенная на рис. 4.4 интерпретация ядерных уровней представляется вполне оправданой. Вместе с тем обнаруженная нестыковка цифр (0.55 МэВ и 0.39 МэВ) для одного и того же ядра (²⁰⁹Pb) свидетельствует о необходимости усовершенствовать простую одночастичную модель.

Упражнение 4.5

По формуле (4.5) находим = 12 Мэв для А = 40 и = 7 Мэв для А = 200. Таким образом, с ростом массового числа А расстояние между соседними оболочками уменьшается.

Упражнение 4.6

Ядро ¹³³Cs имеет четное число нейтронов (78) и нечетное число протонов (55). Согласно одночастичной модели, свойства нечетного ядра определяются нечетной, неспаренной частицей. Как видно из схемы одночастичных уровней, приведенной на рис. 4.2, в основном состоянии ядра ¹³³Cs неспаренный протон должен находиться на орбите 1g_7/2, вмещающей 8 нуклонов одного сорта (все нижележащие протонные орбиты заполнены в соответствии с принципом Паули). Для расчета магнитного момента воспользуемся формулой Шмидта (4.19) для случая j = l - 1/2:
_одн = ₀j[g_l - (g_s - g_l)/(2l + 1)]. Подставляя сюда гиромагнитные отношения g_l и g_s из (4.15), (4.16) и значения j = 7/2, l = 4, получим _одн = 1.72₀. Экспериментальное значение магнитного момента ¹³³Cs в основном состоянии равно 2.5₀.

Упражнение 4.7

Все изотпы циркония имеют Z = 40. При изменении массового числа от 86 до 94 происходит заполнение нейтронных одночастичных уровней, так как N меняется от 46 до 54. При этом вначале заполняется орбита 1g_9/2 (N = 46-50), затем орбита 1g_9/2 (N = 51-54). Согласно одночастичной оболочечной модели все четные изотопы циркония будут иметь J^π = 0⁺, тогда как нечетные изотопы будут иметь  J^π = (9/2)⁺ при А < 90 и (7/2)⁺ при A > 90.