Лекция 5. Кулоновское рассеяние

§ 5.1. Особенности задачи о кулоновском рассеянии

    Полученные до сих пор результаты относились к рассеянию на потенциалах конечного радиуса. Если при r → ∞ потенциал V(r) спадает быстрее, чем центробежная энергия частицы ћ²ℓ(ℓ + 1)/2μr², то асимптотическое решение радиального уравнения Шредингера (3.3) или (3.34) имеет вид синусоиды (3.37), т.е. представляет собой суперпозицию сходящейся и расходящейся сферических волн свободной частицы. Если же подставить в уравнение Шредингера в качестве V(r) потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов (1.30):

(5.1)

то при r → ∞ мы не получаем волнового уравнения для свободной частицы. Вместо него мы имеем уравнение

(5.2)

решение которого никогда не переходит в синусоиду (3.37). Прямой подстановкой легко убедиться в том, что асимптотическое решение уравнения (5.2) можно построить из двух функций

где k − импульс частицы, а n − безразмерный параметр, который зависит от зарядов Z_l, Z₂ и скорости v налетающей частицы:

(5.4)

(здесь мы воспользовались постоянной точной структуры α = e²/ћc = 1/137 , чтобы выразить n через отношение скорости частицы v к скорости света с). Таким образом, при любом n асимптотическое выражение для решений уравнения (5.1) содержит логарифмическую добавку к фазе.
    Оказывается, решение уравнения (5.1) в задаче кулоновского рассеяния (так же, как и его решение для дискретного спектра частицы в кулоновском поле притяжения) можно выразить через вырожденную гипергеометрическую функцию F(a,b,z). Для этого надо сделать подстановку

Уравнение для функции ƒ_ℓ(r):

и есть уравнение для вырожденной гипергеометрической функции:

Будем обозначать символами F(a,b,z) и G(a,b,z) соответственно регулярное и нерегулярное в нуле решения вырожденного гипергеометрического уравнения (5.7). Приведем их некоторые свойства [4]:

(5.8)

(5.9)

(5.11)

здесь Г(а) − Г-функция.
    Общее решение уравнения (5.6), а следовательно, и уравнения (5.1) есть комбинация соответствующих линейно независимых решений:

где C_ℓ и D_ℓ − произвольные константы. Входящие сюда функции

называются регулярной и нерегулярной кулоновскими волновыми функциями частицы. Их поведение при больших r следует из (5.9) и (5.11):

где введено обозначение

    Условие (3.36) u_ℓ(0) = 0, которое мы должны наложить на волновую функцию частицы, отбирает из (5.12) решения, ведущие себя в нуле регулярным образом: D_ℓ = 0. Таким образом, волновая функция частицы, рассеиваемой кулоновским потенциалом, дается бесконечным рядом:

(5.18)

Если коэффициент C_ℓ выбрать согласно формуле

(519)

то при r → ∞ волновая функция ψ_с(r) приобретает вид, сходный с асимптотикой волновой функции частицы, рассеиваемой потенциалом конечного радиуса (соотношение (1.33)):

(5.20)

При этом ƒ_с(r) − амплитуда кулоновского рассеяния − дается выражением

(5.21)

Читателю предлагается самостоятельно, используя (5.15), а также известное свойство Г-функции
Г(z + 1) = zГ(z), получить соотношения (5.20) и (5.21).
    Первый член в (5.20) характеризует падающую, второй − рассеянную волну. В отличие от (1.33) обе они искажены логарифмическими фазовыми множителями; здесь проявляется дальнодействующий характер куло-новских сил. Однако это искажение не является, существенным при вычислении плотности потоков падающих и рассеянных частиц на больших расстояниях от кулоновского центра; эти выражения понадобятся нам при вычислении дифференциального сечения кулоновского рассеяния. Найдем, например, плотность потока падающих частиц. Для этого, используя прием, который мы уже применяли в § 1.3, подставим в общую формулу (1.37) для плотности тока первое слагаемое волновой функции (5.20):

(исключение составляет лишь рассеяние непосредственно вперед; r = z). Аналогично получаем для радиальной составляющей плотности расходящегося потока

(5.23)

Подставляя (5.22) и (5.23) в (1.35), получаем, что дифференциальное сечение кулоновского рассеяния обычным образом   связано с кулоновской амплитудой ƒ_с(θ):

§ 5.2. Решение задачи о кулоновском рассеянии в параболических координатах

    Наряду с представлением амплитуды кулоновского рассеяния в виде бесконечного ряда парциальных амплитуд (5.21) существует другой способ точного решения задачи, при котором амплитуда ƒ_с(θ) получается в виде очень простого и замкнутого алгебраического выражения.
    Будем исходить из стационарного уравнения Шредингера непосредственно для волновой функции ψ_с(r):

(5.25)

Введя кулоновский параметр n (соотношение (5.4)), запишем это уравнение в виде

(5.26)

Направим ось z по импульсу падающих частиц k и сделаем подстановку

Уравнение для новой функции F(r):

(5.28)

ищем в параболических координатах (ξ,η,φ), связанных со сферическими координатами соотношениями

(5.29)

Оказывается, существует решение уравнения (5.28), зависящее лишь от одной переменной ξ = r − z:

Соответствующее одномерное дифференциальное уравнение для функции F(ξ) имеет вид

(5.31)

Его легко привести к виду уравнения (5.7) для вырожденной гипергеометрической функции F(a,b,ξ). Отсюда с учетом (5.27) получаем

Зная асимптотический вид вырожденной гипергеометрической функции (соотношение (5.9)) и используя простые вспомогательные формулы

находим асимптотику волновой функции на больших расстояниях от кулоновского центра:

(5.35)

где амплитуда рассеяния дается выражением

(5.36)

Входящий сюда параметр σ₀ определяется по общей формуле (5.17) для кулоновских фаз:

    Формула (5.36) дает точное выражение для кулоновскои амплитуды рассеяния. Отсюда мы снова получаем формулу Резерфорда для дифференциального сечения кулоновского рассеяния:

(5.38)

(см. § 2.4). Мы видим, что точная кулоновская амплитуда рассеяния (5.36) отличается от борновской амплитуды (2.27) лишь фазовым множителем:

(5.39)

При рассеянии частицы изолированным кулоновским центром этот фазовый множитель никак себя не проявляет. Однако в других условиях, когда взаимодействие с кулоновским центром составляет лишь часть эффекта и кулоновская амплитуда рассеяния интерферирует с другими составляющими амплитуды рассеяния, различие между амплитудами ƒ_c(θ) и ƒ_c^(B)(θ) становится существенным.

§ 5.3. Рассеяние на потенциале с кулоновской асимптотикой

    Задача о рассеянии заряженной частицы на потенциале с кулоновской асимптотикой занимает видное место и в атомной физике (таков потенциал, создаваемый частично ионизированным атомом), и в ядерной физике (такова суперпозиция короткодействующего потенциала сильного взаимодействия и дальнодействующего кулонов-ского взаимодействия). Пусть потенциал V(r) совпадает с (1.30) всюду, кроме области малых г:

Решая с таким потенциалом радиальное уравнение Шредингера (3.34), мы при r > r₀ имеем дело с известным нам уравнением (5.2). Его общее решение дается соотношением (5.12): это суперпозиция регулярной и нерегулярной кулоновских функций F_ℓ(r) и G_ℓ(r).
    В § 5.1, рассматривая рассеяние на чисто кулоновском потенциале, мы отбросили слагаемое с
G_ℓ(r), поскольку оно не отвечало, требуемому поведению волновой функции u_ℓ(r) в нуле. Сейчас ситуация другая − выражение (5.12) необходимо нам лишь для представления волновой функции
u_ℓ(r) при r > r₀. Что же касается вида u_ℓ(r) при r < r₀, то он определяется конкретными свойствами потенциала V(r) в этой области и находится (с учетом обычного условия в нуле: u_ℓ(r) → r^ℓ+1) совершенно независимо от уравнения (5.2); далее остается лишь «сшить» полученные решения для функции щ(г) на границе области r < r₀ и r > r₀. Таким образом, задача решается в принципе совершенно аналогично тому, как в §3.4 мы решали задачу о рассеянии частицы потенциалом конечного радиуса. Все отличие в том, что там во внешней области мы пользовались волновыми функциями свободной частицы, а здесь − в области r > r₀ − кулоновскими волновыми функциями (5.13) и (5.14).
    Перепишем выражение (5.12), которому удовлетворяет решение нашей задачи при r > r₀, аналогично формуле (3.41), т.е. возьмем вместо констант C_ℓ и D_ℓ ( две другие константы интегрирования G_ℓ и δ_ℓ.

= Cℓ{cos δℓ Fℓ(r) − sin δℓ Gℓ(r)}

(5.41)

Согласно (5.15) и (5.16), при r → ∞ отсюда получаем

~ sin(kr − ℓπ/2 − n ln(2kr) + σℓ + δℓ) .

(5.42)

    Таким образом, искажение кулоновского взаимодействия на малых расстояниях проявляется в том, что каждая парциальная волна u_ℓ(r) приобретает на больших расстояниях от центра дополнительную фазу δ_ℓ. В ядерной физике, когда V(r) − это суперпозиция потенциалов, сильного, и кулоновского взаимодействий:

эту дополнительную (по отношению к σ_ℓ) фазу называют фазой ядерного рассеяния. Не следует путать: строго говоря, фаза ядерного рассеяния δ_ℓ в случае взаимодействия рассеянной частицы с потенциалом (5.43) не есть то же самое, что фаза δ_ℓ в случае рассеяния нейтральной частицы той же массы на соответствующем потенциале V_s(r) , получаемом из (5.43) за вычетом чисто кулоновского взаимодействия V_c(r). Другими словами, фаза кулоновского и фаза ядерного рассеяния, вообще говоря, не аддитивны.
    Используя асимптотическое выражение для радиальных волновых функций (5.42) для построения полной волновой функции задачи рассеяния ψ_с(r) при r → ∞ (подобно тому, как это делалось при переходе от (5.18) к (5.20) и (5.21)), мы находим амплитуду рассеяния заряженной частицы на потенциале с кулоновской асимптотикой:

Этому выражению удобно придать иной вид, выделив в виде отдельного слагаемого точную амплитуду кулоновского рассеяния ƒ_с(θ):

ƒ(θ) = ƒс(θ) + Δƒ(θ) =

(5.44)

Хотя в настоящем изложении мы построили ƒ_с(θ) методом разложения по парциальным волнам, конечно, в практических расчетах следует пользоваться для ƒ_с(θ) гораздо более компактным выражением (5.36). Что касается второго слагаемого в (5.44), то в ядерных задачах его принято называть амплитудой ядерного рассеяния, модифицированного кулоновским взаимодействием:

(5.45)

Подчеркнем, что эта модификация заключается не только в том, что в , в отличие от выражения (3.25), входят дополнительно кулоновские фазы σ_ℓ, но и в том, что сами фазы ядерного рассеяния δ_ℓ тоже несут на себе след кулоновского взаимодействия.
    Выражение (5.44) удобно для параметризации рассеяния заряженной частицы потенциалом типа (5.43) при невысоких энергиях, когда во втором слагаемом можно ограничиться вкладом небольшого числа парциальных волн с малыми ℓ.

Упражнения

5.1. Найти приближенное выражение для кулоновской фазы σ₀ при малых n. Сравнить с тем, что дает формула борновского приближения (3.56).

5.2. Показать, что в эйкональном приближении полная фаза рассеяния частицы потенциалом (5.43) есть сумма фаз рассеяния чисто ядерным и чисто кулоновским потенциалами.

5.3. Показать, что в эйкональном приближении фаза рассеяния частицы кулоновским потенциалом дается выражением