Лекция 7. Нестационарная теория столкновений

§ 7.1. Столкновения при одномерном движении

    Изложенная в предыдущих лекциях формулировка квантовой задачи столкновений существенно опирается на интуитивные соображения и, как мы видели в § 1.3, содержит внутренние противоречия. Присущее стационарной теории представление о том, что плоская волна описывает бесконечный стационарный поток падающих частиц, не укладывается в рамки постулатов квантовой механики, согласно которым лишь квадратично-интегрируемые волновые функции могут описывать реальные состояния физических систем. То же относится и к искаженным волнам (r).
    В данной лекции мы увидим, что методы расчета столкновений, разработанные в рамках стационарной теории, можно строго обосновать, если сформулировать задачу столкновений как нестационарную задачу. При таком подходе, рассматривая движение частиц как распространение волнового пакета, можно независимо получить общие формулы теории столкновений (1.41) и (1.34), из которых, как мы видели, следуют разнообразные частные − как точные, так и приближенные результаты.
    Мы начнем с более простой задачи, чем та, что рассматривалась в лекции 1, − о столкновениях при одномерном движении.
    Пусть поток частиц с массой μ и импульсом k движется вдоль оси х и встречает на своем пути прямоугольный барьер. Найдем вероятность прохождения частиц через барьер − коэффициент прохождения Т(k) или коэффициент отражения R(k) = 1 − Т(k). Часто эта задача благодаря математической легкости ее решения в рамках стационарной теории считается одной из простейших задач квантовой механики. Действительно, если описать падающие на барьер частицы плоской волной φ₀(x) = e^ikx, то решением стационарного уравнения Шредингера для рассматриваемой задачи будет волновая функция:

(7.1)

где k и κ связаны с кинетической энергией падающих частиц Е и высокой барьера V₀:

;

(7.2)

;

(7.3)

(для определенности мы записали (7.1) применительно к случаю Е < V₀). Коэффициент С₁ определяет интенсивность отраженной, а коэффициент С₄ − прошедшей волны:

    Значения коэффициентов C_l, ... , C₄ найдем из условий сшивания волновой функции и ее производной в точках разрыва потенциала при х = 0 и х = а; они как раз дают необходимое число уравнений для нахождения этих коэффициентов. Опустим простые выкладки и приведем окончательный результат:

(7.5)

    Хорошо видно сходство приведенного хода рассмотрения с тем, как мы решали в § 1.1 − 1.3 задачу потенциального рассеяния в трехмерном случае. Теперь пойдем другим путем и получим тот же результат (7.4), (7.5) с помощью нестационарной теории столкновений.

    Зададим состояние нашей частицы в начальный момент времени t = 0 волновым пакетом:

где χ(ξ) − некоторая симметричная «колоколообразная» функция, имеющая максимум при ξ = 0. Легко проверить, что такой пакет описывает частицу, локализованную в окрестности точки х = х₀ и движущуюся со средней скоростью v = ћk/μ. Пусть х₀ < 0, а k > 0. Тогда, согласно рис. 7.1, мы имеем пакет, движущийся слева в сторону барьера.
    Сначала, пока основной массив пакета не достиг барьера (частица движется свободно) соответствующий интервал времени характеризуется величиной порядка t₀ = |x₀|/v. Известно, что при свободном движении пакет с течением времени расплывается тем быстрее, чем больше неопределенность его импульса (т.е. чем меньше неопределенность координаты) [1, § 16]. Так, в случае пакета гауссовой формы:

(7.7)

начальная дисперсия координат D_x(t = 0) = b²/2 удваивается за время

В дальнейшем будем предполагать, что дисперсия пространственного распределения частицы в состоянии (7.6) столь велика, что можно пренебречь расплыванием пакета за время движения t₀. В частном случае пакета гауссовой формы это означает:

    То же неравенство полезно переписать для дисперсии импульса частицы:

(в отличие от дисперсии координаты она при свободном движении частицы не меняется). Далее нам будет удобно представить функцию χ(x − x₀) в виде интеграла Фурье:

(7.11)

Очевидно, что колоколообразной форме функции χ(ξ) соответствует сходная с ней колоколообразная форма функции A(κ). Будем считать, что начальные пространственные размеры пакета много меньше, чем расстояние х₀ от «центра тяжести» пакета до барьера при t = 0. Вместе с (7.9) это условие соответствует тому, что ширина распределения А(κ) значительно меньше среднего импульса частицы k.
    Задача о рассеянии частицы на потенциальном барьере сводится к решению нестационарного уравнения Шредингера:

(7.12)

с начальным условием (7.6). Как известно, общее решение уравнения (7.12) можно выразить через решения соответствующего стационарного уравнения

ψk(x) = Ekψk(x).

(7.13)

Покажем, что нужное нам решение, удовлетворяющее начальному условию (7.6), имеет вид

(7.14)

где ψ_k' (x) − не что иное, как уже известное нам решение (7.1) стационарного уравнения Шредингера (7.13).
    Выше мы предположили, что ширина распределения А(k' − k) значительно меньше, чем k. Поэтому в подынтегральном выражении (7.14) можно заменить Е_к' приближенным значением:

(7.15)

и, следовательно, упростить выражение (7.14):

(7.16)

    Подставим сюда выражение (7.1) для функции ψ_k' (x), имея в виду, что коэффициенты С₁, С₂, С₃, С₄ уже найдены из условий сшивания. Тогда в областях − слева и справа от барьера получаем

В частности, при t = 0

    Теперь вспомним, что, по условию, «ширина» распределения χ(ξ) много меньше, чем х₀. Значит, при t = 0 в область х < 0 попадает лишь «хвост» функции х(−х − х0), равно как в область х > 0 − лишь «хвост» функции χ(x − x₀). Пренебрегая ими, видим, что с учетом специфических свойств, функции
χ(ξ) выражение (7.18) эквивалентно условию (7.6) во всей области −∞ < х < ∞.
    Итак, мы показали, что волновая функция ψ_k(x,t), даваемая выражением (7.14), удовлетворяет и нестационарному уравнению Шредингера (7.12), и начальному условию (7.6), т.е. является искомым решением рассматриваемой задачи. Разберем физический смысл этого решения. Для этого удобно снова обратиться к выражению (7.17). В области х < 0 при t < |x₀|/v существен только первый член, описывающий движение частицы слева направо, а при t > |x₀|/v − только второй член, описывающий движение частицы в обратном направлении. В области х > а частица появляется с заметной вероятностью только при t > |x₀|/v и в дальнейшем движется все время вправо, удаляясь от барьера. Все эти результаты проиллюстрированы на рис. 7.1, где изображено распределение координат частицы ρ(х,t) = |k(x,t)|² для различных моментов времени; стрелки указывают направление движения частицы. Коэффициент прохождения частицы через барьер есть, очевидно, вероятность найти частицу в области х > а при t >> t₀:

(7.19)

Аналогично вычисляется и коэффициент отражения:

(7.20)

    Это, действительно, тот же результат (7.4), к которому мы пришли раньше, пользуясь стационарной теорией. Заметим, что функциям ψ_k(x), к нахождению которых сводится вычисление коэффициентов прохождения и отражения, в нестационарной теории можно не придавать никакого физического смысла; во всяком случае, не будучи квадратично-интегрируемыми функциями, они не описывают никаких реальных состояний частицы.
    Прежде чем перейти к трехмерному случаю, напомним, что мы специально так подобрали параметры начального состояния частицы, чтобы пренебречь расплыванием волнового пакета за время его движения к барьеру. Та же задача в условиях сильного распльтания пакета оказывается гораздо более сложной и требует специального рассмотрения.

§ 7.2. Рассеяние трехмерных волновых пакетов. Асимптотические состояния. Оператор рассеяния

    Обратимся к той же задаче, которую мы с помощью стационарной теории столкновений рассматривали в § 1.1: постоянный однородный поток частиц, имеющих определенную заданную скорость, рассеивается неподвижным силовым центром. Необходимо, зная закон взаимодействия между частицей и силовым центром V(r), вычислить дифференциальное сечение рассеяния. Вспомним, как решается эта задача в классической механике − с помощью уравнений движения мы прослеживаем траекторию движения каждой частицы и по ее асимптоте находим соотношение, связывающее прицельный параметр падающей частицы и угол рассеяния ρ = ρ(θ); затем с помощью этого соотношения вычисляем дифференциальное сечение:

(7.21)

    В квантовой механике нет строгого понятия траектории частицы. Частица никогда не локализована точно ни в пространстве, ни по импульсу, а ее движение, как мы видели, например, в предыдущем параграфе, − это эволюция соответствующего волнового пакета. Представим себе волновой пакет, который в начальный момент времени локализован достаточно далеко от силового центра и движется с некоторым средним импульсом р₀ в его сторону. С течением времени пакет расплывается, потом, войдя основным своим массивом в область взаимодействия, как-то деформируется и затем расходится более или менее широким и, вообще говоря, неоднородным по направлениям «облаком». Вероятность попадания рассеянной частицы в детектор, расположенный где-то на большом расстоянии от силового центра, пропорциональна плотности вероятности найти частицу в соответствующей точке. В общих чертах эта картина не отличается от картины движения одномерных пакетов. Однако проследить на формулах за ее развитием с течением времени, как это было сделано в § 7.1, в трехмерном случае технически очень сложно. Поэтому здесь приходится использовать особый математический аппарат и ряд новых физических понятий.
    Пусть при t = 0 состояние частицы описывается некоторой квадратично-интегрируемой волновой функцией ψ₀(r). Вид этой волновой функции вместе с гамильтонианом полностью определяет всю непрерывную последовательность состояний ψ(r, t), через которые проходит пакет как во времена, предшествующие моменту t = 0, так и при t > 0. Иногда говорят, что функция ψ₀(r) определяет всю квантовую «траекторию» (или квантовую «орбиту»), по которой движется частица (пакет).
    Мы можем проследить за «траекторией» частицы с помощью оператора эволюции

(7.22)

где = ₀ + − полный гамильтониан системы,

ψ(r,t) = (t)ψ0(r).

(7.23)

    Оператор эволюции обладает свойством унитарности:

+ = + = 1,

(7.24)

 поэтому нормировка функции (7.23) в процессе эволюции пакета не меняется.
    При t → −∞, так же как и при t → +∞, основной массив волнового пакета находится вне области действия силового центра, т.е. мы имеем дело со свободным пакетом. Его эволюция определяется не гамильтонианом , а гамильтонианом свободной частицы ₀. Введем соответствующий оператор эволюции:

(7.25)

    При t → +∞ рассматриваемая нами «траектория» асимптотически приближается к «траектории» свободно движущейся частицы, которую можно описать волновой функцией вида

ψ(r,t)|t →+∞ = 0(t)ψout(r).

(7.26)

    Аналогично при t → −∞

ψ(r,t)|t → −∞ = 0(t)ψin(r).

(7.27)

Состояния ψ_in(r) и ψ_out(r) характеризующие асимптотические (при t → ±∞) свойства «траектории» (7.23), называются асимптотическими состояниями, или входной (in) и выходной (out) асимптотами рассматриваемой «траектории».
    Как и всю «траекторию» частицы, ее асимптоты ψ_in(r) и ψ_out(r) можно установить по виду волнового пакета ψ₀(r) заданного в момент t = 0:

(7.28)

(7.29)

Введем два новых оператора _± (их называют мёллеровскими операторами):

(7.30)

Обратим внимание на то, что оператор ₊ есть предел при t → −∞, а ₋ − при t → +∞. Легко видеть, что эти операторы унитарны.
    С помощью мёллеровских операторов можно связать между собой входную и выходную асимптоты квантовой «траектории», по которой движется частица.
Подставив (7.30) в (7.28), (7.29) и исключив из этих соотношений функцию ψ₀(r), получаем:

ψout(r) = +ψin(r) .

(7.31)

Соотношение (7.31) можно записать более компактно, если определить оператор рассеяния
(-оператор):

= +

(7.32)

ψout(r) = ψin(r) .

(7.33)

Из унитарности мёллеровских операторов вытекает и унитарность -оператора:

+ = + = 1 .

(7.34)

    -оператор (и соответствующая ему -матрица) относится к ряду важнейших понятий квантовой теории столкновений. Обычно детектор частиц, испытавших рассеяние, располагается на столь больших расстояниях от мишени, что их можно считать асимптотически далекими расстояниями, а времена, которые необходимы частице, чтобы дойти до детектора, − асимптотически большими временами. В таких условиях целью теории столкновений − как классической, так и квантовой − является нахождение по заданным параметрам входного состояния, свойств асимптотического состояния частицы при t → +∞; сама же пространственно-временная картина перехода частицы с in-асимптоты на out-асимптоту не представляет с изложенной точки зрения практического интереса. Такой программе как раз и отвечает введение в квантовую теорию столкновений
-оператора.

§ 7.3. Свойства -оператора. Связь -оператора с -оператором

    Чтобы выяснить свойства -оператора, разберемся сначала в свойствах мёллеровских операторов ₊ и ₋.
    Пусть |ψ > − некоторый вектор состояния частицы; в координатном представлении ему соответствует волновая функция <r|ψ> = ψ(г). Подействуем на него оператором (7.30):

(7.35)

Напомним, что символом в квантовой механике обозначается бесконечный ряд операторов

поэтому произведение экспонент в (7.35) нельзя заменить одной экспонентой с суммарным показателем [i/h] ( − ₀)t = [i/h]t. Для перехода к пределу t → +∞ в (7.35) удобно воспользоваться следующим формальным приемом. Сначала вычислим производную

(7.36)

а затем запишем произведение экспонент в (7.35) как интеграл от его производной. На верхнем пределе (при t → +∞) интеграл может расходиться, поэтому мы введем в подынтегральное выражение обрезающий множитель e^-εt, где ε > 0; после вычисления интеграла устремим ε к нулю. В результате получаем

(7.37)

    Если теперь воспользоваться полным набором собственных векторов |к) (точнее, обобщенных собственных векторов) оператора |k>, то легко получить матрицу оператора ₋ в
р-представлении. Мы определим векторы |k> соотношениями:

0|k> = Ek|k>,    Ek = ћ2k2/2μ

(7.38)

нормировав их в соответствии с условием полноты

При таком выборе волновая функция состояния |k> в координатном представлении имеет вид

(7.40)

Как и в предыдущих лекциях, мы сохраним обозначение φ_k за плоской волной с единичной амплитудой: φ_k(r) = e^ikr.
    Подставляя (7.39) в (7.37) и используя затем (7.38), мы получаем

(7.41)

Здесь мы узнаем гриновский оператор (6.2) частицы, движущейся в поле силового центра (см.
§ 6.1):

(7.42)

так в аппарат нестационарной теории столкновений начинают проникать специфические элементы аппарата стационарной теории. Используя (7.42), запишем (7.41) в виде

− = 1 + (−)(E).

(7.43)

Аналогичное соотношение (с заменой оператора ⁽⁻⁾ на ⁽⁺⁾ имеет место для мёллеровского оператора ₊.
    Формула (7.43) дает матрицу мёллеровского оператора в р −представлении:

<k' |±| k> = δ(k − k' ) + <k' |±(Ek)| k>.

(7.44)

Полезна и другая запись

<r |±| k> = <r | k> + <r |±(Ek)| k>,

(7.45)

что иначе означает

(7.46)

Здесь в правой части мы видим не что иное, как «искаженные волны» (r) являющиеся решением стационарного уравнения Шредингера с соответствующими асимптотическими условиями (см. (1.8) и упр. 1.1). Таким образом, мёллеровский оператор превращает плоскую волну частицы в искаженную волну:

±eikr = (r)

(7.47)

(см. также (6.14)).
    Теперь легко найти и матрицу S-оператора (S-матрицу) в р-представлении:

(7.48)

Далее с помощью (6.14) выразим функцию через функцию :

= + {(−)(Ek) − (+)(Ek)}φk

(7.49)

и воспользуемся свойством ортогональности функций (см. упр. 7.3):

а также соотношением

(7.51)

которое следует из того, что удовлетворяет уравнению = E_k. Отсюда получаем

(7.52)

здесь мы воспользовались соотношением (6.26).
    Итак, S-матрица, которую мы ввели рамках нестационарной теории столкновений, связана соотношением (7.52) с t-матрицей на массовой поверхности, введённой нами ранее в рамках стационарной теории. Перепишем это соотношение так, чтобы в обе его части входили векторы одного и того же базиса:

<k' || k> = δ(k − k' ) − 2πiδ(Ek − Ek')<k' |t(Ek + iε)| k>

(7.53)

    Входящий в правую часть этого равенства элемент t-матрицы пропорционален амплитуде рассеяния частицы на потенциале V (см. (6.32)):

(7.54)

    Используя это соотношение, мы можем связать S-матрицу с амплитудой рассеяния частицы:

(7.55)

§ 7.4. Дифференциальное сечение потенциального рассеяния в нестационарной теории

    Сформулируем задачу о вычислении дифференциального сечения рассеяния в квантовой механике как можно ближе к тому, как она формулируется в классической механике. Будем считать, что нам известны начальные (входные) параметры квантовой «траектории» частицы − средний прицельный параметр ρ₀ и средний импульс р₀. Выберем, как обычно, ось z вдоль среднего импульса р₀.
    Рассмотрим несколько конкретных примеров начального состояния частицы. Пакет

(7.56)

локализован в окрестности точки r = 0 и размазан равномерно по всем направлениям; в
р-представлении он описывается функцией

(7.57)

где p_z − продольная; p_┴ − поперечная составляющая импульса частицы. Пакет

(7.58)

такой же, как в случае А, но его «центр тяжести» смещен на вектор ρ₀ перпендикулярно оси z; в
р-представлении он описывается функцией

(7.59)

Заметим, что, вообще, если Ф₀(р) − пакет с «центром тяжести» на оси z, то

(7.60)

это такой же пакет, но его «центр тяжести» смещен на вектор ρ₀ перпендикулярно оси z.
    Пусть, так или иначе, задано начальное состояние частицы ψ_in. Вероятность того, что идеальный детектор зарегистрирует импульс частицы в конечном состоянии в интервале d³p, есть очевидно,

где волновая функция ψ(t) описывает, согласно (7.23), эволюцию пакета. Используя (7.26), а также учитывая, что вектор |р> − это собственный вектор оператора эволюции ₀(t), запишем (7.61) в другом виде:

Ранее мы определили S-матрицу соотношением (7.33), а также установили связь между S-матрицей и амплитудой рассеяния частицы (соотношение (7.55)). Используя эти соотношения, выразим амплитуду импульсного распределения в выходном состоянии ψ_out через амплитуду импульсного распределения во входном состоянии ψ_in:

(7.63)

Примеры распределений <р|ψ_in> были приведены в формулах (7.57) и (7.59).
    Теперь мы примем одно очень важное допущение, связанное с тем, что в реальных экспериментах детектор упруго рассеянных частиц всегда стоит несколько в стороне от направления потока падающих частиц. Будем считать поэтому, что детектор не чувствует первого слагаемого в (7.63), которое быстро затухает по мере отклонения вектора р от оси z:

(7.64)

Тогда для вероятности рассеяния частицы с заданным средним значением прицельного параметра имеем

(7.65)

Полное число частиц, попадающих в единицу времени в детектор с импульсом в интервале d³p есть интеграл по всем значениям ρ₀ в плоскости, перпендикулярной оси z, помноженный да плотность потока падающих частиц j_in. Отнеся это число к единичному потоку падающих частиц, мы получаем дифференциальное сечение рассеяния:

(7.66)

Интегрирование по прицельному параметру ρ₀ дает δ-функцию поперечных импульсов, которую мы преобразуем далее вместе с δ-функцией от энергий:

(7.67)

После интегрирования по d³р"получаем

(7.68)

Теперь осталось преобразовать элемент d³p:

и проинтегрировать по dE_p. В итоге получаем

(7.70)

    Это и есть окончательный результат вычисления дифференциального сечения рассеяния dσ/dΩ, если не делать никаких специальных допущений о форме начального волнового пакета Ф₀(р' ). Предположим, теперь, что разброс импульса частицы р'  вокруг его среднего значения p₀ в начальном состоянии столь мал, что: а) отношение р'/р'_z под интегралом в (7.70) можно заменить единицей; б) амплитуда ƒ(р' → р) изменяется в пределах этого разброса пренебрежимо мало, так что ее можно заменить амплитудой ƒ(р₀ → р) и, следовательно, вынести из-под интеграла. Поскольку функция Ф₀(р' ) нормирована, как обычно, на единицу:

то после сделанных выше предположений формула (7.70) для дифференциального сечения рассеяния переходит в известную формулу стационарной теории столкновений:

    Итак, используя последовательную нестационарную формулировку задачи потенциального рассеяния, мы обосновали метод вычисления дифференциального сечения рассеяния, построенный первоначально с использованием ряда интуитивных соображений в рамках стационарной теории (лекция 1). Одновременно мы показали, что применимость этого метода (в том числе основной формулы (7.72), где амплитуда рассеяния ƒ(р₀ → р) находится из асимптотики искаженной волны (r) определяется рядом физических условий. Их суть сводится к следующему: 1) состояние частицы в падающем пучке представляет собой четко локализованный в импульсном пространстве волновой пакет; 2) детектор расположен вне конуса, в котором сосредоточены частицы падающего пучка, и регистрирует только частицы, испытавшие рассеяние.

Упражнения

7.1. Рассчитать коэффициент прохождения частицы через несимметричный барьер, изображенный на рисунке. Сравнить значение коэффициента прохождения в случаях, когда падающий поток идет на барьер слева и справа.

7.2. Получить приближенное выражение для коэффициента прохождения частицы сквозь прямоугольный барьер (рис. 7.1), если кинетическая энергия частицы много меньше высоты барьера.

7.3. Используя свойство ортогональности плоских волн и соотношение (7.47), доказать свойство ортогональности искаженных волн (7.50).

7.4. Выяснить условия вынесения амплитуды рассеяния из-под интеграла (7.70), если частица рассеивается на потенциале Юкавы (1.27), а начальный волновой пакет описывается формулой (7.58)

7.5. Пусть |Eℓm> − полный набор состояний свободного движения частицы:

Используя соотношения (7.55), (3.18) и (3.22), а также, известную формулу преобразования

<k|Eℓm> = <k|E<|ℓm>

(7.74)

показать, что S-матрица в представлении {Eℓm} диагональна:

а ее элементы S_ℓ выражаются через фазы рассеяния частицы:

7.6. Используя результат предыдущего упражнения, а также результаты, полученные в § 3.2, показать, что S-матрица определяет соотношение между сходящейся к центру и расходящейся от центра волнами в асимптотике волновой функции (r): 

(7.77)