Раздел. II Многочастичная теория столкновений

Лекция 8. Упругое и неупругое рассеяния частиц на составной системе в борновском приближении

§ 8.1. Борновское приближение как первый порядок теории возмущений. Дифференциальные сечения упругого и неупругого рассеяний

    Переходя от задачи потенциального рассеяния к описанию столкновений частицы с составной системой, мы встречаемся с рядом принципиально новых понятий теории столкновений, таких, как многоканальный характер взаимодействия, обменное рассеяние, эффекты ухода с массовой поверхности. Начиная с простейшего приближенного подхода − теории возмущений, введем самые необходимые термины и обозначения.
    Если, например, электрон сталкивается с атомом или нейтрон с атомным ядром, то будем называть электрон (нейтрон) частицей х, атом (ядро) − мишенью А, а совокупность частицы и мишени − системой (физической системой). Будем пользоваться стандартным обозначением процессов упругого и неупругого рассеяний:

    Вплоть до лекции 16 будем пренебрегать эффектами тождественности частиц и всеми спиновыми эффектами. Будем также считать мишень А бесконечно тяжелой по сравнению с налетающей частицей, т.е. пренебрежем различием между лабораторной системой отсчета и системой центра масс рассматриваемой физической системы.
    Пусть ξ − набор внутренних переменных мишени, r − пространственная координата частицы х;
− гамильтониан свободной мишени, его собственные значения ε_n и собственные функции
Ф_n(ξ) = |n> соответствуют стационарным состояниям мишени:

AФn(ξ) = εnФn(ξ); n = 0, 1, 2,....

(8.2)

Мы выбрали обозначения таким образом, что Ф₀(ξ) − это волновая функция основного состояния мишени; положим также ε_n = 0, т.е. будем отсчитывать энергию возбуждения мишени ε_n от энергии основного состояния. Функции Ф_n ортогональны друг другу и вместе с волновыми функциями непрерывного спектра мишени образуют полный набор:

здесь символ ∑ обозначает суммирование по дискретному спектру и интеграл по непрерывному спектру мишени.
    Пусть − оператор кинетической энергии частицы, а V = V(ξ,r) − оператор ее взаимодействия с мишенью. Тогда полный гамильтониан системы можно записать в виде

= A + + = 0 + ,

(8.5)

где

0 = A +

(8.6)

− гамильтониан системы, состоящей из невзаимодействующих друг с другом частицы и мишени, − оператор возмущения этой системы.
    Вычислим в низшем порядке теории возмущений дифференциальное сечение рассеяния частицы dσ_n/dΩ, соответствующее переходу мишени из основного состояния |0> в некоторое состояние дискретного спектра |n>. Для этого воспользуемся известной формулой (см., напр. [2]) для плотности скорости перехода системы в состояние непрерывного спектра под действием постоянного возмущения:

(8.7)

В общем случае γ − совокупность квантовых чисел, которые вместе с энергией E_f полностью характеризуют конечное состояние невозмущенной системы Ψ_f⁽⁰⁾: {f} = {E_f,γ}. В нашем случае

(8.8)

(8.9)

где k_i и k_f − импульсы (волновые векторы) падающей и рассеянной частиц k_i = p_i / ћ, k_f = p_f / ћ. Энергия конечного состояния E_f определяется квантовым числом n и абсолютной величиной импульса рассеянной частицы:

(8.10)

В силу закона сохранения энергии (E_f = E_i)

(8.11)

Роль дополнительного квантового числа γ в формуле (8.7) играет направление вылета рассеянной частицы; будем характеризовать его единичным вектором _f = k_f / | k_f |. Таким образом, в качестве dγ в (8.7) подставляем элемент телесного угла dΩ = sin θ dθ dφ, где θ и φ − полярный и азимутальный углы рассеяния. Итак, плотность скорости перехода |0> → |n> в интересующем нас случае дается выражением

(8.12)

Легко видеть, что плотность конечных состояний ρ(n,k_f) зависит лишь от одной величины k_f. Ее явный вид зависит от того, как мы выберем нормировку волновой функции конечного состояни(r,ξ); важно, чтобы при этом выполнялось условие полноты:

(8.13)

При выбранной нами нормировке (8.9) ρ(n,k_f) имеет вид

(8.14)

Если же функции (r,ξ) нормировать по-другому, например

(8.15)

или

(8.16)

то соответственно надо изменить и вид   плотности конечных состояний:

(8.17)

(8.18)

    Подчеркнем: выбор нормировочного множителя в функции конечного состояния (r,ξ) не имеет никакого значения для получения правильного окончательного результата, если одновременно с этим − в соответствии с условием (8.13) − устанавливается и явный вид плотности конечных состояний ρ(n,k_f).
    Итак, подставив (8.14) в (8.12), мы получим вероятность, перехода в единицу времени из основного состояния мишени |0) в дискретное состояние |п), отнесенную к единичному телесному углу вьшета рассеянной частицы. Чтобы получить из этой величины, искомое дифференциальное сечение рассеяния dσ_n/dΩ надо поделить ее на плотность потока падающих частиц:

Величину j_in найдем по общей формуле плотности тока вероятности (1.36), подставив в нее волновую функцию начального состояния При выбранной нами нормировке этой функции (8.8)

где v_i − вектор скорости падающих частиц. В итоге получаем

(8.21)

при |n> = |0> формула (8.21) дает дифференциальное сечение упругого, а при |n> ≠ |0> − неупругого рассеяния. Выражение (8.21) удобно переписать в несколько ином виде:

(8.22)

где величину

(8.23)

назовем борновской амплитудой рассеяния частицы на составной системе. В частном случае, когда мишень не имеет внутренних степеней свободы (т.е. (ξ,r) → V(r), p_f → р_i), формулы (8.23) и (8.22) переходят в формулы (2.4) и (1.34) теории потенциального рассеяния.

§ 8.2. Упругое рассеяние быстрых электронов на атомах

    Применим полученные результаты к рассеянию электронов на атомах. При этом будем стремиться к тому, чтобы представить их в форме, не зависящей от конкретного вида атомных волновых функций. Как и в предыдущем параграфе, опустим все, что касается обменного рассеяния (тождественности частиц) и взаимодействий, зависящих от спинов.
    Оператор возмущения есть в нашем случае оператор взаимодействия налетающего электрона с ядром атома и всеми Z электронами атома:

(8.24)

а борновская амплитуда рассеяния выражается через интеграл по координате рассеиваемого электрона r и координатам атомных электронов {r₁,..., r_Z}:

(8.25)

    Первое слагаемое в (8.25), обусловленное взаимодействием налетающего электрона с ядром атома, отлично от нуля только в случае упругого рассеяния; при этом интегрирование по переменной г дает борновскую амплитуду рассеяния электрона на точечном заряде Ze (см. (2.27)).
    Отложим до следующего параграфа исследование формулы (8.25) в случае неупругого рассеяния и займемся борновской амплитудой упругого рассеяния:

(8.26)

    При получении (8.26) из (8.25) мы воспользовались вспомогательным соотношением

(8.27)

и ввели обозначение матричного элемента по атомным волновым функциям:

(8.28)

    Легко видеть, что входящий в (8.26) диагональный матричный элемент (8.28) − это фурье-образ плотности электронов в основном состоянии атома рв(г):

(8.29)

(8.30)

Определим формфактор плотности электронов соотношением

(8.31)

и выразим через него борновскую амплитуду упругого рассеяния электронов:

(8.32)

Тогда дифференциальное сечение упругого рассеяния вычислится по формуле

(8.33)

где (dσ/dΩ)_R − дифференциальное сечение рассеяния электронов на точечном единичном заряде (формула Резерфорда (2.28)).
    В обычных условиях распределение электронной плотности в основном состоянии атома сферически-симметрично:

тогда и формфактор (8.31) зависит лишь от модуля передаваемого импульса:

e(q) → e(q)

(8.35)

Следовательно, в таком случае (а также в случае аксиально-симметричного относительно импульса k_i распределения плотности ρ_е(r)) рассеяние электронов не зависит от азимутального угла φ.
    Согласно определению (8.31), формфактор _e(q) нормирован условием _e(0) = 1, а при малых q выражается через среднеквадратичный радиус электронной оболочки атома:

(8.36)

Подставляя (8.36) в (8.32), видим, что, хотя атом − это в среднем нейтральная система, вероятность рассеяния электрона на атоме отлична от нуля даже при бесконечно малых углах рассеяния:

(8.37)

в этом проявляется дальнодействующий характер кулоновского взаимодействия. Не следует, однако, воспринимать (8.37) как надежный в количественном отношении результат: борновская амплитуда (8.32) вещественна, и ее значение в нуле не удовлетворяет оптической теореме.

§ 8.3 Возбуждение дискретных уровней атомов быстрыми электронами. Понятие неупругого формфактора. Правила отбора при малом передаваемом импульсе. Энергетическая зависимость вероятности оптически разрешенных переходов

    Вернемся к общему выражению (8.25) для борновской амплитуды рассеяния электрона на атоме. Если |n> ≠ |0>, то первое слагаемое в (8.25), обусловленное взаимодействием налетающего электрона с ядром атома, пропадает. Амплитуда неупругого рассеяния электрона, при котором атом совершает переход из состояния |0> в состояние |n>, а также, соответствующее парциальное дифференциальное сечение рассеяния выражаются через неупругий электронный формфактор атома _n0(q):

(8.38)

(8.39)

Мы определили неупругий формфактор соотношением

(8.40)

В различных задачах атомной физики он используется как модельно независимая структурная характеристика, отражающая все свойства волновых функций состояний |0> и |n>, которые в первом порядке теории возмущений проявляются в переходе |0> → |n>.
    Рассмотрим процесс неупругого рассеяния, когда передаваемый импульс мал:

где а − некоторый параметр, характеризующий средние размеры атома. Разлагая входящую в _n0(q) экспоненту в ряд Тейлора и учитывая ортогональность атомных волновых функций |0> и |n>, получаем, что при малых q неупругий формфактор _n0(q) выражается через матричный элемент оператора электрического дипольного момента атома:

(8.42)

где

(8.43)

Таким образом, если передаваемый импульс мал, то при неупругом рассеянии электронов преимущественно возбуждаются переходы |0> → |n>, удовлетворяющие правилам отбора для электромагнитных Е1-переходов:

(8.44)

Такие переходы называются оптически разрешенными или Е1-переходами.
    Состояния дискретного спектра атома − это (за исключением особого случая атома водорода) состояния с определенным значением углового момента. Опуская все, что связано со спином атомных электронов и налетающего электрона, рассмотрим возбуждение уровня с определенным орбитальным моментом L_n (пусть при этом L₀ − орбитальный момент атома в основном состоянии):

Если ориентация углового момента L₀ неопределенна, а детектор реакции (8.45) нечувствителен к ориентации момента L_n, то дифференциальное сечение парциального перехода (8.39) вычисляется усреднением по всем направлениям L₀ и суммированием по всем направлениям L_n:

(8.46)

    Разложим оператор по мультиполям (см. (3.4)):

(8.47)

здесь _j и _q − единичные векторы в направлении векторов r_j и q, θ_qrj − угол между этими направлениями. По теореме Вигнера − Эккарта [1, (56.5)] получаем

(8.48)

где приведенный матричный элемент

(8.49)

будем называть мультипольным формфактором перехода.
    Подставляя (8.48) в (8.46) и используя известные свойства коэффициентов Клебша − Гордона [1, (41.19) и (Д2.3)], выразим дифференциальное сечение парциального перехода |0> → |n> через мультипольные формфакторы перехода:

(8.50)

здесь мы воспользовались также, формулой [1, (Д7.15)] для выполнения суммирования по магнитному квантовому числу μ; благодаря такому суммированию в (8.50) вьшала зависимость от направления вектора переданного импульса q.
    Мультипольные формфакторы (8.49) ведут себя при малых q согласно степенному закону:

(8.51)

Поскольку дифференциальное сечение (dσ/dΩ)_R пропорционально 1/q⁴, получаем, что дифференциальные сечения парциальных переходов мультипольности λ, ведут себя при малых q согласно закону:

(8.52)

Отсюда, как и из (8.42), снова видно, что в реакции (е,е' ) при малых q в спектрах возбуждения атома доминируют El-переходы. Заметим также, что при неупругом рассеянии, в отличие от упругого рассеяния, минимальный переданный импульс q_min = k_i − k_f всегда больше нуля. Поэтому дифференциальное сечение любого парциального перехода (е,е' ), в отличие от (dσ/dΩ)_R, никогда не обращается в бесконечность при θ = 0.

Рис. 8.1. Кинематика рассеяния электрона на атоме.

    Исследуем, как зависит вероятность оптически разрешенных переходов от энергии налетающих электронов. Полное сечение парциального перехода |0> → |n> вычисляется интегрированием дифференциального сечения рассеяния dσ_n/dΩ по всем направлениям вылета рассеянного электрона:

Поскольку в борновском приближении dσ_n/dΩ зависит от углов рассеяния электрона через переданный импульс q то удобно перейти в (8.53) к интегрированию по q (см. (2.24)):

(8.54)

здесь мы использовали соотношение

(8.55)

следующее из треугольника векторов k_i, k_f и q (рис. 8.1). Если энергия возбуждения атома ε_n много меньше, чем энергия налетающих электронов Е, то пределы интегрирования в (8.54) можно заменить их приближенными значениями:

θ = 0   qmin = ki − kf → θ = π   qmin = ki − kf →

(8.56)

При малых q дифференциальное сечение оптически разрешеного перехода ведет себя, согласно (8.52), как

    Чтобы фиксировать в (8.57) коэффициент пропорциональности, удобно вернуться к соотношениям (8.46), (8.40) и (8.42). В борновском приближении переходы |0L₀M₀> → |nL_nM_n> подчиняются строгому правилу отбора по проекции момента на направление вектора q:

 а дифференциальное сечение оптически разрешенного перехода при малых q выражается через матричный элемент оператора проекции электрического дипольного момента атома на ось квантования (т.е. на направление переданного импульса q):

(8.59)

где z_j − проекция радиус-вектора атомного электрона на ось z. Этот же матричный элемент входит в так называемую силу осциллятора электромагнитного Е1-перехода:

(8.60)

где m_е − масса электрона. Подставляя (8.59) в (8.39), получаем

(8.61)

    Из (8.56) видно, что при малых углах рассеяния линейная аппроксимация формфактора _n0(q), а следовательно, и формула (8.57) работают тем лучше, чем больше энергия Е налетающего электрона. С другой стороны, именно область самых малых углов дает основной вклад в интеграл (8.54) Если распространить зависимость (8.57) на всю область интегрирования q_min ≤ q ≤ <q_mах, то для парциального сечения оптически разрешенного перехода получаем следующую аппроксимацию:

(8.62)

Эта формула называется формулой Бете.

§ 8.4. Плотность перехода. Связь между неупругими формфакторами и переходными плотностями

    Неупругий формфактор _n0(q), если он известен при всех значениях q, несет в себе всю информацию о парциальном переходе |0> → |n>, необходимую и достаточную для исчерпывающего описания этого перехода в рамках борновского приближения. Эквивалентной структурной характеристикой того же перехода является так называемая переходная плотность, определяемая как функция пространственной координаты частицы. Будем для определенности говорить об электронной переходной плотности в атомах. Это − недиагональный матричный элемент оператора плотности частиц:

(8.63)

в обкладках начального и конечного состояний атома, между которыми совершается переход:

(8.64)

    Переходная плотность и неупругий формфактор перехода 0> → |n> связаны между собой преобразованием Фурье:

(8.65)

    В предыдущем параграфе мы ввели разложение неупругого формфактора по мультиполям. Для состояний с определенным угловым моментом |0> = |0L₀М₀> и |n> =|nL_nM_n> из формул (8.47) и (8.49) имеем

(8.66)

Мультипольным формфакторам перехода (q) соответствуют мультипольные компоненты переходных плотностей:

(8.67)

(8.68)

а именно

(8.69)

и обратно

(8.70)

Из последнего соотношения видно, что при малых г переходные плотности ведут себя согласно степенному закону:

(8.71)

    Согласно соотношению (8.49), мультипольные формфакторы перехода удовлетворяют своеобразному условию «нормировки»:

(8.72)

где приведенньш матричный элемент оператора мультипольного момента атома:

(8.73)

То же условие, записанное для переходной плотности, имеет вид

(8.74)

Упражнения

8.1. Пользуясь борновским приближением, исследовать характер углового распределения электронов, упруго рассеянных атомом водорода.

8.2. В приближении эффективного заряда [1, § 46] рассчитать электронный формфактор атома гелия. Сравнить его с формфактором, рассчитанным с водородо-подобными волновыми функциями при
Z = 2. Пользуясь борновским приближением, исследовать, как влияет взаимное отталкивание между атомными электронами на характер углового распределения быстрых электронов, упруго рассеянных атомом гелия.

8.3. Используя модель независимых частиц с осцилля-торными волновыми функциями, рассчитать зарядовые формфакторы магических ядер ⁴Не и ¹⁶0. Пользуясь борновским приближением, указать качественные различия в форме дифференциальных сечений упругого рассеяния быстрых электронов на этих ядрах. Сравнить с результатами упр. 2.5.

8.4. Пользуясь борновским приближением и считая, что нуклон-нуклонные nn- и nр-взаимодействия описываются потенциалом Юкавы , найти дифференциальное сечение упругого рассеяния быстрых нейтронов ядрами ⁴Не. Плотность вещества в основном состоянии ядра ⁴Не рассчитать в рамках модели независимых частиц с осцилляторными волновыми функциями. Отдачей ядра пренебречь.

8.5. Решить задачу 8.4 для быстрых протонов, учитывая ядерное и кулоновское взаимодействия налетающего протона с нуклонами ядра. Указать качественные различия в форме дифференциальных сечений упругого рассеяния нейтронов и протонов.

8.6. Вычислить мультипольные компоненты переходной плотности для следующих переходов атома водорода: а) 1s → 2р, б) 1s → Зр, в) 2р → 3d, г) 2р → Зр.

8.7. Пользуясь борновским приближением, вычислить дифференциальное сечение возбуждения быстрыми электронами уровня п = 2 атома водорода. Как меняется в зависимости от угла рассеяния электрона относительный вклад состояний 2s и 2р в эту величину?

8.8. Вычислить полное сечение возбуждения быстрыми электронами уровня n = 2 атома водорода. Как меняется в зависимости от энергии электронов относительный вклад состояний 2s и 2р в эту величину?

8.9. Вычислить переходную плотность для перехода из основного состояния (1s²)¹S в состояние (ls2p)¹Р атома гелия. Волновую функцию возбужденного состояния построить согласно модели независимых частиц с эффективными зарядами:

Z_eff(ls) = 2,    Z_eff(2p) = 1.

8.10. Выразить силу осциллятора ƒ_n0 электромагнитного El-перехода в атоме через плотность перехода (r).