Раздел. II Многочастичная теория столкновенийЛекция 8. Упругое и неупругое рассеяния частиц на составной системе в борновском приближении§ 8.1. Борновское приближение как первый порядок теории возмущений. Дифференциальные сечения упругого и неупругого рассеяний Переходя от задачи потенциального рассеяния к описанию столкновений
частицы с составной системой, мы встречаемся с рядом принципиально новых
понятий теории столкновений, таких, как многоканальный характер
взаимодействия, обменное рассеяние, эффекты ухода с массовой
поверхности. Начиная с простейшего приближенного подхода − теории
возмущений, введем самые необходимые термины и обозначения.
Вплоть до лекции 16 будем пренебрегать эффектами тождественности
частиц и всеми спиновыми эффектами. Будем также считать мишень А
бесконечно тяжелой по сравнению с налетающей частицей, т.е. пренебрежем
различием между лабораторной системой отсчета и системой центра масс
рассматриваемой физической системы.
Мы выбрали обозначения таким образом, что Ф0(ξ) − это волновая функция основного состояния мишени; положим также εn = 0, т.е. будем отсчитывать энергию возбуждения мишени εn от энергии основного состояния. Функции Фn ортогональны друг другу и вместе с волновыми функциями непрерывного спектра мишени образуют полный набор:
здесь символ ∑ обозначает суммирование по дискретному спектру и интеграл по непрерывному спектру мишени.
где
− гамильтониан системы, состоящей из невзаимодействующих друг с другом частицы и мишени,
В общем случае γ − совокупность квантовых чисел, которые вместе с энергией Ef полностью характеризуют конечное состояние невозмущенной системы Ψf(0): {f} = {Ef,γ}. В нашем случае
где ki и kf − импульсы (волновые векторы) падающей и рассеянной частиц ki = pi / ћ, kf = pf / ћ. Энергия конечного состояния Ef определяется квантовым числом n и абсолютной величиной импульса рассеянной частицы:
В силу закона сохранения энергии (Ef = Ei)
Роль дополнительного квантового числа γ в формуле (8.7) играет
направление вылета рассеянной частицы; будем характеризовать его
единичным вектором
Легко видеть, что плотность конечных состояний ρ(n,kf) зависит лишь
от одной величины kf. Ее явный вид зависит от того, как мы выберем
нормировку волновой функции конечного состояни
При выбранной нами нормировке (8.9) ρ(n,kf) имеет вид
Если же функции
или
то соответственно надо изменить и вид плотности конечных состояний:
Подчеркнем: выбор нормировочного множителя в функции конечного состояния
Величину jin найдем по общей формуле плотности тока вероятности (1.36), подставив в нее волновую функцию начального состояния
где vi − вектор скорости падающих частиц. В итоге получаем
при |n> = |0> формула (8.21) дает дифференциальное сечение упругого, а при |n> ≠ |0> − неупругого рассеяния. Выражение (8.21) удобно переписать в несколько ином виде:
где величину
назовем борновской амплитудой рассеяния частицы на составной системе.
В частном случае, когда мишень не имеет внутренних степеней свободы
(т.е. |
§ 8.2. Упругое рассеяние быстрых электронов на атомах Применим полученные результаты к рассеянию электронов на атомах. При
этом будем стремиться к тому, чтобы представить их в форме, не зависящей
от конкретного вида атомных волновых функций. Как и в предыдущем
параграфе, опустим все, что касается обменного рассеяния
(тождественности частиц) и взаимодействий, зависящих от спинов.
а борновская амплитуда рассеяния выражается через интеграл по координате рассеиваемого электрона r и координатам атомных электронов {r1,..., rZ}:
Первое слагаемое в (8.25), обусловленное взаимодействием налетающего
электрона с ядром атома, отлично от нуля только в случае упругого
рассеяния; при этом интегрирование по переменной г дает борновскую
амплитуду рассеяния электрона на точечном заряде Ze (см. (2.27)).
При получении (8.26) из (8.25) мы воспользовались вспомогательным соотношением
и ввели обозначение матричного элемента по атомным волновым функциям:
Легко видеть, что входящий в (8.26) диагональный матричный элемент (8.28) − это фурье-образ плотности электронов в основном состоянии атома рв(г):
Определим формфактор плотности электронов соотношением
и выразим через него борновскую амплитуду упругого рассеяния электронов:
Тогда дифференциальное сечение упругого рассеяния вычислится по формуле
где (dσ/dΩ)R − дифференциальное сечение рассеяния электронов на точечном единичном заряде (формула Резерфорда (2.28)).
тогда и формфактор (8.31) зависит лишь от модуля передаваемого импульса:
Следовательно, в таком случае (а также в случае аксиально-симметричного относительно импульса
ki распределения плотности ρе(r)) рассеяние электронов не зависит от азимутального угла φ.
Подставляя (8.36) в (8.32), видим, что, хотя атом − это в среднем нейтральная система, вероятность рассеяния электрона на атоме отлична от нуля даже при бесконечно малых углах рассеяния:
в этом проявляется дальнодействующий характер кулоновского взаимодействия. Не следует, однако, воспринимать (8.37) как надежный в количественном отношении результат: борновская амплитуда (8.32) вещественна, и ее значение в нуле не удовлетворяет оптической теореме. § 8.3 Возбуждение дискретных уровней атомов быстрыми электронами. Понятие неупругого формфактора. Правила отбора при малом передаваемом импульсе. Энергетическая зависимость вероятности оптически разрешенных переходов Вернемся к общему выражению (8.25) для борновской амплитуды рассеяния
электрона на атоме. Если |n> ≠ |0>, то первое слагаемое в (8.25),
обусловленное взаимодействием налетающего электрона с ядром атома,
пропадает. Амплитуда неупругого рассеяния электрона, при котором атом
совершает переход из состояния |0> в состояние |n>, а также,
соответствующее парциальное дифференциальное сечение рассеяния выражаются через
неупругий электронный формфактор атома
Мы определили неупругий формфактор соотношением
В различных задачах атомной физики он используется как модельно
независимая структурная характеристика, отражающая все свойства волновых
функций состояний |0> и |n>, которые в первом порядке теории возмущений
проявляются в переходе |0> → |n>.
где а − некоторый параметр, характеризующий средние размеры атома.
Разлагая входящую в
где
Таким образом, если передаваемый импульс мал, то при неупругом рассеянии электронов преимущественно возбуждаются переходы |0> → |n>, удовлетворяющие правилам отбора для электромагнитных Е1-переходов:
Такие переходы называются оптически разрешенными или Е1-переходами.
Если ориентация углового момента L0 неопределенна, а детектор реакции (8.45) нечувствителен к ориентации момента Ln, то дифференциальное сечение парциального перехода (8.39) вычисляется усреднением по всем направлениям L0 и суммированием по всем направлениям Ln:
Разложим оператор по мультиполям (см. (3.4)):
здесь
где приведенный матричный элемент
будем называть мультипольным формфактором перехода.
здесь мы воспользовались также, формулой [1, (Д7.15)] для выполнения
суммирования по магнитному квантовому числу μ; благодаря такому
суммированию в (8.50) вьшала зависимость от направления вектора
переданного импульса q.
Поскольку дифференциальное сечение (dσ/dΩ)R пропорционально 1/q4, получаем, что дифференциальные сечения парциальных переходов мультипольности λ, ведут себя при малых q согласно закону:
Отсюда, как и из (8.42), снова видно, что в реакции (е,е' ) при малых q в спектрах возбуждения атома доминируют El-переходы. Заметим также, что при неупругом рассеянии, в отличие от упругого рассеяния, минимальный переданный импульс qmin = ki − kf всегда больше нуля. Поэтому дифференциальное сечение любого парциального перехода (е,е' ), в отличие от (dσ/dΩ)R, никогда не обращается в бесконечность при θ = 0.
Исследуем, как зависит вероятность оптически разрешенных переходов от энергии налетающих электронов. Полное сечение парциального перехода |0> → |n> вычисляется интегрированием дифференциального сечения рассеяния dσn/dΩ по всем направлениям вылета рассеянного электрона:
Поскольку в борновском приближении dσn/dΩ зависит от углов рассеяния электрона через переданный импульс q то удобно перейти в (8.53) к интегрированию по q (см. (2.24)):
здесь мы использовали соотношение
следующее из треугольника векторов ki, kf и q (рис. 8.1). Если энергия возбуждения атома εn много меньше, чем энергия налетающих электронов Е, то пределы интегрирования в (8.54) можно заменить их приближенными значениями:
При малых q дифференциальное сечение оптически разрешеного перехода ведет себя, согласно (8.52), как
Чтобы фиксировать в (8.57) коэффициент пропорциональности, удобно вернуться к соотношениям (8.46), (8.40) и (8.42). В борновском приближении переходы |0L0M0> → |nLnMn> подчиняются строгому правилу отбора по проекции момента на направление вектора q:
а дифференциальное сечение оптически разрешенного перехода при малых q выражается через матричный элемент оператора проекции электрического дипольного момента атома на ось квантования (т.е. на направление переданного импульса q):
где zj − проекция радиус-вектора атомного электрона на ось z. Этот же матричный элемент входит в так называемую силу осциллятора электромагнитного Е1-перехода:
где mе − масса электрона. Подставляя (8.59) в (8.39), получаем
Из (8.56) видно, что при малых углах рассеяния линейная аппроксимация
формфактора
Эта формула называется формулой Бете. |
§ 8.4. Плотность перехода. Связь между неупругими формфакторами и переходными плотностями Неупругий формфактор
в обкладках начального и конечного состояний атома, между которыми совершается переход:
Переходная плотность и неупругий формфактор перехода 0> → |n> связаны между собой преобразованием Фурье:
В предыдущем параграфе мы ввели разложение неупругого формфактора по мультиполям. Для состояний с определенным угловым моментом |0> = |0L0М0> и |n> =|nLnMn> из формул (8.47) и (8.49) имеем
Мультипольным формфакторам перехода
а именно
и обратно
Из последнего соотношения видно, что при малых г переходные плотности ведут себя согласно степенному закону:
Согласно соотношению (8.49), мультипольные формфакторы перехода удовлетворяют своеобразному условию «нормировки»:
где
То же условие, записанное для переходной плотности, имеет вид
Упражнения8.1. Пользуясь борновским приближением, исследовать характер углового распределения электронов, упруго рассеянных атомом водорода. 8.2. В приближении эффективного заряда [1, § 46] рассчитать
электронный формфактор атома гелия. Сравнить его с формфактором,
рассчитанным с водородо-подобными волновыми функциями при 8.3. Используя модель независимых частиц с осцилля-торными волновыми функциями, рассчитать зарядовые формфакторы магических ядер 4Не и 160. Пользуясь борновским приближением, указать качественные различия в форме дифференциальных сечений упругого рассеяния быстрых электронов на этих ядрах. Сравнить с результатами упр. 2.5. 8.4. Пользуясь борновским приближением и считая, что нуклон-нуклонные
nn- и nр-взаимодействия описываются потенциалом Юкавы
8.5. Решить задачу 8.4 для быстрых протонов, учитывая ядерное и кулоновское взаимодействия налетающего протона с нуклонами ядра. Указать качественные различия в форме дифференциальных сечений упругого рассеяния нейтронов и протонов. 8.6. Вычислить мультипольные компоненты переходной плотности для следующих переходов атома водорода: а) 1s → 2р, б) 1s → Зр, в) 2р → 3d, г) 2р → Зр. 8.7. Пользуясь борновским приближением, вычислить дифференциальное сечение возбуждения быстрыми электронами уровня п = 2 атома водорода. Как меняется в зависимости от угла рассеяния электрона относительный вклад состояний 2s и 2р в эту величину? 8.8. Вычислить полное сечение возбуждения быстрыми электронами уровня n = 2 атома водорода. Как меняется в зависимости от энергии электронов относительный вклад состояний 2s и 2р в эту величину? 8.9. Вычислить переходную плотность для перехода из основного состояния (1s2)1S в состояние (ls2p)1Р атома гелия. Волновую функцию возбужденного состояния построить согласно модели независимых частиц с эффективными зарядами: Zeff(ls) = 2, Zeff(2p) = 1. 8.10. Выразить силу осциллятора ƒn0 электромагнитного El-перехода в атоме через плотность перехода
|