Лекция 10. Основные понятия многоканальной теории рассеяния

§ 10.1. Уравнения метода сильной связи каналов. Асимптотические условия

    Рассмотрим процесс столкновения (8.1), не прибегая к упрощениям, свойственным теории возмущений. Пусть, как и в § 8.1, ξ − это набор внутренних переменных мишени А, а r − пространственная координата частицы х, которая сталкивается с мишенью. По-прежнему пренебрежем тождественностью частиц, спиновыми эффектами и эффектами отдачи.
    Оператор взаимодействия частицы с мишенью = (ξ,r), вообще говоря, недиагонален по состояниям мишени |n>. Значит, взаимодействие частиц с мишенью может переводить мишень из одного состояния в другое, причем, когда это взаимодействие достаточно велико, мишень, обмениваясь энергией с частицей х, может совершать такие переходы многократно, пока не окажется в том или ином конечном состоянии. Пусть частица х сталкивается с мишенью, находящейся в основном состоянии |0>. Если в результате столкновения мишень останется по-прежнему в основном состоянии, т.е. если происходит упругое рассеяние х + А → х + А, то будем говорить, что в конечном состоянии мы имеем систему х + А в упругом канале. Если мишень перешла в какое-то другое состояние |n> ≠ |0> (неупругое рассеяние х + А → х' + А*), то будем говорить, что в конечном состоянии мы имеем систему х + А в неупругом канале.
    Понятие канала характеризует систему х + А на большом взаимном расстоянии, когда взаимодействие частицы х с мишенью А уже не существенно. На близком же расстоянии, там, где действует оператор (ξ,r), различные каналы оказываются связанными между собой, и сказать, из в каком из них находится система, невозможно. Теория столкновений, в которой учитывается связь между разными каналами рассеяния, называется многоканальной теорией рассеяния. Вариант этой теории, в котором, без каких-либо аппроксимаций, строго учитывается связь между ограниченным числом каналов, а влияние всех прочих каналов просто отбрасывается, называется методом сильной связи каналов. Получим основные уравнения этого метода.
    В стационарной теории столкновений процесс рассеяния описывается волновой функцией всей системы х + А, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера:

Ψ(ξ,r) = EΨ(ξ,r),

(10.1)

где полный гамильтониан системы дается формулами (8.5), (8.6). Волновые функции |n> = Ф_n(ξ,r) описывающие различные состояния мишени, образуют полный набор. Волновую функцию всей системы Ψ(ξ,r) можно разложить по этому набору:

здесь символ ∑, как и в (8.4), обозначает суммирование по дискретному спектру и интеграл по непрерывному спектру состояний мишени (в отличие от § 8.1 основному состоянию мишени припишем индекс n = 1; при этом сохраним отсчет энергии системы от этого состояния, таким образом, положим ε₁ = 0). Функции u_n(r), зависящие от координаты налетающей частицы r, называются канальными функциями.
    Чтобы перейти к методу сильной связи, надо оставить в (10.2) конечное число каналов, соответствующих каким-то определенным дискретным состояниям мишени (в том числе, конечно, и основному состоянию):

Для отбора состояний, наиболее существенных в каждом отдельном случае, не существует каких-либо абсолютно четких критериев. Это зависит и от энергии налетающих частиц, и от того, какой канал рассеяния представляет наибольший интерес в рассматриваемой конкретной задаче. Из общих соображений ясно, что в первую очередь следует включить в (10.3) те каналы, которые наиболее сильно связаны взаимодействием (ξ,r) с входным (упругим) и выходным каналами. Большое значение имеет также, насколько близко расположены соответствующие уровни мишени к уровню конечного состояния мишени или к его основному состоянию.
    Подставим (10.2) в уравнение Шредингера (10.1). Учитывая ортонормированность состояний |n>, получаем систему связанных уравнений для канальных функций u_n(r):

(10.4)

здесь мы ввели обозначения:

n = + εn + Vnn(r)

(10.5)

−  гамильтониан взаимодействия частицы с мишенью в n−ом канале; = ²/(2μ) − оператор кинетической энергии частицы;

Vnm(r) = V(r) ≡ <n||m> = ∫Ф(ξ)(ξ,r)Фm(ξ)dξ

(10.6)

− матрица оператора взаимодействия частицы х с мишенью А в обкладках волновых функций мишени.
    Система (10.4) решается со следующими асимптотическими условиями:

(10.7)

Первая строка соответствует физическому условию, что на мишень, находящуюся в состоянии |1>, из бесконечности падает поток частиц х с импульсом k₁. Вторая строка относится к неупругим каналам, переход в которые разрешен с точки зрения закона сохранения энергии системы: энергия возбуждения соответствующих уровней мишени ε_n меньше, чем кинетическая энергия падающих частиц на бесконечности; это так называемые открытые каналы. Третья строка относится к закрытым каналам; энергии падающей частицы Е недостаточно, чтобы перевести мишень в соответствующее возбужденное состояние.
    С математической точки зрения система (10.4) представляет собой систему связанных дифференциальных уравнений 2-го порядка. Легко показать, что она вместе с дополнительными условиями (10.7), эквивалентна системе интегральных уравнений:

(10.8)

где (Е,r,r' ) − функция Грина одночастичной задачи, описывающая движение частицы х в канале n без учета его связи с другими каналами. Для нее справедливо уравнение (1.10):

(n − E)(Е,r,r' ) = δ(r −r' ).

(10.9)

Согласно (6.20), асимптотика функции Грина (Е,r,r' ) имеет вид

(10.10)

где k'_n = k'_nr/r − вектор импульса рассеянной частицы в канале n, а (r' ) − соответствует гамильтониану _n и удовлетворяет, вместе с (r), уравнению

(n − E)(r) = 0 ,

(10.11)

Частным случаем функции (r) с расходящейся волной является входящая в (10.8) одночастичная волновая функция (r), которая представляет собой точное решение задачи об упругом рассеянии частицы на мишени, если пренебречь влиянием на него всех неупругих каналов. Итак, многоканальная задача рассеяния допускает как дифференциальную, так и интегральную формулировку. В обоих случаях в ее решение входит в качестве вспомогательного элемента задача потенциального рассеяния (10.11) − об упругом рассеяний частицы на мишени, находящейся в определенном (не только в основном, но и в том или ином возбужденном) состоянии.

§ 10.2 Задача о двух связанных каналах

Рис 10.1. Схема уровней мишени при рассмотрении двуканальной задачи.

    В качестве простейшего примера многоканальной задачи рассеяния, на котором удобно познакомиться с новыми понятиями, не встречавшимися в задаче потенциального рассеяния, мы рассмотрим задачу о двух связанных каналах.
    Пусть |1> = Ф₁(ξ) − основное, а |2> = Ф₂(ξ) − первое возбужденное состояние мишени А (рис. 10.1). Всеми оставшимися состояниями мишени пренебрежем, а уровни ε₁ = 0 и ε₂ будем считать невырожденными. Тогда полная волновая функция системы х + А, которая в общем случае имеет вид (10.2), есть суперпозиция только двух членов:

    При Е < ε₂ возможно лишь упругое рассеяние и (говорят, что канал 2 в этом случае закрыт). Мы начнем с противоположного случая Е > ε₂, когда возможно и упругое и неупругое рассеяния. Нас будут интересовать два общих вопроса: а) каким образом, не пользуясь теорией возмущений, рассчитать дифференциальное сечение неупругого рассеяния частиц; б) как влияет возможность неупругого рассеяния частицы на ее упругое рассеяние.
    Ответ на эти вопросы мы получим, рассмотрев систему связанных уравнений (10.4) (или (10.8)) для канальных функций u₁(r) и u₂(r) с соответствующими асимптотическими условиями (10.7). В дифференциальной формулировке имеем:

{	(1 − E)u1(r) = -V12(r)u2(r)	(10.13)
	(2 − E)u2(r) = -V21(r)u1(r)

{	u1(r)|r→∞ = + расходящаяся волна	(10.14)
	u2(r)|r→∞ =  расходящаяся волна

Те же уравнения в интегральной формулировке имеют вид

{	u1(r) = (r) +  ∫(Е,r,r' )V12(r' )u2(r' )d3r' ,	(10.15)
	u2(r) = ∫(Е,r,r' )V21(r' )u1(r' )d3r' .

Используя введенное соотношением (6.2) выражение для гриновского оператора:

(10.16)

будем также записывать систему (10.15) в более компактной форме:

u1 = + (E)V12u2 , u2 = (E)V21u1 .

(10.17)

    Приступим к решению системы связанных уравнений для функций u₁(r) и u₂(r). Сначала исключим из (10.13) и (10.17) функцию u₂:

(1 − E)u1 = −V12(E)V21u1 ,

(10.18)

u1 = + (E)V12(E)V21u1 .

(10.19)

Вспомним, что ₁ − это гамильтониан в одноканальной задаче рассеяния:

1 = + V11(r) ,

(10.20)

где V₁₁(r) = <1|(ξ,r)|1> − потенциальная энергия взаимодействия частицы х с мишенью А, усредненная по основному состоянию мишени |1>. Уравнению (10.18) можно придать вид уравнения Шредингера для задачи о движении частиц в поле потенциала:

( + eff − Е)u1 = 0 ,

(10.21)

если вместо среднего потенциала ^eff ввести эффективный потенциал взаимодействия частицы с мишенью в упругом канале:

V11(r) → eff = V11 + V12(E)V21.

(10.22)

    Эффективный потенциал ^eff обладает рядом свойств, существенно отличных от свойств среднего потенциала V₁₁. Во-первых, он всегда зависит от энергии налетающих частиц Е. Во-вторых, оператор ^eff − это нелокальный оператор; действуя им на произвольную функцию и в точке r, мы затрагиваем значения этой функции во всей области изменения r:

eff u(r) =  V11(r)u(r) + ∫V12(r)(Е,r,r' )V21(r' )u1(r' )d3r' .

(10.23)

В-третьих, ^eff не является эрмитовым оператором:

(eff )+ ≠  eff .

(10.24)

    Конечно, представление интегродифференциального однородного уравнения (10.18) в виде уравнения (10.21) для задачи потенциального рассеяния − это чисто формальный прием, который сам по себе не дает какого-либо конкретного способа решить это сложное уравнение. Однако такое представление хорошо показывает, как влияет связь между упругим и неупругим каналами на характер упругого рассеяния, в частности, понятие эффективного потенциала является отправным для теоретического обоснования концепции оптического потенциала, который вводится в оптической модели разнообразных атомных и ядерных процессов (см. § 10.4).

§ 10.3. Вероятность упругого и неупругого рассеяния. S −матрица

    Вернемся к общим уравнениям многоканальной теории рассеяния (10.8). Задача заключается в том, чтобы выразить измеряемые физические характеристики процесса столкновения − дифференциальные и полные сечения упругого и неупругого рассеяния − через канальные функции u_n(r), удовлетворяющие этим уравнениям. В § 8.1 мы решили эту задачу приближенно, использовав теорию возмущений. Сейчас не будем делать упрощений, свойственных теории возмущений, а получим для интересующих нас характеристик общие выражения. В частных случаях из них будут следовать формулы § 8.1, а также другие приближенные результаты (см. § 11.1 и 11.2).
    Система уравнений (10.8) соответствует асимптотическим условиям (10.7). Вероятность упругого рассеяния определяется амплитудой расходящейся волны в асимптотике функции их(г), вероятности неупругого рассеяния − амплитудой расходящейся волны в асимптотике функций un(r), соответствующих другим неупругим каналам (n ≠ 1, ε_n < Е). Используя (10.11) и (10.10), найдем из системы уравнений (10.8) асимптотику функций u_n(r) в открытых каналах:

(10.25)

где k'_n = k'_nr/r − вектор импульса рассеянной частицы в канале п. Отсюда для амплитуды упругого рассеяния получаем выражение

где первое слагаемое ƒ₁(k'₁,k₁) − это амплитуда потенциального рассеяния на потенциале V₁₁(r), а второе слагаемое ΔF_elas(k'₁,k₁) − амплитуда упругого рассеяния, обусловленного связью между упругими и неупругими каналами:

(10.27)

Дифференциальное сечение упругого рассеяния дается выражением

которое показывает, что вероятность упругого рассеяния не сводится к сумме вероятности рассеяния на среднем потенциале V₁₁(r), и вероятности рассеяния за счет связи упругого и неупругих каналов; эти два механизма рассеяния интерферируют между собой.
    Из (10.25) можно получить и амплитуду неупругого рассеяния:

(10.29)

Она определяет асимптотику функции u_n(r) при n ≠ 1, ε_n < E:

(10.30)

Отсюда легко найти и дифференциальное сечение неупругого рассеяния. Радиальная составляющая плотности тока рассеянных частиц в канале n ≠ 1, согласно (10.30), равна

(10.31)

в то же время при выбранной в (10.7) нормировке плоской волны плотность потока падающих частиц есть (как и в § 1.3) j_in = ћk₁/μ. Таким образом, для дифференциального сечения неупругого рассеяния имеем

(10.32)

    Конечно, формулы (10.28), (10.27) и (10.32), (10.29) дают лишь формальное решение задачи, поскольку в (10.27) и (10.29) входят функции u_n(r), которые еще предстоит, так или иначе, найти из системы уравнений (10.8) или (10.4) с дополнительным условием (10.7).
    При небольших энергиях налетающих частиц уравнения метода сильной связи удобно решать с помощью разложения канальных волновых функций u_n(r) по сферическим гармоникам (парциальным волнам). Основанием для такого приема является сохранение полного момента количества движения системы «частица − мишень». Если не учитывать спиновых взаимодействий и эффектов обмена, закон сохранения применим отдельно к полному орбитальному моменту системы. Рассмотрим как проводится разложение по парциальным волнам на примере классической задачи метода сильной связи − о рассеянии электронов атомом водорода (подчеркнем, однако, что ввиду пренебрежения спиновыми и обменными эффектами, предлагаемое здесь рассмотрение носит схематический характер; см. продолжение в § 17.4).
    Пусть поток электронов с заданным импульсом k₁ падает на атом водорода, находящийся в основном состоянии 1s. Орбитальный момент системы «электрон − атом» в начальном состоянии L определяется орбитальным моментом падающего электрона ℓ. В конечном состоянии полный орбитальный момент системы L' есть векторная сумма орбитальных моментов электрона ℓ' и атома ℓ_а:

L = ℓ ; L' = ℓ' + ℓ_а

Перейдем в выражениях (10.3), (10.4), (10.7) и (10.8) от условного символа |n> к конкретным квантовым числам (n_а, ℓ_а и m_а), характеризующим состояния атома водорода. В состоянии с заданными значениями полного орбитального момента системы L и его проекции на ось квантования М система «электрон − атом водорода» описывается волновой функцией

(10.33)

где мы закрепили индекс 1 за атомным, а индекс 2 за налетающим электронами, а фигурные скобки используем для обозначения векторного сложения моментов ℓ_а и ℓ:

(10.34)

здесь (ℓ_аm_aℓm|LM) − это коэффициент Клебша − Гордона. Угловая часть канальных волновых функций (r) известна − это сферические функции Y_ℓm():

(10.35)

Подставляя (10.33) в уравнение Шредингера (10.1), получим систему уравнений типа (10.4) для радиальных функций (r). Как и в задаче потенциального рассеяния, вместо функции (r) более удобно использовать другие радиальные функции: (r) = r(r). Для них система уравнений (10.4) имеет вид

(10.36)

где матричные элементы взаимодействия между электронами представляют собой интегралы по радиальной и угловой переменной r₁ атомного электрона, но лишь угловой переменной п₂ налетающего электрона:

(10.37)

т.е. зависит от радиальной координаты r₂ налетающего электрона (вид оператора е²/r₁₂ не зависит от выбора оси квантования, поэтому матричный элемент (10.37) не содержит магнитного числа М).
    Дополнительные асимптотические условия для функций (r) при r → оо легко получить непосредственно из (10.7):

(10.38)

где индекс n ≡ (n_аℓ_аℓ) характеризует номер канала, а индекс n' ≡ (n'_aℓ'_aℓ') − номер решения. Решения системы (10.36) с дополнительным условием (10.38) определяют S-матрицу процесса столкновения, а вместе с ней и вероятность упругого и неупругого рассеяний.
    Главная проблема метода сильной связи − это проблема сходимости. Формально речь идет о двух разных вопросах − сходимости разложения (10.3) или (10.33) по каналам рассеяния и сходимости разложения по парциальным волнам. В действительности, благодаря тому, что уравнения метода сильной связи практически всегда решаются численно, эти два вопроса тесно переплетены между собой. На практике и оптимальное число каналов, и оптимальное число парциальных волн определяются прямым подбором − так, чтобы при заданной энергии налетающих частиц окончательный физический результат был устойчив к их вариациям.

§ 10.4. Понятие обобщенного оптического потенциала. Оптическая модель упругого рассеяния

    Обобщим понятие эффективного потенциала, который мы ввели в рамках задачи о двух каналах, на случай произвольного числа связанных каналов и введем, следуя Фешбаху (H.Feshbach, 1958), понятие обобщенного оптического потенциала. Для этого выделим в системе уравнений (10.4) функцию упругого канала u₁(r), а из остальных функций составим столбец:

(10.39)

Введем также матрицу операторов с элементам

<n||m) = nδnm + Vnm(r), n = 2,3,... ,

(10.40)

а также строку и столбец операторов

= (V12(r),V13(r),...) ,

(10.41)

(10.42)

которые связывают волновую функцию частицы в упругом канале u₁(r) со столбцом волновых функций Ф в неупругих каналах. Тогда систему уравнений (10.4) можно записать в виде двух связанных уравнений, подобно системе уравнений (10.13):

(1 − Е)u1 = −Ф, ( − Е)Ф = −u1.

(10.43)

    Формальное решение второго уравнения получается обращением матрицы операторов ( − Е):

(10.44)

Подставляя это формальное решение в первое уравнение (10.43), получим однородное интегродифференциальное уравнение для u₁(r), подобное уравнению (10.18):

(10.45)

Запишем его также в более явной форме:

(10.46)

здесь каждый элемент матрицы

есть нелокальный оператор.
    Уравнению (10.45) можно придать форму уравнения Шредингера (10.21) для одноканальной задачи рассеяния, если ввести нелокальный оператор ^eff по формуле

(10.47)

В частном случае задачи о двух связанных каналах выражение (10.47) переходит в (10.22). Оператор ^eff в многоканальной задаче рассеяния называется обобщенным оптическим потенциалом. Как и оператор (10.22), он нелокален, неэрмитов, явно зависит от энергии частицы.
    В оптической модели, которая широко используется и в ядерной и в атомной физике, нелокальный оператор взаимодействия частицы с мишенью заменяется обычно локальным оператором − оптическим потенциалом взаимодействия:

    Чтобы раскрыть физический смысл мнимой части оптического потенциала, подставим (10.48) в одночастичное нестационарное уравнение Шредингера:

(10.49)

а затем получим из него обобщенное, учитывающее неэрмитовость оператора V_opt(r), уравнение непрерывности

(10.50)

здесь плотность тока вероятности j(r,t) дается обычным выражением (1.37). Что касается слагаемого, пропорционального мнимой части оптического потенциала, то при W > 0 оно соответствует генерации частиц, а при W < 0 − поглощению частиц. Если поглощательную способность вещества мишени характеризовать в каждой точке коэффициентом поглощения κ(r), то, согласно (10.50), этот коэффициент поглощения дается формулой

    В нерелятивистской теории мы не рассматриваем процессов аннигиляции частиц и их превращений друг в друга, к которым можно было бы отнести термин «поглощение» в буквальном смысле. В чем же тогда заключается истинный физический смысл коэффициента поглощения, вводимого в рамках оптической модели? Ответ на этот вопрос надо искать в общих, строгих выражениях многоканальной теории столкновений и, в частности, в формуле (10.47) для обобщенного оптического потенциала. Введя оператор взаимодействия ^eff, мы свели многоканальную задачу упругого рассеяния частиц на сложной мишени к одноканальной потенциальной задаче. Неэрмитовость этого оператора является как бы «платой» за формальное исключение из рассмотрения всех неупругих каналов. Отсюда ясно, что «поглощение» частиц при их взаимодействии со сложной мишенью, которое в оптической модели описывается мнимой частью одночастичного потенциала, есть с неформальной точки зрения выбывание частиц из упругого канала в неупругий. Чтобы глубже проникнуть в существо этого вопроса и по возможности не заслонять принципиальную сторону дела разными деталями и громоздкими выкладками, рассмотрим его на примере двухканальной задачи.
    В этом случае обобщенный оптический потенциал (10.47) дается более простым выражением (10.22). Заменим входящую в него функцию Грина , описывающую движение частицы в канале 2, ее спектральным разложением:

(10.52)

здесь первое слагаемое охватывает все дискретные уровни частицы в канале 2 (на рис. 10.1 они расположены в области Е > ε₂); второе слагаемое есть интеграл по непрерывному спектру в этом канале. Роль первого слагаемого мы исследуем в следующей лекции (там мы увидим, что связанные состояния в канале 2 проявляются как резонансы упругого рассеяния в канале 1). Сейчас ограничимся лишь интегральным членом и рассмотрим связанные с ним свойства обобщенного оптического потенциала в двух ситуациях: если Е > ε₂ (канал 2 открыт) и если Е < ε₂ (канал 2 закрыт).
    В первом случае полюс подинтегрального выражения ε' = Е лежит на пути интегрирования, и его обход по правилу, указываемому знаком Е⁽⁺⁾ приводит к разбиению интеграла на действительную и мнимую части:

(10.53)

Подставляя (10.53) в (10.22), а затем в одноканальное уравнение (10.21), отметим, что при Е > ε₂ мнимая часть обобщенного оптического потенциала содержит матричные элементы оператора межканального взаимодействия V₁₂, соответствующие одному и тому же значению полной энергии системы в канале 1 и в канале 2 (ε = E). Таким образом, когда канал 2 открыт, неэрмитовость оптического потенциала связана с реально происходящим неупругим рассеянием частиц.
    При Е < ε₂ полюс подынтегрального выражения в (10.52) остается в стороне от области интегрирования, и знак E⁽⁺⁾ в интеграле не нужен:

(10.54)

В этом случае обобщенный оптический потенциал является эрмитовым, а следовательно, модельный потенциал в оптической модели, должен быть вещественным. В действительности, однако, в ядерной физике комплексный оптический потенциал (например, оптический потенциал взаимодействия протонов с ядрами) применяется и при таких энергиях частиц, когда все неупругие каналы еще закрыты. Это связано с особым характером измерений рассеяния в условиях большой плотности резонансов.
    Итак, из строгих уравнений многоканальной задачи рассеяния видно, что, по мере того как с ростом энергии частиц открывается каждый неупругий канал, растет мнимая часть оптического потенциала. Согласно формуле (10.47), в первом приближении вклады отдельных неупругих каналов в оптический потенциал аддитивны. Этот вывод находится в соответствии с тем, что дает феноменологическая оптическая модель для ядерных реакций и электрон-атомных столкновений.

Упражнения

10.1. Показать, что система интегральных уравнений (10.8) эквивалентна системе дифференциальных уравнений (10.4) и асимптотическому условию (10.7).

10.2. Вывести обобщенное уравнение непрерывности (10.50), для частицы, движущейся в оптическом потенциале (10.48).

10.3. Согласно модели оболочек, основному состоянию ³S₁ + ядра ⁶Li и его первому возбужденному состоянию ³D₃₊ соответствует конфигурация (ls)⁴(lp)². Считая одночастичные волновые функции нуклонов осцилляторными, найти зарядовую переходную плотность ρ_tr(r) для указанной пары состояний ядра ⁶Li. Сравнить форму радиальной зависимости переходной плотности ρ_tr(r) с формой распределения заряда в основном состоянии рассматриваемого ядра.

10.4. В условиях предыдущего упражнения получить систему уравнений метода сильной связи для упругого и неупругого рассеяний нейтронов ядром ⁶Li. Учесть каналы, соответствующие основному и первому возбужденному состоянию ядра. Нуклон-нуклонное взаимодействие аппроксимировать δ-потенциалом: v(]r − г' |) = gδ(r − г' ). Спиновыми и обменными эффектами пренебречь.

10.5. Рассматривая взаимодействие частицы с мишенью по теории возмущений, получить формулы борновского приближения (8.22), (8.23) как частный случай общих формул (10.29) и (10.32).