Лекция 11. Оптический потенциал в теории неупругого рассеяния. Метод искаженных волн

§ 11.1. Приближение искаженных волн

    В данном параграфе, отправляясь от общих уравнений многоканальной теории столкновений, мы сформулируем основные положения метода искаженных волн − одного из известных приближенных методов теории неупругих процессов в ядерной и атомной физике. Обратимся сначала к уравнениям двухканальной задачи рассеяния, чтобы решить вопрос, поставленный еще
в § 10.2: как, не пользуясь теорией возмущений, рассчитать дифференциальное сечение неупругого рассеяния частиц? Рассматривая в § 10.2 упругое рассеяние частиц, мы исключили из системы связанных уравнений (10.17) канальную функцию неупругого канала u₂. Теперь нас интересует как раз эта функция − точнее, ее асимптотика при больших r. Поэтому исключим из системы уравнений (10.17) канальную функцию u₁:

u2 = (E)V21{ + V12u2}.

(11.1)

Как и (10.19), это соотношение дает лишь формальное решение задачи; по существу, формула (11.1) − это интегральное уравнение для функции u₂(r), способ решения которого следует обсуждать особо. Одним из них может быть способ итераций:

u2 ≈ (E)V21{ + V12V21 + ...}.

(11.2)

    Очевидно, итерационный ряд (11.2) сходится тем лучше, чем слабее взаимодействие V₂₁, связывающее упругий и неупругий каналы. Важно, однако, подчеркнуть, что полученная таким способом канальная функция u₂, удовлетворяет требуемому асимптотическому условию (10.14) независимо от того, с какой точностью вычисляется ряд, стоящий в фигурных скобках соотношения (11.2). Это обеспечивается асимптотическим поведением функции

Грина (E). Подставляя (10.10) в (11.2) мы видим, что при r → ∞ канальная функция u₂(r) имеет вид расходящейся волны:

u2(r)|r→∞ = F21( k2, k1),

(11.3)

где k₂ − импульс рассеянной частицы в канале 2. Функция F₂₁( k₂, k₁) − амплитуда неупругого рассеяния, точное вычисление которой требует точного решения уравнения (11.1):

F21( k2, k1) = −∫(r)V21{ + V12u2}d3r .

(11.4)

Если нормировка искаженных волн (r) и (r), входящих в (11.4), выбрана в соответствии с (10.11):

= + расходящаяся волна, = + сходящаяся волна,

(11.5)

то дифференциальное сечение неупругого рассеяния выражается через амплитуду (11.4) по общей формуле (10.32):

(11.6)

    До сих пор, кроме исходного ограничения двумя связанными каналами, мы не сделали никаких дополнительных приближений; соотношения (11.6) и (11.4) в рамках поставленной двухканальнои задачи являются точными. Приближение искаженных волн для неупругого рассеяния состоит в том, что при вычислении амплитуды (11.4) точная канальная функция u₁ = = + V₁₂u₂ заменяется волновой функцией :

F21( k2, k1) = −∫*(r)V21(r)d3r .

(11.7)

Таким образом, приближение искаженных волн − это теория возмущений по взаимодействию между каналами. Отличие формулы (11.7) от выведенной ранее методами теории возмущений формулы (8.23) в том, что сейчас мы в качестве волновых функций начального и конечного состояний берем не плоские волны, а искажённые волны (r) и (r); согласно (10.11), они строятся с учётом диагональной части взаимодействия между частицей и мишенью:

(11.8)

    Итак, в приближении искаженных волн дифференциальное сечение неупругого рассеяния вычисляется по формуле

(11.9)

где Ф₁(ξ) и Ф₂(ξ) − волновые функции начального и конечного состояний мишени. В частном случае, если пренебречь взаимодействием частицы с мишенью в начальном и конечном состояниях, т.е. произвести замену (r) → , (r) → , мы получим из (11.9) формулы борновского приближения (8.22), (8.23).
    Кажется, что и саму формулу (11.9) тоже легко получить методом, изложенным в § 8.1, если взять в качестве исходных волновых функций начального и конечного состояний частицы не плоские, а искаженные волны. Не ясно, правда, чем бы диктовался при этом выбор функций ψ⁽⁺⁾ и ψ⁽⁻⁾ Отправляясь от общей формулировки многоканальной задачи рассеяния, мы «автоматически», одновременно с выводом самих формул (11.7), (11.9), решили вопрос о выборе искаженных волн ψ⁽⁺⁾ в качестве волновых функций начального состояния и искаженных волн ψ⁽⁻⁾ − конечного состояния. Полученный результат относится не только к теории неупругого рассеяния, он справедлив и в других приложениях метода искаженных волн. Итак, запомним − для описания падающих частиц следует использовать искажённую волну ψ⁽⁺⁾(r) (на бесконечности это «плоская плюс расходящаяся волны»), для описания вылетающих частиц − искаженную волну ψ⁽⁻⁾(r) (на бесконечности «плоская плюс сходящаяся волна»).

§ 11.2. Метод искаженных волн и оптическая модель

    В предыдущем параграфе мы получили основные формулы метода искаженных волн, отвлекаясь от связи входного и выходного каналов с другими каналами. Устраним этот недостаток. Забегая вперед, отметим, что уточнение полученных выше формул (11.7), (11.9) коснется искаженных волн (r) и (r). Физические соображения подсказывают, в частности, что вместо этих функций, которые вычисляются с учетом среднего взаимодействия между частицей и мишенью, более оправданным было бы взять искаженные волны, рассчитанные для соответствующих комплексных оптических потенциалов во входном и выходном каналах. Это значит, что вместо уравнений (11.8) следует решать уравнения

(11.10)

Входящие сюда оптические потенциалы V_opt,l и V_opt,2 вообще говоря, различаются между собой и по амплитуде и по форме как вещественной, так и мнимой части. На практике при использовании метода искаженных волн для описания неупругого рассеяния параметры оптического потенциала во входном упругом канале чаще всего определяются путем подгонки под данные об упругом рассеянии. Что касается оптического потенциала в неупругом канале, то здесь подобная подгонка, разумеется, невозможна, и поэтому в качестве V_opt,2(r) обычно используется тот же потенциал
V_opt,1(r). Разберем, отправляясь от общих уравнений многоканальной теории рассеяния, насколько обоснована вся эта процедура.
    Пусть нам надо вычислить дифференциальное сечение процесса А(х,х')А* с переходом мишени из основного |1> в некоторое возбужденное состояние |2>. Обращаясь к приему, использованному в
§ 10.4, выделим в исходной системе уравнений (10.4) канальные функции входного u₁(r) и выходного u₂(r) каналов, а из остальных функций составим столбец:

(11.11)

Введем также матрицу операторов с теми же элементами <n||m>, что даются формулой (10.40), но с укороченным по сравнению с (10.40) базисом − в него не входят каналы 1 и 2. По аналогии с (10.41) и (10.42) введем также операторы, связывающие каждый из каналов 1 и 2 со всеми остальными каналами:

1 = (V13(r),V14(r),...) ,

(11.12)

2 = (V23(r),V24(r),...) ,

(11.13)

Тогда систему уравнений (10.4) можно представить в виде

(1 − E)u1 = −1 − V12u2 , (2 − E)u2 = −2 − V21u1 , ( − E) = −u1 − u2 ,

(11.14)

Приступая к решению этой системы, сначала исключим из нее столбец :

(1 + 1 − E)u1 = −{1 + V12}u2 , (2 + 2 − E)u2 = −{2 + V21}u1 .

(11.15)

Полученную систему уравнений надо решать с асимптотическим условием (10.14).
    Будем искать приближенное решение этой системы, соответствующее низшему порядку теории возмущений по взаимодействию, связывающему входной и выходной каналы. Отметим принципиальную разницу между уравнениями (11.15) и системой уравнений (10.13) в схематической двухканальной задаче: в многоканальном случае связь каналов 1 и 2 осуществляется не только прямо − благодаря оператору V₁₂ = V^*₂₁, но и косвенно, через все другие каналы − благодаря нелокальному оператору, стоящему в правой части уравнений (11.15). Выпишем его в более явной форме, используя (11.12) и 11.13):

(11.16)

    Оператор (11.16) пропорционален произведению недиагональных матричных элементов V_1n и V_n'2, т.е. представляет собой член более высокого порядка относительно межканального взаимодействия, чем V₁₂. B низшем порядке теории возмущений по межканальному взаимодействию оператор (11.16) следовало бы из уравнений (11.15) исключить. Так мы, действительно, и поступим, однако прежде разберем, не следует ли одновременно исключить из уравнений (11.15) также нелокальные операторы ₁(E⁽⁺⁾ − )^-1 и ₂(E⁽⁺⁾ − )^-1, поскольку они тоже пропорциональны произведению недиагональных матричных элементов V_1n и V_n'2, например:

(11.17)

Но тогда вообще пропадет связь каналов 1 и 2 со всеми другими каналами, и задача сведется к двухканальной. Как же сохранить (хотя бы приближенно) основные эффекты, обусловленные связью входного и выходного каналов со всеми другими каналами?
    Внимательное рассмотрение показывает, что для отбрасывания недиагонального оператора
₁(E⁽⁺⁾ − )^-1  имеется больше оснований, чем для отбрасывания диагональных операторов
₁(E⁽⁺⁾ − )^-1 или ₂(E⁽⁺⁾ − )^-1. Действительно, допустим, что матрица оператора диагональна в пространстве каналов |n>. Тогда двойное суммирование по n и n' в (11.16) и (11.17) переходит в однократное. При этом в диагональном операторе (11.17) фаза (знак) каждого матричного элемента V_1n компенсируется фазой (знаком) входящего с ним в одно произведение матричного элемента V_n1 = V_1n^*. Наоборот, в недиагональном операторе (11.16) матричные элементы V_1n и V_n2, соответствующие каждому отдельному n, могут иметь как совпадающие, так и противоположные знаки. Учитывая, что сумма (11.16) фактически включает бесконечное число членов, допустим, что относительные знаки (фазы) отдельных слагаемых меняются хаотически, так что вклады разных каналов в оператор (11.16) полностью погашают друг друга. Назовем это приближение приближением хаотических фаз.
    Итак, в приближении хаотических фаз мы пренебрегаем косвенной связью входного и выходного каналов через другие каналы по сравнению с их прямой связью. Тогда система уравнений (11.15) принимает вид

(1 + 1 − E)u1 = −V12u2 , (2 + 2 − E)u2 = −V21u1 .

(11.18)

Если теперь сделать замену

V11 + 1  → Vopt,1(r) , V22 + 2 → Vopt,2(r) ,

(11.19)

то мы приходим к задаче о двух каналах, однако, в отличие от задачи, рассмотренной в § 10.2, в каждом из каналов 1 и 2 частица взаимодействует с мишенью как с комплексным оптическим потенциалом:

(11.20)

    В предыдущем параграфе было показано, что в приближении искаженных волн решение двухканальной задачи дается формулами (11.7), (11.9). Теперь, в отличие от (11.8), мы должны подставить в эти формулы искаженные волны падающей и рассеянной частиц, удовлетворяющие одночастичному уравнению Шредингера (11.10) с оптическим потенциалом. Обсудим условия, позволяющие сделать замену (11.19). Прежде всего, сравнивая (11.17) и (10.47), легко заметить, что нелокальный оператор V₁₁ + ₁(E⁽⁺⁾ − )^-1 − не совсем то же самое, что обобщенный оптический потенциал ^eff, определяющий упругое рассеяние во входном канале 1 и аппроксимируемый модельным оптическим потенциалом (10.48); они совпадают между собой лишь с точностью до вклада в оптический потенциал выходного канала 2. Соответствующее различие существует также между оптическим потенциалом V_opt,1(r), входящим в (11.20), и оптическим потенциалом (10.48), используемым в задаче упругого рассеяния. Правда, сама аппроксимация сложного, зависящего от энергии, нелокального обобщенного оптического потенциала с помощью простого локального оператора (10.48) предполагает, что в сумме (10.47) нет резко выделенных членов, обусловленных особенно сильной связью основного состояния мишени с каким-либо отдельным возбужденным состоянием. Поэтому, коль скоро такая аппроксимация принята, не следует придавать большого значения формальному различию между потенциалом V_opt,1(r) и оптическим потенциалом (10.48).
    Продолжая обсуждение замены (11.19), обратим внимание на различие между средними потенциалами V₁₁(r) = <1|(ξ,r)|1) и V₂₂(r) = <2|(ξ,r)|2>, относящимися к основному и возбужденному состояниям мишени. Как правило, размеры атома или атомного ядра в возбуждённом состоянии больше, чем в основном состоянии. Значит, и средний потенциал V₂₂(r) имеет более протяженный характер, чем средний потенциал V₁₁(r) (см. упр. 11.1).
    В заключение параграфа заметим, что, конечно, систему уравнений (11.20) можно использовать не только в качестве промежуточного этапа при вьшоде формул метода искаженных волн, но и непосредственно − в рамках задачи на связь двух каналов с оптическими потенциалами в каждом из этих каналов.

§ 11.3. Метод искаженных волн при высоких энергиях

    Прямой способ вычисления интеграла (11.7) для получения амплитуды неупругого рассеяния заключается в том, что обе искаженные волны (r) и (r) подставляются в (11.7) в виде разложения по сферическим гармоникам, после чего интегрирование по углам выполняется аналитически, и дело сводится к численному интегрированию по радиальной переменной. Однако с ростом энергии налетающих частиц число орбитальных моментов в падающей и рассеянной волнах быстро растет, поэтому при больших энергиях такая процедура расчетов по методу искаженных волн становится очень громоздкой, а точность расчетов − плохо контролируемой. В этом случае оказывается полезной другая процедура; в ее основе лежит использование эйконального приближения для решения уравнений(11.10).
    Заметим, что ввиду ограниченных размеров мишени интегрирование в (11.7) производится фактически по некоторой конечной области − примерно той же, в которой сосредоточены оптические потенциалы V_opt,1(r) и V_opt,2(r). В § 4.2 было показано, что при больших энергиях частицы решение одночастичного уравнения Шредингера ψ_k(r) во внутренней области можно с хорошей точностью представить в виде интеграла по прямому лучу, из бесконечности в точку r по направлению импульса падающей частицы:

(11.21)

где = k/k − единичный вектор в направлении вектора k. То же соотношение удобно записать по другому:

(11.22)

Воспользуемся этим результатом для приближенного решения уравнений (11.10). При этом нам понадобится также соотношение (1.43), связывающее между собой искаженные волны двух типов; имея в виду использовать его для вычисления интеграла (11.7), запишем это соотношение в виде

(11.23)

    Отсюда для частицы, движущейся в потенциале V(r), имеем

(11.24)

здесь интеграл берется по лучу, идущему из точки r в бесконечность по направлению импульса рассеянной частицы. Подставляя (11.22) и (11.24) в (11.7), получаем

F21(k2,k1) = −∫eiqr(r)S(r)V21(r)d3r .

(11.25)

где все эффекты взаимодействия частицы с мишенью в начальном и конечном состояниях передаются фактором искажения S(r):

(11.26)

Заметим, что, поскольку мнимая часть оптического потенциала отрицательна, фактор S(r) всегда меньше единицы.

Рис. 11.1. Схема пути интегрирования при вычислении фактора искажения

    На рис. 11.1 показана схема пути интегрирования при вычислении фактора искажения S(r). Если угол рассеяния очень мал, то интеграл берется по прямолинейной траектории.
    Правда, на участке до точки r и после точки r подынтегральные выражения не совпадают друг с другом из-за различия оптических потенциалов частицы в каналах 1 и 2. Если, далее, пренебречь этими различиями, то фактор искажения в произвольной точке r определяется лишь проекцией b этой точки на плоскость, перпендикулярную направлению движения частиц, но не зависит от координаты z:

(11.27)

Упражнения

11.1. Вычислить средний потенциал взаимодействия электрона с атомом водорода, находящимся: а) в основном состоянии 1s, б) в возбужденном состоянии 2s.

11.2. То же для состояния 2р, m = 0, ±1.

11.3. Поток электронов рассеивается атомом водорода, находящимся в состоянии |2р,m>, где m − проекция орбитального момента атома на некоторое направление. Сформулировать способ вычисления вероятности упругого рассеяния, сопровождающегося реориентациеи момента атома
m → m'. Рассмотреть следующие варианты подхода: а) метод сильной связи с учетом трех состояний атома |2р,m), m. = 0, ±1; б) то же, включая состояние |2s>; в) борновское приближение с искаженными волнами; г) плосковолновое борновское приближение.

11.4. Нуклон неупруго рассеивается ядром на малый угол. Вычислить фактор искажения S(b):
а) для оптического потенциала прямоугольной формы;
б) для оптического потенциала гауссовой формы.