Лекция 12. Резонансное рассеяние

§ 12.1. Резонансы в задаче о двух связанных каналах

    В § 10.2 мы рассматривали рассеяние при такой энергии полной системы, когда наряду с упругим возможно и неупругое рассеяние. Это было отражено в асимптотическом условии (10.7), требующем, чтобы канальные функции u_n(r) в неупругих каналах представляли собой расходящиеся сферические волны. Если же энергия недостаточна для возбуждения некоторого состояния мишени, то в этом канале асимптотическая канальная функция u_n(r) должна иметь вид экспоненциально затухающей волны.
    Сейчас мы рассмотрим случай, когда в задаче двухканального рассеяния неупругий канал закрыт. Кроме того, предположим, что энергия Е полной системы близка к энергии одного из собственных состояний дискретного спектра гамильтониана ₂ неупругого канала. Пусть {φ_λ} и {E_λ} − собственные функции и собственные значения гамильтониана ₂:

2φλ = Eλφλ.

(12.1)

Тогда наше предположение об энергии Е можно записать в виде

В этом случае в спектральном разложении гриновского оператора ₂(E) можно ограничиться одним членом:

(12.3)

Подставляя это выражение в (10.17), получаем

u1 = (r) + [(E)V12φ0]<φ0|V12|u1>

(12.4)

Это − интегральное уравнение для канальной функции u₁(r), асимптотика которой

u1(r)|r→∞ = eikr + ƒ(k',k)

(12.5)

дает амплитуду упругого рассеяния с учетом связи между каналами 1 и 2. Учитывая асимптотику функции и функции Грина (E) (см. (6.20)):

(r)|r→∞ = eikr + ƒ(k',k) ,

(12.6)

(E,r,r')|r→∞ = −[(r' )]* ,

(12.7)

получаем амплитуду упругого рассеяния в виде суммы двух слагаемых:

где ƒ_pot(k',k) − амплитуда потенциального рассеяния в канале 1, а Δƒ(k',k) − дополнительная часть амплитуды, обусловленная взаимодействием связанного состояния в канале 2 с непрерывным спектром в канале 1:

(12.9)

Чтобы найти эту часть амплитуды, надо решить уравнение (12.4) относительно канальной функции u₁.
    Для решения воспользуемся следующим приемом: заменим уравнение (12.4) двумя связанными уравнениями:

u1 = + λ(E)(E)V12φ0,

(12.10)

(12.11)

где λ(E) − вспомогательная функция, определяемая соотношением (12.11). Далее подставим (12.10) в (12.11):

(12.12)

отсюда находим λ(E):

(12.13)

здесь мы подставили вместо гриновского оператора (E) его явное выражение (10.16).
    Теперь воспользуемся спектральным представлением этого оператора:

(12.14)

где

При интегрировании по энергии воспользуемся для обхода полюса известным приемом:

(12.16)

или иначе

(12.17)

где знак означает, что интеграл берется в смысле главного значения.
    Подставляя (12.14) в (12.13), запишем матричный элемент, входящий в знаменатель этого выражения, в виде

(12.18)

где вещественная и мнимая части комплексного числа (12.18) даются выражениями

(12.19)

Таким образом, функция λ(E) быстро меняется с энергией частицы в окрестности точки (12.2):

(12.21)

Вместе с λ(E) так же быстро меняется и амплитуда (12.9):

(12.22)

    Дальнейшие вьпсладки проведем для случая, когда оператор межканального взаимодействия ₁₂ связывает состояние φ₀ закрытого канала 2 лишь с s-волной непрерывного спектра в канале 1. Согласно § 3.2, волновые функции и в этом случае заменяются выражениями

(12.23)

где δ₀ = δ₀(E) − s-фаза потенциального рассеяния в канале 1, a ψ_1,k(r) − вещественная функция.
    Подставляя их в (12.20) и (12.22), получаем

(12.24)

(12.25)

Назовем амплитуду Δƒ(k',k) ≡ ƒ_res резонансной амплитудой рассеяния и будем записывать ее в виде

(12.26)

где

Точку Е = Е_r будем называть энергией резонанса. Как видим, она не совпадает с положением связанного состояния в закрытом канале. В связи с этим параметр Д будем называть сдвигом резонанса. Его значение дается формулой (12.19), которая показывает, что этот сдвиг обусловлен взаимодействием связанного состояния в канале 2 с непрерывным спектром в канале 1.
    Полная амплитуда рассеяния (12.8) есть сумма резонансной амплитуды (12.26) и амплитуды потенциального рассеяния ƒ⁰(k',k), которая, в отличие от нее, плавно меняется с энергией в окрестности резонанса:

Вероятность упругого рассеяния есть сумма трех слагаемых

сечение потенциального рассеяния da

сечение резонансного рассеяния

(12.31)

интерференционный член

    Выражение (12.31) называется формулой Брейта− Вигнера. Из нее видно, что сечение резонансного рассеяния достигает максимального значения в точке Е = Е_r и уменьшается вдвое при отклонении от нее на величину ±¹/₂Г. Будем называть параметр Г шириной резонанса. Если Г << Е_r, то максимум в сечении (12.31) симметричен. Резонанс же в полном сечении (12.29), как правило, всегда асимметричен благодаря интерференционному слагаемому (12.32).
    Мы рассматриваем случай, когда резонанс проявляется только в s-волне. Поэтому, используя (3.25), выделим в амплитуде потенциального рассеяния соответствующее слагаемое

(12.33)

оставив в амплитуде _pot(k',k) вклад всех других волн

(12.34)

Тогда полная амплитуда s-рассеяния принимает вид:

(12.35)

    Подставляя (12.33) в (12.32), видим, что в дифференциальном сечении резонансная амплитуда интерферирует со всеми парциальными амплитудами потенциального рассеяния. В интегральном же сечении после интегрирования по углам вылета рассеянной частицы, резонансная амплитуда интерферирует (в рассматриваемом случае) лишь с s-волновой частью амплитуды потенциального рассеяния:

(12.36)

    Начиная с формулы (12.23), все дальнейшие конкретные выражения были получены нами для частного случая, когда состояние φ₀ закрытого канала 2 связано лишь с s-волной непрерывного спектра в канале 1. Однако общая структура этих выражений, равно как и общие заключения о характере интерференции между резонансным и потенциальным рассеяниями, остаются в силе, когда эта связь касается любой другой волны.

§ 12.2. Резонансы в рассеянии и распадающиеся состояния

    Появление резонанса в рассеянии частицы х на мишени А связано с образованием возбужденного квазистационарного состояния составной системы (х + А)*:

(12.37)

    Покажем, что время жизни этого квазистационарного состояния τ и ширина резонанса Г связаны соотношением

ввиду сходства с соотношением неопределенностей Гейзенберга ΔхΔр ≥ ћ/2 его иногда записывают в виде

и называют соотношением неопределенности для энергии и времени.
    Для рассмотрения воспользуемся двухканальной задачей предыдущего параграфа. Пусть к моменту времени t = 0 составная система (х + А) находится в состоянии, описываемом волновой функцией

Рис. 12.1. Схема расположения связанного состояния частицы относительно возбужденного состояния мишени.

т.е. представляет собой связанное состояние частицы х относительно возбужденного состояния ε₂ мишени А. Согласно принятым в § 10.2 обозначениям энергия связи частицы х относительно этого состояния составляет

(рис. 12.1). Полный гамильтониан системы (х + А) дается выражением (8.5):

= 0 + (ξ,r) ,

(12.42)

где ₀ − гамильтониан невзаимодействующих между собой подсистем х и А;

0 = A − (ћ2/(2μ))2 ,

(12.43)

а  (ξ,r) оператор взаимодействия между ними. Волновая функция (12.40) не является собственной функцией гамильтониана Ĥ; а лишь определяет начальное условие для решения нестационарного уравнения Шредингера:

(12.44)

    Под влиянием межканального взаимодействия (ξ,r) система может переходить из состояния (12.40) в открытый канал 1. Вероятность перехода в единицу времени рассчитывается по общим формулам квантовой теории переходов [2]:

(12.45)

где k − импульс частицы х в открытом канале, E_ƒ = ћ²k²/(2μ) − её энергия, а ρ(k) − плотность конечных состояний. Величина k в (12.45) пока произвольна. Интегрируя (12.45) по всем возможным конечным состояниям, т.е. по всем направлениям вылета частицы х и её энергии, получаем суммарную вероятность перехода в единицу времени (скорость распада):

Λ = ∫ |<ψ1,k|V12|φ0>|2ρ(k)dΩ ;

(12.46)

теперь, благодаря δ-функции от энергии в (12.45) величина импульса испускаемой частицы строго определена энергией возбуждения мишени А и энергией связи частицы х в квазистационарном состоянии (х + А)*:

(12.47)

Сравнивая (12.46) и (12.20), видим, что ширина уровня Г − это скорость распада квазистационарного состояния, выраженная в единицах ћ:

    Определив среднее время жизни состояния τ как величину, обратную скорости его распада:

мы приходим к «соотношению неопределенностей» (12.38).

§ 12.3. Признаки резонанса

    Резонансное поведение сечений взаимодействия различных частиц и систем друг с другом сопровождается особым поведением в резонансной области фаз рассеяния, элементов S-матрицы и других характеристик процесса столкновения. Мы назовем все это признаками резонанса. Их бывает полезно иметь в виду при теоретическом рассмотрении резонансных явлений.
    Возьмем, например, выражение (12.35) для амплитуды рассеяния частицы в s-состоянии, в котором учтены ее прямое (потенциальное) и резонансное взаимодействия с мишенью, и перестроим его в соответствии с общими формулами теории S-матрицы:

(12.50)

    Отсюда получаем диагональный элемент S-матрицы, соответствующий парциальной волне с
ℓ = 0:

(12.51)

(напомним, что δ₀ − это фаза потенциального рассеяния при ℓ = 0). Рассматривая S-матрицу как функцию энергии во всей комплексной плоскости Е, видим, что S₀(E) имеет полюс в точке

Рис. 12.2. Полюс S-матрицы в комплексной E-плоскости, соответствующей резонансу.

расположенной в четвертом квадранте этой плоскости (рис 12.2). Чем ближе этот полюс к действительной оси, тем уже наблюдаемый резонанс.
    Элемент S-матрицы (12.51) по модулю равен единице. Это позволяет внести вещественную функцию (E):

S0(E) = exp(2i(E))

(12.53)

которую называют полной фазой рассеяния; она включает в себя эффект и потенциального и резонансного взаимодействий частицы с мишенью. Сравнивая (12.53) и (12.51), выразим полную фазу (E) через фазу потенциального рассеяния и параметры резонанса Е_r и Г:

(E) = δ0(E) + .

(12.54)

Последнее слагаемое назовем фазой резонансного рассеяния:

(E) =

(12.55)

    В точке Е = Е_r фаза рассеяния (12.55) проходит через π/2; скорость прохождения фазы через π/2 определяется шириной резонанса Г.

§ 12.4. Резонансный механизм расщепления составных систем

    Пусть система, состоящая из подсистем А и х, находится в связанном (для определенности − основном) состоянии (х + А)₀ и описывается волновой функцией Ψ(ξ,r). Под влиянием некоторого внешнего возмущения:

= (ξ,r),

которое, вообще говоря, воздействует как на внутренние степени свободы мишени, так и непосредственно на части х, система может расщепляться на свои составные части. Таково, например, фоторасщепление атомов и ядер, неупругое рассеяние быстрых электронов, или других частиц и т.п. Рассмотрим переходы из основного состояния системы (х + А)₀ в такую область непрерывного спектра (х + А), где открыт только один канал, соответствующий основному состоянию мишени А (рис. 12.3). Если, как и в предыдущих параграфах, Е − это энергия частицы х относительно основного состояния мишени А, то такая область фиксируется условием

(12.57)

Интерференция двух механизмов приводит к характерной энергетической зависимости вероятности расщепления в окрестности квазистационарного состояния. Рассмотрим этот вопрос в рамках задачи о двух каналах, считая, что возмущение (ξ,r) можно трактовать по теории возмущений.
    Амплитуда процесса расщепления (12.57) есть матричный элемент

Ffi(E) = <Ψ|(ξ,r)|Ψ0) ,

(12.58)

где

решение стационарного уравнения Шредингера (10.1) с дополнительными условиями:

Канальные функции u₁(r) и u₂(r) удовлетворяют системе уравнений (10.13), которую мы решим приближенно, приняв все те допущения, которые были сделаны в § 12.1. Учитывая изменение асимптотических условий (12.60) по сравнению с (10.14), получаем:

(12.61)

u2 = (Е)φ0,

(12.62)

где

(12.63)

причем резонансные параметры Е_r и Г − те же, что были получены в § 12.1.
    Подставляя (12.61), (12.62) в (12.59) и далее в (12.58), для амплитуды расщепления получаем

(12.64)

Физический смысл, входящих сюда матричных элементов довольно прост. Первое слагаемое есть амплитуда прямого перехода в открытый канал. Последнее − амплитуда двухступенчатого перехода, где <Ψ_r||Ψ₀> − амплитуда возбуждения квазистационарного состояния Ψ_r; множитель (Е) содержит матричный элемент его распада. Второе слагаемое в (12.64) вычислим приближённо, пренебрегая интегралом в смысле главного значения:

(12.65)

После такого допущения амплитуду перехода F_fi(E) можно записать в виде:

(12.66)

    Обозначим входящее сюда отношение матричных элементов символом q:

(12.67)

введём также переменную е, характеризующую относительное отклонение от резонанса:

(12.68)

В новых обозначениях формула (12.67) для амплитуды перехода принимает вид

(12.69)

Следовательно, вероятность (или эффективное сечение) процесса расщепления описывается формулой

(12.70)

где

σ0 = |<Ф1||Ψ0>|2

(12.71)

− это эффективное сечение прямого процесса расщепления без учёта переходов через квазистационарное состояние.
    Формула (12.70) называется формулой Фано. Мы получили ее для простого случая, когда имеется один открытый и один закрытый каналы. В случае большего числа каналов формула (12.70) несколько видоизменяется.
    Входящий в (12.70) безразмерный параметр q называется профильным индексом резонанса: его величина и знак характеризуют форму (профиль) резонанса в сечении расщепления σ(E). При |q| ~ l резонанс особенно сильно асимметричен. Если |q| > 1, резонанс воспринимается как превышение над «фоном» прямых переходов, если |q| < 1 − как провал в сечении.

Упражнения

12.1.  Квазистационарное («автоионизационное») состояние 2s2p ¹Р атома гелия расположено при энергии возбуждения 60.1 эВ − между первым порогом ионизации (е + Не⁺(n = 1); 24.5 эВ) и вторым порогом ионизации (е + Не⁺(n = 2); 65.1 эВ). Оценить время жизни этого состояния, приняв следующие допущения: а) волновая функция состояния 2s2p ¹Р есть произведение водоро-доподобных функций с зарядом Z = 2; б) волновую функцию вылетающего электрона аппроксимировать плоской волной; в) его воздействием на ls-электрон иона Не⁺ в конечном состоянии пренебречь.

12.2. Резонанс 2s2p ¹Р в атоме гелия изучается путем измерения спектров энергетических потерь при рассеянии быстрых монохроматических электронов:

He(ls² 1S) + e → He*(2s2p¹P) + e' .

Пользуясь борновским приближением, построить оператор возмущения (ξ,r) для расчета профильного индекса резонанса, наблюдаемого при определенном угле рассеяния θ. Показать, что при малых θ профиль резонанса не зависит от угла рассеяния.

12.3. Выразить сечение s-рассеяния медленных нейтронов ядром σ(E) в окрестности изолированного резонанса Е_r через длину рассеяния а, соответствующую амплитуде потенциального рассеяния, положение и ширину резонанса. Как сказывается знак длины рассеяния а на профиле резонанса?