Лекция 13. Многочастичная теория столкновений в t-матричной формулировке

§ 13.1. Метод Кермана − Мак-Мануса − Талера

    Метод Кермана − Мак-Мануса − Талера (сокращенно: КМТ) является одним из основных методов теории взаимодействия адронов с ядрами при высоких и «промежуточных» энергиях. Его применение тесно связано с разработкой общей концепции оптического потенциала. В отличие от низких энергий «микроскопическая» теория оптического потенциала при высоких энергиях опирается не на потенциал парного взаимодействия между налетающей частицей и ядерными нуклонами, а на соответствующие двухчастичные амплитуды − двухчастичные -операторы. В связи с этим и всю систему уравнений, описывающих взаимодействие налетающей частицы с ядром, удобно переформулировать на языке теории t-матрицы (см. лекцию 6).
    Если известен потенциал взаимодействия налетающей на ядро частицы с каждым из нуклонов ядра v_i = v_i(r,r_i' ), то амплитуду упругого или неупругого рассеяния частицы на ядре можно найти с помощью -оператора:

F(0,k→n,k' ) ≡ Fn,0(k',k) = −<n,k' | |0,k) ,

(13.1)

который действует в пространстве координат частицы и внутренних координат ядра и удовлетворяет уравнению Липпмана − Швингера:

(13.2)

здесь (n,k) − совокупность квантовых чисел ядра и частицы; |0> − символ основного состояния ядра;

(13.3)

− оператор потенциальной энергии взаимодействия частицы с ядром;

0 = A +

(13.4)

− гамильтониан невзаимодействующих между собой частицы и ядра (_A −внутренний гамильтониан ядра; − кинетическая энергия частицы).
    Сопоставим уравнения (13.1) − (13.4) с уравнениями одночастичной оптической модели. Согласно оптической модели, ядро действует на частицу как объект, не имеющий внутренних степеней свободы, и их взаимодействие описывается оптическим потенциалом _opt, который есть оператор (вообще говоря, нелокальный) в пространстве координат частицы. Оптический потенциал _opt определяет волновую функцию частицы, рассеиваемой ядром:

( + opt − E)Ψk(r) = 0 .

(13.5)

В отличие от оператора (13.2) t-оператор оптической модели _opt, для которого справедливо уравнение

opt = optopt ,

(13.6)

также действует лишь в пространстве координат частицы.
    Если взять среднее от обеих частей уравнения (13.2) по основному состоянию ядра-мишени, то мы уравнения (13.6) не получим: оператор <0| |0> определяется бесконечной системой зацепляющихся уравнений

(13.7)

куда кроме среднего <0|V|0> входит вся матрица взаимодействия частицы с ядром <n|V|n' >. Значит, оптический потенциал не сводится к среднему от потенциала (13.3) по основному состоянию ядра.
    Чтобы построить для оператора <0| |0> уравнение вида (13.6), дадим новое представление уравнению (13.2), которое эквивалентно исходному, но удобнее его, так как позволяет более выгодно сгруппировать матричные элементы, соответствующие упругому и неупругому рассеяниям частицы на ядре. Для этого введем операторы и , проектирующие все операторы и волновые функции на основное состояние ядра и ортогональное ему подпространство всех возбужденных состояний:

≡ |0><0|,  + = 1.

(13.8)

С их помощью легко выразить -оператор через новый оператор («потенциальный оператор»):

=

(13.9)

для которого получается уравнение

= +

(13.10)

В самом деле, исключая из (13.9) и (13.10) оператор , мы возвращаемся к соотношению (13.2), связывающему операторы и :

= {1 − }-1 , = {1 − }-1 {1+ }, {1 − } = {1+ }, = + ; = +

(13.11)

Удобство нового представления (13.9), (13.10) заключается в том, что среднее от U по основному состоянию ядра и есть искомый оптический потенциал:

<0||0> = Vopt .

(13.12)

Действительно, если взять среднее по основному состоянию ядра от обеих частей уравнения (13.9), то мы получим уравнение оптической модели (13.6):

<0| |0> = <0||0> + <0||0><0| |0>

(13.13)

(здесь, как и в предыдущих лекциях, мы отсчитываем энергию от основного состояния ядра-мишени, т.е. <0|_А|0> = ε₀ = 0.)
    Конечно, соотношения (13.10), (13.13) дают лишь формальное решение задачи. Все трудности решения исходного уравнения (13.2), связанные с суммированием по бесконечному набору возбужденных состояний ядра-мишени, перешли теперь в уравнение (13.10) для потенциального оператора.
    Принципиальным недостатком изложенного формализма является то, что мы отправлялись от двухчастичных потенциалов взаимодействия между налетающей на ядро частицей и нуклоном ядра-мишени. Такой подход, по крайней мере, «неэкономен», так как для протонов, нейтронов или мезонов высоких энергий надо сначала построить сами эти потенциалы, исходя из амплитуд соответствующего двухчастичного взаимодействия, параметры которых определяются непосредственно из эксперимента. Поэтому мы поступим наоборот − перестроим уравнения (13.9) (13.10), введя в них вместо двухчастичных потенциалов v_i двухчастичные t-матрицы t_i.
    Строго говоря, двухчастичная t-матрица, описывающая рассеяние падающей частицы на нуклоне ядра, и t-матрица, описывающая рассеяние частицы свободным нуклоном, − это не одно и то же. Первая (обозначим ее τ_i, если частица рассеивается на i-м нуклоне) удовлетворяет уравнению того же вида, что (13.2):

τi = vi + viτi

(13.14)

тогда как t-матрица рассеяния на свободном нуклоне t_i удовлетворяет обычному двухчастичному уравнению Липпмана − Швингера, кудt_iа не входит гамильтониан ядра-мишени _А. Физическое различие между операторами t_i и τ_i заключается в том, что пространство состояний, в которые при взаимодействии с налетающей частицей может перейти ядерный нуклон, уже, чем пространство конечных или промежуточных состояний для свободного нуклона. Это связано главным образом с тождественностью ядерных нуклонов, с принципом Паули. Мы продолжим изложение метода КМТ в упрощенном варианте: будем считать, что с точки зрения взаимодействия с налетающими частицами нуклон, находящийся в ядерном веществе, не отличается от свободного нуклона, т.е. положим t_i = τ_i. Итак, перепишем уравнение (13.14) для операторов t_i:

ti = vi +viti

(13.15)

Теперь, исключив v_i из уравнений (13.2) и (13.15), выразим t-оператор (13.2) непосредственно через двухчастичные i-матрицы свободных частиц:

(13.16)

Далее, действуя по аналогии с (13.11), выразим через новый потенциальный оператор , отличный от оператора (13.10) и определяемый уравнением

(13.17)

Он связан с оператором соотношением

(13.18)

Здесь и − проекционные операторы (13.8).
    В отличие от (13.9) уравнение (13.18) не является в строгом смысле уравнением типа Липпмана − Швингера и совпадает с ним лишь с точностью до членов порядка 1/А. Мы проанализируем далее систему уравнений (13.17) и (13.18) для случая А >>1:

(13.19)

(13.20)

Взяв среднее по основному состоянию ядра-мишени от обеих частей уравнения (13.19), мы получаем уравнение оптической модели (13.6) с оптическим потенциалом:

Vopt = <0||0> ,

(13.21)

Разложим оптический потенциал по кратности столкновений:

Vopt = + + ... ,

(13.22)

где потенциал первого порядка есть среднее от суммы двухчастичных t-операторов по основному состоянию ядра:

(13.23)

потенциал второго порядка представляет собой однократную сумму по всем состояниям ядра, кроме основного:

(13.24)

и т.д.

    Формулы (13.22) − (13.24) являются основными рабочими формулами метода КМТ.

§ 13.2. Двухчастичная t-матрица и оптический потенциал

    Рассмотрим, как проявляются свойства амплитуд взаимодействия налетающих частиц с нуклонами ядра в свойствах оптического потенциала.
    Если двухчастичная t-матрица аппроксимируется δ-оператором:

то оптический потенциал первого порядка просто пропорционален плотности вещества в ядре-мишени. Физический смысл аппроксимации (13.25) состоит в том, что радиус взаимодействия между налетающей частицей и нуклоном считается много меньшим, чем размеры ядра.
    Выразим константу g через двухчастичную амплитуду рассеяния вперед:

g = −ƒ(0) .

(13.26)

Подставляя (13.26) в (13.25) и далее в (13.23), получим известное в классической оптике выражение

Vopt(r) = −ƒ(0)ρ(r) .

(13.27)

Оптический потенциал (13.27) широко используется в ядерной физике, мы будем называть его потенциалом Рэлея.
    В качестве другого примера рассмотрим двухчастичную t-матрицу, которая пропорциональна скалярному произведению начального и конечного импульсов:

<k' ||k> = b(k' k)

(13.28)

(так выглядит, например, при k → 0 амплитуда рассеяния р-волны на потенциале конечного радиуса:

(13.29)

см. § 3.2). В x −представлении такая t-матрица имеет вид (6.57):

<r' | |r> = (2π)3b[r'δ(r' )][rδ(r)] .

(13.30)

Подставляя это выражение в (13.23), получаем оптический потенциал с градиентами:

= −(2π)3bρ(r)

(13.31)

(в ядерной физике он широко используется для описания пион-ядерного взаимодействия).

§ 13.3. Импульсное приближение

    Если в уравнениях (13.19) и (13.20) или в более точных уравнениях (13.17) и (13.18) оставить только члены низшего порядка, то полная t-матрица взаимодействия частицы со сложной мишенью (ядром) превращается в сумму двухчастичных t-матриц по всем частицам (нуклонам), составляющим мишень:

= ∑ ti .

(13.32)

В этом случае амплитуда упругого или неупругого рассеяния (13.1) есть простой матричный элемент, в который входят волновые функции только начального и конечного состояний:

Fn0(k',k) = −<n,k' |∑i|0,k>.

(13.33)

Приближение (13.32) называется импульсным приближением. Это один из самых известных приемов теории столкновений с участием сильно взаимодействующих частиц.

Если -оператор локален, т. е. зависит лишь от передаваемого импульса q = k − k':

<k' |∑i|k> = ti(k − k' ) ,

(13.34)

то, учитывая также (6.38), амплитуду рассеяния (13.33) удобно записать в виде

(13.35)

По форме это выражение совпадает с выражением для борновской амплитуды рассеяния на составной системе (см. лекцию 8), однако здесь ƒ_i(q) − истинные, а не борновские элементарные амплитуды. Переписав (13.35) в эквивалентном виде

(13.36)

легко обобщить это выражение, заменив плоские волны падающей и рассеянной частиц соответствующими искаженными волнами:

(13.37)

Говорят, что формула (13.33) соответствует импульсному приближению с плоскими волнами, а формула (13.37) − импульсному приближению с искаженными волнами.
    Расчеты в рамках импульсного приближения с искаженными волнами считаются самосогласованными, если оптические потенциалы, используемые при вычислении функций и строятся (например, по методу КМТ) с помощь тех же двухчастичных амплитуд ƒ_i(q), что входят явно в (13.37).
    На практике формулы импульсного приближения (13.35) и (13.37), полученные для локального t-оператора, используются и тогда, когда двухчастичный t-оператор нелокален. В этих случаях теоретическое обоснование импульсного приближения гораздо сложнее.

§ 13.4. Столкновения в системе трех частиц. Уравнения Фаддеева

    Задача трех взаимодействующих частиц, в том числе задача о рассеянии одной частицы на связанной системе двух других, может быть решена с помощью уравнений Фаддеева (Л.Д.Фаддеев, 1960) для широкого класса реалистических двухчастичных потенциалов. В ядерной физике изучение систем трех сильновзаимодействующих частиц, в дополнение к изучению соответствующих двухчастичных систем, открыло возможности более глубокого исследования сильного взаимодействия. Из решения уравнений Фаддеева хорошо видно, что многие физические характеристики трехчастичных систем зависят от свойств парного взаимодействия вне массовой поверхности: эти свойства скрыты от нас, если мы обращаемся только к двухчастичным системам.
    Получим уравнения Фаддеева для трехчастичной t-матрицы. Будем отправляться от уравнения Липпмана − Швингера:

(Z) = + 0(Z)(Z) ,

(13.38)

где ₀ − гриновский оператор свободного движения:

0(Z) = (Z − 0)-1,

(13.39)

₀ − гамильтониан свободных трех частиц 1, 2 и 3, − оператор парного взаимодействия между ними:

= 12 + 23 + 31 .

(13.40)

    Введем несколько вспомогательных операторов.

Определение 1.

(k)(Z) ≡ ij + ij0(Z)(Z) ,

(13.41)

где i,j = 2,3 при k = 1 и т.д. по циклу. Очевидно равенство

(1)(Z) + (2)(Z) (3)(Z) = .

(13.42)

Определение 2.

ij(Z) = ij + ij0(Z)ij(Z) ,

(13.43)

или иначе

ij(Z) = {1 − ij0(Z)}-1Vij ,

(13.44)

Как видно из определения (13.43), операторы _ij(Z) являются двухчастичными t-матрицами частиц i и j, входящих вместе с частицей к в трехчастичную систему. Запишем (13.41) по-другому:

(k)(Z) ≡ ij + ij0(Z)(k)(Z) + ij0(Z)[(i)(Z) + (j)(Z)],

(13.45)

т. е.

(1 − ij0)(k) =  ij + ij0(Z)[(i)(Z) + (j)(Z)],

(13.46)

    Умножая обе части этих равенств на оператор (1 − _ij0)^-1 и учитывая (13.44), получаем систему трех уравнений − уравнения Фаддеева:

(k)(Z) =  ij(Z) + ij(Z)0(Z)[(i)(Z) + (j)(Z)].

(13.47)

    Уравнения Фаддеева удобно решать в импульсном представлении. Выберем в качестве полного набора переменных систем трех частиц импульс одной из них относительно центра масс двух других (p₁), относительный импульс этих двух (k₂₃) и суммарный импульс всех трех частиц (K). В этих переменных гамильтониан записывается в виде

(13.48)

где константы μ₂₃, μ₁ и М выражаются через массы частиц 1, 2 и 3:

М = m1 + m2 + m3 .

(13.49)

    Гриновский оператор ₀(Z) в представлении k₂₃, p_l, K диагонален:

(13.50)

В тех же обкладках двухчастичная t-матрица _ij(Z) имеет вид

(13.51)

Нам потребуется также матричный элемент вида:

<k₂₃,p_l,K|₂₃(Z)|k₃₁,p₂,K).

Чтобы расписать его через двухчастичную t-матрицу t₂₃, выразим переменные k₃₁ и р₂ через взятые за основу переменные k₂₃ и р₁:

(13.52)

(13.53)

и т.д.
    Все сильно упрощается, если три рассматриваемые частицы одинаковы. Тогда снова удобно вернуться к волновой функции трехчастичной системы. Предположим, что мы имеем дело с бозонами; в этом случае волновая функция симметрична относительно перестановки любой пары частиц:

и вместо системы трех уравнений мы получаем одно:

(13.55)

здесь ψ₀(k,р) − волновая функция, описывающая свободное движение одной частицы относительного связанного состояния двух других:

    Уравнение (13.55) можно еще больше упростить, если считать, что частицы взаимодействуют только в s-состоянии, и это взаимодействие описывается потенциалом Ямагучи:

Как было показано в § 6.3, в этом случае существует точное решение для двухчастичной t-матрицы:

Подставляя его в (13.55), сводим задачу к неоднородному интегральному уравнению, которое можно решать на ЭВМ, задав функции ср(k) и g(k).

Упражнения

13.1. Длина рассеяния каона нуклоном − комплексное число

a_KN = Re a_KN + i Im a_{KN .}

Учитывая KN-взаимодействие только в s-состоянии, построить в приближении Рэлея оптический потенциал взаимодействия медленных каонов с ядрами. Как связан знак вещественной части длины рассеяния со знаком вещественной части оптического потенциала?

13.2. Используя для амплитуды адрон-нуклонного рассеяния выражение (4.49), вычислить в приближении Рэлея оптический потенциал взаимодействия адрона с ядром ⁴Не. Для нахождения плотности нуклонов в ядре ⁴Не воспользоваться моделью независимых частиц с осцилляторными волновыми функциями.

13.3. Используя для амплитуды NN-взаимодействия выражение (4.49), найти в импульсном приближении дифференциальное сечение упругого рассеяния быстрых нейтронов ядрами ⁴Не.

13.4. В плосковолновом импульсном приближении выразить амплитуду парциального перехода
|0> → |n> при неупругом рассеянии частиц ядром через плотность перехода ρ_0n(r). Элементарную двухчастичную амплитуду взять в форме (4.49).

13.5. То же для случая (13.28).

13.6. Частица х выбивает частицу у, находившуюся в связанном состоянии с волновой функцией
ψ₀(r_у) в поле некоторого силового центра. Аппроксимируя t-матрицу ху-взаимодействия δ-оператором (13.25) и считая силовой центр неподвижным (бесконечно тяжелым), показать, что в плосковолновом импульсном приближений вероятность одновременной («на совпадение») регистрации рассеянной частицы х и выбитой частицы у дается формулой

(13.59)

где (dσ/dΩ) − дифференциальное сечение упругого ху-рассеяния;

(13.60)

− амплитуда импульсного распределения частицы у в начальном состоянии; k_х0, k_х и k_у − импульсы падающей частицы х и разлетающихся частиц х и у; q_y = k_х + k_у − k_х0 − импульс частицы у в момент столкновения с налетающей частицей.

13.7. Используя результат предыдущего упражнения, выяснить качественные особенности функции угловой корреляции разлетающихся протонов в реакциях квазиупругого выбивания ⁴Не(р,2р)³Н и
¹⁶0(p,2p)¹⁵N. Учесть, что в первом случае протон выбивается из s-, а во втором − из р-оболочки.