Лекция 14. Медленные столкновенияКвантовая теория медленных столкновений, когда относительные скорости сталкивающихся подсистем много меньше, чем скорости внутреннего движения в этих подсистемах, оперирует рядом специфических понятий, с которыми мы и познакомимся в данной лекции. § 14.1. Поляризационный потенциал атомовХорошо известно, что средний кулоновский потенциал нейтрального атома (так называемый статический потенциал):
экспоненциально убывает с расстоянием. Например, Vstat(r) Для атома водорода (в основном состоянии) описывается формулой
С точки зрения идеи об обобщенном оптическом потенциале
(лекция 10) потенциал (14.1)
соответствует низшему порядку разложения оптического потенциала по кратности
взаимодействия. В этом смысле поляризационный потенциал, к рассмотрению
которого мы приступаем, есть потенциал второго порядка. Однако эффекты
второго порядка, связанные с поляризуемостью атома, учитываются в нем
специфическим образом − в условиях медленного столкновения атома с заряженной
частицей, испытывающей на себе это поляризационное взаимодействие. Будем
считать эту частицу точечной. Понятие поляризационного потенциала основано
на идее о том, что пробная частица (электрон, ион), находясь в какой-то
точке своей «траектории», поляризует атом таким образом, что, когда
она переходит в другую точку r', атом успевает полностью
перестроить свое поляризационное состояние в соответствии с новым положением
частицы.
Правда, это слишком жесткое требование: при больших параметрах пролета
более существенным является ограничение не на линейную, а на угловую
скорость v/r.
Усреднение оператора
Рассматривая (14.4) как малое возмущение, найдем сдвиг уровня во втором порядке:
разумеется, здесь под знаком суммы подразумевается и интегрирование
по непрерывному спектру атома.
Тогда, используя известное разложение
запишем его для случая, r > ri:
Подставляя (14.9) в (14.4) и далее в (14.6), видим, что главный вклад в потенциал второго порядка дают виртуальные дипольные переходы:
Заметим, что независимо от знака заряда пробной частицы (электрон, ион) поляризационный потенциал (14.10) − это потенциал притяжения. Амплитуда поляризационного взаимодействия просто связана с дипольнои поляризуемостью атома х:
где
при больших r оно спадает как 1/r3. Однако это взаимодействие исчезает при усреднении по ориентации момента атома. Поэтому оно проявляется лишь в особых ситуациях, когда момент атома ориентирован. |
§ 14.2. Взаимодействие между нейтральными атомамиНа больших расстояниях между атомами их взаимодействие описывается силами Ван-дер-Ваальса. Построим оператор взаимодействия двух атомов, находящихся на фиксированном расстоянии друг от друга:
При R >> а взаимодействия между ядрами компенсируются их взаимодействием с электронной оболочкой, и самым важным становится поляризационное взаимодействие, обусловленное одновременным дипольным возбуждением обоих атомов. Соответствующий член в разложении потенциала (14.14) по мультиполям имеет вид
где
− операторы дипольного момента двух атомов, n − единичный
вектор в направлении межъядерной оси.
|
§ 14.3. Перезарядка атомов при медленных соударениях. Понятие квазимолекулярных термовРассмотрим процесс перезарядки атома водорода при столкновении с протоном:
Пусть R − радиус-вектор, фиксирующий взаимное расположение
двух ядер водорода; rА и rB − координаты
электрона относительно ядер А и В.
и тогда волновые функции стационарных состояний электрона в рассматриваемой двухцентровои системе («молекулярные орбитали») можно описать простыми комбинациями невозмущенных атомных функций:
Энергия всей системы Н + Н+ как функция расстояния R зависит от симметрии электронной волновой функции (14.20). Для электрона, находящегося на ls-уровне, имеем
где
− средняя энергия взаимодействия атомного электрона с «чужим» протоном. Величина
не имеет такого простого смысла; она появилась в связи с тем, что
волновые функции (14.20) передают эффект «обобществления» электрона
в молекулярном ионе (Н + Н+).
Общая картина относительного расположения энергетических
уровней электрона, находящегося в поле двух ядер, называется диаграммой
молекулярных («квазимолекулярных») термов или корреляционной диаграммой.
Она показывает, как коррелируют определенные состояния электрона в разъединенных
атомах с его состояниями в объединенном атоме (квазимолекуле). Корреляционная
диаграмма для системы (Н + Н+) показана на рис. 14.1.
Энергия электрона, находящегося на той или иной молекулярной орбитали (14.20), есть медленно меняющаяся функция времени:
В таком случае временная зависимость волновых функций электрона дается квазиклассическим выражением [13]:
(и аналогично для ψu(t,r)).
Коэффициенты c1 и с2 найдем из условия
т.е.
Подставляя (14.30) в (14.28), получаем волновую функцию электрона при t → +∞;
Таким образом, вероятность перезарядки, т.е. передачи электрона от ядра А ядру В, при далеком медленном столкновении дается формулой
Чтобы выявить зависимость вероятности ω(b,v) от прицельного параметра b и относительной скорости ядер v, подставим в (14.32) выражения (14.21):
Поскольку мы рассматриваем здесь лишь далекие столкновения, упростим далее это выражение:
Учитывая (14.25) и подставляя (14.34) в (14.32), после интегрирования по t получаем
Хотя максимум вероятности перезарядки ω(b,v) достигается
при значении прицельного параметра
На примере системы (Н + Н+) мы видели, что понятие эффективной потенциальной энергии ядер U(R) связано с представлением полной волновой функции системы в виде произведения.
где
Переходы между двумя термами особенно вероятны при их сближении друг с другом, т.е. в окрестности точки пересечения Rc. В связи с этим рассмотрим вопрос о пересечении термов более внимательно. Допустим, что в окрестности точки Rc достаточно рассмотреть лишь два терма 1 и 2 и пренебречь их связью с остальными; им соответствует субматрица эффективного взаимодействия ядер:
причем U1(Rc) = U2(Rc) (рис. 14.2,
пунктир).
Два значения энергии E(R), даваемые этой формулой, совпадают в некоторой точке Rc лишь при одновременном выполнении двух условии:
Случайное выполнение обоих условий (14.41) маловероятно. Может, правда, случиться, что взаимодействие между рассматриваемыми двумя термами отсутствует не только в самой точке Rc, но |и в целой области R в силу каких-то особых правил запрета (связанных с симметрией электронных состояний и т.п.). Во всех других случаях невыполнение комбинированного условия (14.41) означает, что благодаря взаимодействию между термами их фактического пересечения не происходит; имеет место ситуация, изображенная с помощью сплошных линий на рис. 14.2; ее принято называть квазипересечением термов.
|
§ 14.4. Кулоновское возбуждение ядер Использование представлений, заимствованных из классической механики, характерно
для многих задач квантовой теории медленных столкновений. Сейчас мы рассмотрим еще
одну такую задачу, взятую, в отличие от предыдущего параграфа, из ядерной физики.
где R − радиус сильного взаимодействия в системе А + х. При таком условии вероятность проникновения частицы в область действия ядерных сил мала, и возбуждение ядра происходит за счет электромагнитного (в основном кулоновского) взаимодействия налетающей частицы с протонами ядра:
На больших расстояниях между частицей х (мы будем считать ее точечной) и ядром
А взаимодействие (14.43) сводится к кулоновскому взаимодействию точечных зарядов,
которое, разумеется, не может приводить к возбуждению ядра. Поэтому мы исключим
его из
будем называть оператор (14.44) оператором кулоновского возбуждения ядра.
Подчеркнем: величина Рn0, даваемая формулой (14.45), есть относительна вероятность
того, что медленная заряженная частица, налетая на ядро с определенным прицельным
параметром b, индуцирует ядерный переход |0> → |n>. Как известно, в классической
механике угол рассеяния θ однозначно определяется прицельным параметром b. Таким
образом, формула (14.45) позволяет рассчитывать относительную вероятность перехода
|0) → |n> при кулоновском рассеянии частицы на заданный угол:
Дифференциальное сечение возбуждения перехода |0> → |n> есть, таким образом, дифференциальное сечение упругого рассеяния частицы на заданный угол (оно в первом приближении дается формулой Резерфорда), умноженное на относительную вероятность возбуждения:
Упражнения14.1. Используя приближение малых углов классической теории столкновений (см., например, [10, § 20]), найти дифференциальное сечение рассеяния частиц потенциалом V(r) = -α/r4. 14.2. Преобразовать результат (14.32) для случая, когда вероятность перезарядки много меньше единицы; рассмотреть этот случай как самостоятельную задачу, пользуясь теорией возмущений. 14.3. Сравнить возбуждение ядерных переходов «нормальной четности» 0+ → Jπ, где π = (−1)J, при неупругом рассеянии быстрых электронов (см. лекцию 8) и в реакции кулоновского возбуждения тяжелыми заряженными частицами считая, что рассеяние электронов обусловлено их кулоновским взаимодействием с протонами ядра. При каких условиях дифференциальные сечения неупругого рассеяния в этих двух случаях выражаются через одни и те же ядерные матричные элементы? |