Семинар 7. Взаимодействие частиц

     Реакции между частицами приводят к образованию новых частиц в результате всех трех типов взаимодействия – сильного, электромагнитного и слабого. Вероятности образования различных частиц определяются законами сохранения и константами взаимодействий. С наибольшими сечениями (σ ~1 барн) образуются частицы в результате сильного взаимодействия, сечение электромагнитных взаимодействий  имеет характерные величины на два порядка меньше. Характерные величины сечений слабого взаимодействия ~10^-19 барн. При этом необходимо помнить, что сечение взаимодействия частиц зависит от энергии сталкивающихся частиц.

7.1. Взаимодействия частиц

7.2. Законы сохранения

7.3. Пространственная четность

7.4. Зарядовая четность

       Задачи

7.1. Взаимодействия частиц

    В Стандартной Модели взаимодействия частиц описываются с учетом трех фундаментальных сил. Некоторые существенные свойства взаимодействий приведены в таблице:

     Из сравнения свойств фундаментальных сил видно, что наиболее вероятны реакции, протекающие за счет сильного взаимодействия, затем идут электромагнитные процессы, и наименее вероятны реакции за счет слабого взаимодействия. Однако возможность осуществления той или иной реакции ограничивается набором законов сохранения, и для разных взаимодействий эти ограничения различаются.  

7.2. Законы сохранения

    Процессы взаимодействия частиц подчиняются определенным законам сохранения физических величин. В таблице перечислены данные законы и указано, в каком типе фундаментальных взаимодействий данная характеристика сохраняется. Некоторые законы сохранения аддитивны (A), т. е. в процессе взаимодействия сохраняется суммарная величина соответствующих характеристик или квантовых чисел. Например, во всех взаимодействиях сохраняется сумма энергий частиц. Ряд законов сохранения имеет мультипликативный характер (M) − в данных процессах сохраняется произведение соответствующих характеристик (квантовых чисел). Законы сохранения обусловлены свойствами симметрии взаимодействий.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

    * Имеющиеся экспериментальные данные и стандартная электрослабая теория согласуются с абсолютным сохранением трёх отдельных лептонных зарядов L_e, L_μ и L_τ за исключением эффектов нейтринного смешивания, связанных с массами нейтрино и проявляющегося в нейтринных осцилляциях. Осцилляции приводят к нарушению законов сохранения лептонных зарядов по отдельности, но полный лептонный заряд ∑(L_e+ L_μ + L_τ) сохраняется. Вероятность нарушений сохранения L_e, L_μ и L_τ мала, эти нарушения, по существу, не наблюдаемы, и законом сохранения отдельных лептонных чисел пользоваться можно.

    Законы сохранения для всех реакций сильного взаимодействия выполняются без исключений. Это одновременно означает наибольшую, по сравнению с другими силами, степень симметрий этих взаимодействий.
    Слабые взаимодействия могут происходить с превращением кварков одного аромата (flavor) в кварки другого. Поэтому в таких слабых распадах могут не сохраняться ни изоспин I, ни его проекция I₃, ни квантовые числа странности s и шарма (очарования) c. Могут нарушаться и законы сохранения квантовых чисел b (bottomness) и t (topness). Слабые процессы с изменением аромата кварка идут с нарушением, по крайней мере, одного аддитивных законов сохранения: I, I₃, s, c, b, t.
    При лептонных распадах в вершинах сохраняются значения лептонных зарядов. Однако, благодаря испусканию или поглощению W^±-бозона, может измениться заряд лептона, то есть в рамках одного поколения могут происходить взаимные переходы между заряженным лептоном и нейтрино.
    Обмен заряженными W⁺ или W^- бозонами связан с изменениями зарядов фермионов в вершине. Диаграмма, состоящая из двух фермионных линий, вершины и бозонной линии, называется «током». Обмен заряженными W⁺ или W^- бозонами реализует заряженные токи. Обмен нейтральным Z–бозоном соответствует взаимодействию нейтральных токов.
    «Слабые» вершины, соответствующие обменам W-бозонами, (вершины заряженных токов) обладают особенностью, которой не имеют ни «сильные», ни электромагнитные вершины – именно в этих вершинах происходит превращение одного кварка в другой. Поэтому взаимопревращения адронов с изменением кваркового состава – результат слабых взаимодействий. Например, β-распад нейтрона, происходящий с несохранением I₃, реализуется благодаря превращению d-кварка в u-кварк при испускании виртуального W^--бозона.

Рис. 7.1.Диаграмма слабого взаимодействия двух нейтрино одинакового аромата

    В процессах с участием нейтральных слабых токов не изменяются ни электрические заряды участвующих частиц (лептонов и кварков), ни ароматы участвующих фермионов. Нейтральные слабые токи истинно нейтральны, так как истинно нейтральными частицами являются сами Z‑бозоны. В качестве примера процесса с участием Z-бозона на рис. 7.1 приведена диаграмма слабого взаимодействия двух нейтрино одинакового аромата.
    В слабых взаимодействиях нарушаются мультипликативные законы сохранения пространственной Р и зарядовой С четностей, а также их произведение СР-четность.

7.3. Пространственная четность (Р-четность)

    Операция пространственной инверсии заключается в зеркальном отражении трех пространственных координатных осей. В результате данной операции радиус-вектор  и импульс частицы  меняют направление на противоположное. Момент количества движения не изменяется.

x, y, z, , -x, -y, -z, -,

    Волновая функция системы частиц является функцией координат этих частиц. Преобразование от выбранной системы координат к системе, соответствующей зеркальному отражению всех координатных осей, приводит к преобразованию волновой функции системы. Оператор этого преобразования  (оператор пространственного отражения):

Ψ() = Ψ(-),

(7.1)

где  − совокупность координат частиц системы: =₁, ₂, ...,_A.
    Если система частиц, характеризуемая волновой функцией Ψ(), инвариантна к Р-преобразованию (т. е. гамильтониан системы коммутирует с оператором пространственного отражения), то эта система харак­те­ризуется определённой сохраняющейся чётностью р. Последняя, являясь квантовым числом, удовлетворяет уравнению на собственные значения:

Ψ() = pΨ()

(7.2)

Собственные значения оператора  получают двукратным применением оператора  к функции Ψ(), которое возвращает функцию Ψ() в исходное состояние. Отсюда, с учётом (7.1) и (7.2) получаем собственные значения квантового числа чётности р:  

Ψ() = p²Ψ() = Ψ(), p = ±1.

    Сильное и электромагнитное взаимодействия инвариантны к Р-преобразованию. Поэтому такие системы характеризуются определённой чётностью. В частности это относится к состояниям адронов и систем адронов. В слабых взаимодействиях чётность не сохраняется.
    Распад ρ⁰-мезона ρ⁰ → π⁺ + π^- происходит в результате сильного взаимодействия. В результате Р-преобразования в сильных взаимодействиях получается наблюдаемый в природе процесс.

Рис. 7.2. Схема распада ρ⁰-мезона в СЦИ. Операция пространственного отражения меняет направление импульсов пионов на противоположные.

    Распад π^- → μ^- + _μ происходит в результате слабого взаимодействия. В результате Р‑преобразования изменяются знаки импульсов и не изменяются направления спинов.

Рис. 7.3 Схема распада π^–-мезона в СЦИ. а) Взаимная ориентация импульсов и спинов продуктов распада. б) Применение операции пространственной инверсии. Направление импульсов частиц изменилось на противоположное.

Из требования Р‑инвариантности следует равенство сечений процессов (а) и (б). В распаде (б) образуются мюонные антинейтрино с отрицательной спиральностью, которые в природе не наблюдаются, что означает нарушение Р‑инвариантности в слабых взаимодействиях.
    Преобразование отражения всех координатных осей можно представить в виде поворотов всех этих осей на угол θ = 180^o. Это дискретное преобразование волновой функции частицы или системы частиц. Поэтому закон сохранения пространственной четности – мультипликативный.
    Принято указывать спин J и четность P состояния : J^P.
Чётность системы частиц определяется по формуле:

(7.3)

где π_i − внутренняя четность частицы, l_i − орбитальный момент частицы.

Р-четность адронов

    Кварки, образующие адроны, могут находиться в состояниях с различными орбитальными моментами l_q и в состояниях с различными значениями радиального квантового числа n. Так как кварк имеет положительную чётность, а антикварк − отрицательную, чётности барионов и антибарионов определяются соотношениями

где L − результирующий орбитальный момент кварков в адроне.
    Для четности мезона получаем следующую формулу:

7.4. Зарядовая четность(C-четность)

    Операция С зарядового сопряжения − операция замены знаков всех зарядов на противоположные. При этом масса, импульс и спин частицы не изменяются.
    Кварк-антикварковая (q) структура мезонов делает возможным существование истинно нейтральных частиц. Все аддитивные квантовые числа (электрический и барионный заряды, кварковый аромат) в таком мезоне в сумме равны нулю. Истинно нейтральная частица тождественна античастице. Истинно нейтральными являются π⁰, η, η', ρ⁰, и ω. Истинно нейтральные частицы (системы частиц) характеризуются квантовым числом − зарядовая чётность С.
    Различие между операциями четности  и зарядовой четности  состоит в том, что оператор зарядовой четности не всегда имеет собственное значение. Для частицы с зарядом q, описываемой волновой функцией |q>

|q> = q|q>
|q> |-q>
|q> = q |q> = q|q> = q|-q>
|q> = |-q> = -q|-q>
(- |q> = 2q|-q> = 2|-q>

    Операторы  и  не коммутируют, т.е. не существует состояний, которые одновременно были бы их собственными состояниями.

    На рис. 7.4 приведена схема операции зарядового сопряжения C сильного распада ρ⁰-мезона ρ⁰→ π⁺ + π⁻. В результате получается наблюдаемый в природе процесс.
    Схема слабого распада π⁻‑мезона π⁻ → μ⁻ + _μпоказана на рис. 7.5. В результате C-преобразования получаются мюонные антинейтрино с отрицательной спиральностью, которые в природе не наблюдаются.

Рис. 7.5 Схема распада π⁻-мезона в СЦИ. а) Взаимная ориентация импульсов и спинов продуктов распада. б) Применение операции зарядового сопряжения.

Квант электромагнитного взаимодействия − фотон. Электромагнитное поле описывается векторным

|> = >,

|π⁰> =|γ>×|γ>= -|γ>×(-|γ>) = +|π⁰>.

    Таким образом, зарядовая чётность π⁰ положительна (C|π⁰> = +1). Сохранение зарядовой чётности запрещает некоторые распады, например распад  π⁰ → 3γ. Данная реакция должна была бы идти за счёт электромагнитного взаимодействия, т. е. с сохранением зарядовой чётности. Зарядовая чётность π⁰-мезона +1, в то время как зарядовая чётность трёх γ‑квантов (-1)(-1)(-1) = -1.
    Получим общее выражение для зарядовой чётности системы фермион-антифермион (позитроний e⁺e^- или q). Для определённости рассмотрим систему кварк-антикварк с противоположно направленными спинами, т. е. состояние |q↑↓>. Операция зарядового сопряжения изменяет природу обеих частиц, сохраняя их спиновые состояния:

q↑↑,   ↓q↓ .

В результате получается состояние |q↓↑>, которое возникло бы просто при перестановке кварка и антикварка с одновременным обменом их спинами. В то же время система q является собственным состоянием оператора . Поэтому можно записать

|q↑↓> = |↑q↓> = |q↑↓>.

    Для того чтобы вернуться из состояния |q↓↑> в исходное состояние q↑↓>, нужно осуществить замену q↔ и вновь поменять спиновые состояния кварков, т. е. одновременно переставить частицы и их спины. Операция перестановки q и  в системе их центра масс эквивалентна операции пространственной инверсии, т.е. приводит к появлению перед волновой функцией системы множителя полной чётности системы Р. В данном случае Р = π_q×(-1)^L = (+1)(-1)(-1)^L = -(-1)^L, где π_q и  − внутренние чётности кварка и антикварка (соответственно +1 и -1), а L − их относительный орбитальный момент. Что касается перестановки спинов кварков, то, если спины кварков параллельны (S = 1), спиновая функция системы симметрична, т. е. не меняет знак при перестановке спинов. Напротив, если спины кварков антипараллельны (S = 0), то спиновая функция антисимметрична, т.е. меняет знак при перестановке спинов. Обе эти ситуации учитываются появлением множителя(-1)^S+1  перед волновой функцией системы при перестановке спинов кварков. Таким образом, зарядовая чётность системы кварк-антикварк  (и любой другой системы фермион-антифермион) является произведением множителя полной чётности системы -(-1)^Lи множителя
(-1)^S+1, учитывающего характер симметрии спиновой волновой функции системы:

= C_e+e-= -(-1)^L ×(-1)^S+1= (-1)^L+S.

Задачи

7.1. Определите частицы X, образующиеся в реакциях, идущих за счет сильного взаимодействия:
1) π⁻ + p → K⁻ + p + X; 2) K⁻ +  p → Ω⁻ + K⁰ +  X.   

7.2. Проверте выполнение законов сохранения в реакциях 
1) π⁻ + p → Λ + K⁰; 2) p + → ⁻ + Ω⁻; 3) π⁺ + n → Ξ⁻ + K⁺ + K⁺.

7.3. Какие значения может иметь относительный орбитальный момент двух π⁰-мезонов, образующихся в реакции p → 2π⁰, если относительный орбитальный момент p равен L_p?

7.5. Чему равна зарядовая чётность системы π⁺π⁻ в состоянии с относительным орбитальным моментом L = 1?

7.6. Какие взаимодействия ответственны за процесс рассеяния электрона на протоне? Для каждого из возможных взаимодействий нарисуйте наиболее вероятные диаграммы процесса.

7.7. Получите оценку сечения реакции рассеяния двух сильно взаимодействующих частиц.

7.8. Рассмотрите возможность образовать новую частицу X в реакции рассеяния нейтрино на покоящихся протонах: ν + p → p + μ⁻ + X. Оцените нижний предел массы X в данном эксперименте, если известно, что при энергии нейтрино 10 ГэВ реакция не идет. (Данную реакцию предлагалось использовать для определения массы калибровочного бозона W⁺)  

7.9. В результате какого фундаментального взаимодействия происходят следующие реакции? Нарисовать диаграммы Фейнмана.
1) ν_e + e → ν_e + e, 2) p + → 2π⁰,  3) π⁰+ p → π⁰+ p, 4) p + → 2γ, 5) p + _e → n + e⁺, 6) π⁻ + p → π⁰+ n.

7.10. Могут ли странные частицы рождаться поодиночке в реакциях, в которых в начальном состоянии имеются только нестранные частицы? Приведите примеры, как определить странность частицы, образующейся в реакции сильного взаимодействия. Нарисовать диаграммы Фейнмана. 

7.11. Проверьте выполнение законов сохранения в следующих распадах и реакциях. В каких из них сохраняется странность? За счет каких взаимодействий идут данные реакции? Нарисуйте соответствующие  диаграммы Фейнмана на кварковом уровне.
1) Ξ⁻→ π⁻ + Λ,  2) π⁻+ p →π⁻ + Σ⁺, 3) Σ⁺ →Λ+ π⁺,  4) Ω⁻→Ξ⁻ + π⁰.

7.12. Возможно ли протекание следующих реакций за счет сильного взаимодействия?
1) p + p → Ξ⁰ + p + π⁺; 2) π⁻+ p → K⁰ + Λ; 3) K⁻ + p → Σ⁺ + π⁻; 4) π⁻+ p → Σ⁰ + Λ; 
5) p + → π⁺ + π⁰ + π⁻ + π⁺ + π⁻; 6) γ + n → Σ⁰ + K⁰.

7.13. Проверьте выполнение законов сохранения и определите частицы X, образующиеся в реакциях сильного взаимодействия:
1) p + → Ξ⁻ +  π⁺ +  X, 2) p + π⁻ → Ω⁻ +  K⁰ + K⁰ + X,3) p + → Λ+ π⁻ +  X, 4) n + → Λ +  π⁻ +  X, 
5) p + K⁻ → K⁺ + K⁰ + π⁰ +  X,  6) p + π⁻ → K⁻ +  p + π⁻ + X, 7) p + K⁻ → K⁺ + π⁰ + π⁰ +  X, 
8) p + π^- → K⁺ +  K⁰ + X, 9) p + → K⁻ +  π⁰ +  X, 10) n + K⁻ → Σ⁰ +  X. 

7.14. Проверьте выполнение законов сохранения и определите возможны ли следующие реакции:
1)  π⁻+ n → K⁻ + Λ,               K⁻ + n → Ω⁻ + K⁺  + K⁰; 
2)  π⁻+ p → Ξ⁻ + K⁺ + K⁰,     K⁻ + p → π⁻+ Λ;
3)  π⁻+ p → n + K⁻ + K⁺,       K⁻ + p → n + Λ;
4)  π⁻+ p → Ξ⁻ + K⁻ + K⁺,    K⁻ + n → π⁰ + Σ⁺;
5)  π⁻+ p → Σ⁺ + K⁻,                  p + → n + ;
6)  π⁺+ p → Δ⁺⁺ + K⁰,            p + n → Ω⁻ + p + K⁰.

7.15. Рассчитайте энергии и длины волн фотонов, образующихся при аннигиляции протона и антипротона p + → 2γ. В результате какого взаимодействия происходит аннигиляция p?
Ответ: λ_γ = 1.3 Фм

7.16. Рассчитайте энергии и длины волн фотонов, образующихся при аннигиляции π⁺- и π⁻-мезонов π⁺+π⁻ → 2γ. В результате какого взаимодействия происходит аннигиляция π⁺π⁻?
Ответ: λ_γ = 8.8 Фм

7.17. Рассчитайте порог фоторождения Λ-гиперонов на протонах (неподвижная водородная мишень) в реакциях γp → ΛK⁺ и γp → Λπ⁺. Нарисуйте соответствующие диаграммы Фейнмана.
Ответ: 1) E_γ = 911 МэВ, 2) E_γ = 370 МэВ

7.19. Оценить пороговую энергию образования пары протон-антипротон под действием пучка ускоренных протонов на водородной мишени и в эксперименте на встречных пучках.
Ответ: ∑T^* = 2m_p, T_пор =6m_p

7.20. Определите значения пороговой энергии образования Λ-гиперонов в реакциях под действием пионов на неподвижных нуклонах: π⁺ + n → Λ+ K⁺ и π⁻ + p → Λ+ K⁰.
Ответ: 1) T_π = 760 МэВ, 2) T_π = 770 МэВ.

7.21. Предложите реакцию образования Ω⁻-гиперона в эксперименте по взаимодействию отрицательно заряженных каонов с находящимися в покое протонами. Определите пороговую энергию предложенной реакции.

7.22.  Какие частицы можно наблюдать при столкновении антипротонов с энергией 50 МэВ с находящимися в покое протонами?

7.23. Чему равна внутренняя четность систем фермион–антифермион и бозон–антибозон?

7.25. Совершите операцию пространственной инверсии над нейтрино, антинейтрино, фотоном. Прокомментируйте результат.

7.26. Приведите примеры частиц или систем частиц, имеющих опреде­ленную зарядовую четность.

7.27. Показать, что зарядовая четность системы частица-античастица с нулевыми спинами равна
(-1)^L, где L – орбитальный момент относительного движения. 

7.28. Показать, что зарядовая четность позитрония, а также пары кварк-антикварк определяется выражением C = (-1)^L+S, где L –  относительный орбитальный момент, S – суммарный спин пары частица-античастица. 

7.29. Какова должна быть поляризация отрицательных мюонов в распаде π⁻ → μ⁻ + _μ? Как её можно наблюдать?