Бета-распад

    Бета-распад - спонтанное превращение ядра (A,Z) в ядро-изобар (A,Z+1) в результате испускания лептонов (электрон и антинейтрино, позитрон и нейтрино), либо поглощения электрона с испусканием нейтрино (е-захват).
    В процессе -распада выделяется энергия

где M^я - массы ядер,  m_e - масса электрона. Так как табулируются массы или избытки масс атомов, то для энергий бета-распадов можно записать

где M^ат - массы атомов. (Здесь мы пренебрегли разностью энергий связи электронов в начальном и конечном атомах.) Выделяющуюся в результате β-распада энергию в основном уносят легкие частицы - лептоны (электрон, электронное антинейтрино, позитрон, электронное нейтрино).
Энергии β-распада варьируются от 0.02 МэВ

³H → ³He + e⁻ + _e + 0.02 МэВ

до ~20 МэВ

¹¹Li → ¹¹Be + e⁻ + _e + 20.4 МэВ

    Периоды полураспада также изменяются в широком диапазоне от 10^-3 с до 10¹⁶ лет. Большие времена жизни β-радиоактивных ядер объясняются тем, что β-распад происходит в результате слабого взаимодействия.
    Ядра, испытывающие β-распад, расположены по всей периодической системе элементов. Из формулы Вайцзеккера для энергии связи ядра

учитывая, что от Z в основном зависят кулоновская энергия и энергия спаривания, можно получить равновесное число протонов в ядре (при фиксированном A), которое определяется максимумом энергии связи.

Рис. 1. Параболы масс для ядер с нечетным A, и с четным A (нечетно-нечетных и четно-четных ядер)

Т. к. A = N + Z, формула (2) определяет соотношение между числом протонов Z и нейтронов N для ядер долины стабильности. При Z < Z_равн ядро нестабильно к β^--распаду, а при Z > Z_равн  к β⁺-распаду и E-захвату. При всех A β-стабильные ядра должны группироваться вокруг значений Z_равн. Из (2) видно, что при малых A Z_равн ~ A/2 т. е. стабильные легкие ядра должны иметь примерно одинаковое количество протонов и нейтронов (роль кулоновской энергии мала). С ростом A роль кулоновской энергии увеличивается, и количество нейтронов в устойчивых ядрах начинает превышать количество протонов. На левой части рис.1 показаны парабола масс для ядер с нечетным A = 125. Стабильное ядро ¹²⁵Te находится в минимуме массовой параболы (соответственно в максимуме параболы для энергии связи). ¹²⁵In, ¹²⁵Sn, ¹²⁵Sb подвержены β^--распаду, ¹²⁵I, ¹²⁵Xe, ¹²⁵Cs, ¹²⁵Ba - β⁺-распаду. Чем больше энергия бета-распада ядер (разность масс между соседними изобарами), тем они дальше от линии стабильности.
    Для четных A вместо одной параболы, за счет энергии спаривания (последний член в формуле (1)), получаются две параболы (правая часть рис.1): для нечетно-нечетных ядер и для четно-четных. Несмотря на то, что энергия спаривания невелика по сравнению с полной энергией связи ядра (для ядер с A ~ 100 энергия связи порядка 1000 МэВ, расстояние между параболами около 2 МэВ), это приводит к важным следствиям. Некоторые нечетно-нечетные ядра (например ¹²⁸I) могут испытывать как β^--распад, так и β⁺-распад и e-захват. Стабильных четно-четных ядер значительно больше, чем стабильных ядер с нечетным A и, тем более, чем стабильных нечетно-нечетных ядер, которых всего четыре (²H, ⁶Li, ¹⁰B, ¹⁴N ). При данном A стабильных четно-четных ядер может быть несколько (например ¹³⁶Xe, ¹³⁶Ba, ¹³⁶Ce). Элементы с нечетным Z редко имеют больше одного стабильного изотопа, в то время как для элементов с четным Z это не редкость (¹¹²Sn, ¹¹⁴Sn, ¹¹⁵Sn, ¹¹⁶Sn, ¹¹⁷Sn, ¹¹⁸Sn, ¹¹⁹Sn, ¹²⁰Sn, ¹²²Sn, ¹²⁴Sn). В некоторых случаях, когда для четно-четных ядер невозможен бета-распад на нечетно-нечетное ядро, оказывается энергетически возможным переход с изменением Z на две единицы - двойной бета-распад. Такой экзотический распад испытывают ¹²⁸Te и ¹³⁰Te. Их содержание в естественной смеси этого элемента 31.7% и 33.8% соответственно. Вероятность двойного бета-распада очень мала, периоды полураспада T_1/2(¹²⁸Te) = 7.7·10²⁸ лет,
T_1/2(¹³⁰Te) = 2.7·10²¹ лет.

Рис. 2. Схематический вид спектра электронов (позитронов при бета-распаде

    В результате бета-распада образуются три частицы: конечное ядро и пара лептонов. Энергия, сообщаемая ядру в силу его большой массы, мала, и ею можно пренебречь. Поэтому кинетическая энергия, выделяющаяся при бета-распаде практически целиком уносится парой лептонов, причем распределение энергий между ними может быть любым. Таким образом, энергетический спектр позитронов (электронов) и нейтрино (антинейтрино) должен быть непрерывным в интервале от 0 до Q_б (см. рис. 2).
    В случае захвата ядром орбитального электрона образуются два продукта: конечное ядро и нейтрино. Распределение энергий между ними поэтому является однозначным, и практически вся она уносится нейтрино. Таким образом, спектр нейтрино при e-захвате при фиксированных состояниях начального и конечного ядра будет монохроматическим  в отличие от бета-распада. В e-захвате участвуют главным образом электроны ближайших, к ядру оболочек (прежде всего К-оболочки) Для таких электронов вероятность нахождения внутри ядра наибольшая.
    Характерной чертой всех видов бета-распада является участие в них нейтрино или антинейтрино. Впервые гипотеза о существовании нейтрино была выдвинута Паули в 1930 г. для "спасения" законов сохранения энергии и момента количества движения. Непрерывный характер спектра электронов (позитронов) никак не удавалось объяснить без отказа от закона сохранения энергии. Гипотеза нейтрино позволила не отказаться от столь фундаментального принципа. Прошли многие годы, пока Коуэну и Райнесу удалось зафиксировать электронное антинейтрино.

Рис. 3. Диаграмма Фейнмана для --распада

    Бета-распад происходит в результате слабых взаимодействий. На рис. 3 показана диаграмма Фейнмана для β^--распада. На кварковом уровне при бета-распаде происходит переход d-кварка в u-кварк или наоборот. На нуклонном уровне это соответствует переходам нейтрона в протон или протона в нейтрон. Причем если нейтрон может переходить в протон в свободном состоянии, то обратный переход возможен только для протонов в ядре.
    Бета-распады разделяются на разрешенные и запрещенные, различающиеся вероятностями переходов. К разрешенным переходам относятся переходы, при которых суммарный орбитальный момент l, уносимый электроном и нейтрино, равен нулю. Запрещенные переходы подразделяются по порядку запрета, который определяется орбитальным моментом l. Если l = 1, то это запрещенный переход первого порядка, l_min = 2 - второго порядка и т.д. При прочих равных условиях отношения вероятностей вылета частицы с орбитальными моментами l = 0 (w₀) и l ≠0 (w_l)

где R - радиус ядра, - длина волны.
    Бета-распады также делятся на переходы типа Ферми, при которых спины вылетающих лептонов антипараллельны, и типа Гамова - Теллера, при которых спины вылетающих лептонов параллельны.
        Как можно понять такую сильную зависимость вероятности бета-переходов от орбитального момента вылетающих лептонов?

На ядро с радиусом R налетает частица с импульсом p  и прицельным параметром b. Классический момент импульса pb равен величине орбитального момента

Для прицельного параметра b в классическом приближении должно выполняться условие

Оценим при каких l условие (5) выполняется. Радиусы даже самых тяжелых ядер меньше 10 Фм. Для оценки положим радиус равным 10 Фм, а энергию бета-распада 20 МэВ. Тогда и для электронов мы можем использовать ультрарелятивистское приближение и переписать (5) в виде

c/T < R

(6)

где T - кинетическая энергия вылетающего лептона. Подставив в (6) численные значения, получим

200 МэВ·Фм/20 МэВ < 10 Фм.

(7)

Из (7) видно, что орбитальный момент вылетающих при бета-распаде лептонов при квазиклассическом расмотрении может быть только нулевой, а переходы с l ≠ 0 запрещены. Однако квантовые свойства частиц приводят к тому, что такие запрещенные переходы происходят, хотя они и сильно подавлены. Причем, тем сильнее, чем меньше отношение R/. Вероятность бета -перехода пропорциональна (R/)^2l. Так как при бета- распаде R << и более того R + а << , где a - ширина кулоновского барьера, он практически не влияет на вероятность бета-распада, так как образовавшиеся электроны (позитроны) сразу имеют ненулевую вероятность нахождения вне ядра. Влияние кулоновских сил сводится к тому, что вылетевшие электроны тормозятся, а позитроны ускоряются кулоновским полем ядра, что приводит к изменению формы их спектров.
   Основы теории слабых взаимодействий и β-распада были заложены Ферми в 1934 г. К 1958 г. эта теория была обобщена в универсальную четырехфермионную теорию слабых взаимодействий, согласно которой элементарный процесс слабого взаимодействия представляет собой локальное взаимодействие четырех фермионов, т.е. частиц с полуцелыми спинами. В настоящее время процессы как слабого, так и электромагнитного взаимодействия находят объяснение в новой теории - объединенной теории электрослабых взаимодействий. Согласно этой теории, слабое взаимодействие осуществляется путем обмена виртуальными промежуточными бозонами. В теории Ферми предполагалось, что взаимодействие, которое приводит к бета-распаду мало по сравнению с взаимодействием, которое формирует состояния ядра. Это позволило использовать теорию возмущений и записать вероятность распада в единицу времени в виде (золотое правило Ферми)

где M_fi - матричный элемент бета-распада, ρ_f(E) - плотность конечных состояний.

(9)

V_fi - гамильтониан слабого взаимодействия, ψ_i и ψ*_f - волновые функции начального и конечного состояний системы.
    В начальном состоянии существует ядро, описываемое волновой функцией _i, а в конечном - ядро, электрон и антинейтрино, описываемые волновыми функциями φ_f, φ_e, φ_ν. Считая, что конечное ядро, электрон и антинейтрино не взаимодействуют друг с другом, получаем следующее выражение для волновой функции конечного состояния системы: ψ_f = φ_f φ_e φ_ν.
    При этом матричный элемент  бета-распада имеет вид

.

(10)

Для вычисления матричного элемента необходимо выполнить интегрирование по объему ядра. В первом приближении этот матричный элемент можно заменить следующим (предположение Ферми):

,

(11)

где G_F - константа Ферми слабого взаимодействия.
Если пренебречь взаимодействием электрона и антинейтрино с окружающими частицами, то в качестве их волновых функций можно выбрать плоские волны:

φe = exp(-ipr/),  φν = exp(-iqr/),

(12)

где p и q импульсы электрона и антинейтрино. Можно показать, что плотность состояний свободного движения электрона и нейтрино

(13)

где p и q - импульсы  электрона и нейтрино. Пренебрегая энергией отдачи ядра, запишем

Q_б =  T_e + , dQ_б = dT_e =  d,

где T_e и - кинетические энергии электрона и нейтрино. Полагая массу нейтрино равной нулю можно записать

p = [Te(Te + 2mc2)]1/2/c, c2pdp = (Te + mc2)dTe,	(14)
q = (Qб - Te)/c, dq = d/c.	(15)

Подставляя (14-15) в (13), получим

(E) ~ p(Te + mec2)(Qб - Te)2dTe,

(16)

где T_e - кинетическая энергия электрона.  Распределение числа электронов в зависимости от их энергии имеет вид:

dNe(Qб,Te) ~ |Mfi|2 [Te(Te + 2mec2)]1/2(Te + mec2)(Qб - Te)2F(Te,Z)dTe.

(17)

Таким образом, форма бета-cпектра определяется как плотностью конечных состояний, так и квадратом матричного элемента

(18)

Рис. 4. Влияние кулоновского поля на бета-спектр

описывающего бета-распад. Необходимо отметить, что бета-спектр искажается кулоновским полем атома, которое складывается из поля ядра и электронной оболочки. Поэтому в выражение (17)   добавлен множитель F(T_e,Z), который определяется как отношение вероятности нахождения электрона в некоторой точке с учетом поля атома (Z = 0) к вероятности без учета поля (Z = 0). Искажение вносимое в бета-спектр кулоновским полем атома, особенно существенно в начале спектра, т. е. для частиц с малой энергией. При этом центр тяжести кривой распределения смещается в сторону малых энергий для электронов и больших энергий для позитронов (рис. 4). Это смещение тем больше, чем больше заряд ядра.

Рис. 5. Конец спектра электронов бета-распада при нулевой и ненулевой массе нейтрино

    Соотношение (17) было получено в предположении, что масса нейтрино = 0. В этом случае в высокоэнергетической части спектра электронов dN_e/dT_e0. Однако, если 0 вместо (15б) для конца спектра электронов, когда энергия нейтрино мала, нужно записать

(19)

Тогда вместо (17) получим

dNe(Qб,Te) ~ [Te(Te + 2mec2)]1/2(Te + mec2)(Qб - Te)1/2dTe.

(20)

Т.е. в случае 0 в высокоэнергетической части спектра электронов dN_e/dT_e (рис.5).
    Полная вероятность бета-распада ядра в единицу времени λ т, е. величина, обратная среднему времени жизни ядра по отношению к бета-распаду , получается интегрированием (17) с учетом поправки F(T_e,Z) Для ультрарелятивистских электронов (T_e >> m_ec²), предполагая M_fi = const имеем

(21)

Такая зависимость вероятности от энерговыделения характерна не только для бета-распада, но и для других слабых распадов и носит название правила Сарджента.
    Характерные импульсы лептонов при бета-распаде таковы, что выполняется соотношение

|p + q|R/ ~10-2 <<1,

(22)

где R - радиус ядра. При этом экспонента в матричном элементе мало отличается от 1 (интегрирование проводится по внутренней области ядра, т. е. для r << R ) и матричный элемент сводится к

(23)

т. е. к выражению, зависящему только от состояний начального и конечного ядер и не зависящему от импульсов лептонов. Форма бета-спектра в этом случае определяется только плотностью конечных состояний. Это  разрешенные бета-переходы. Если матричный элемент  = 0 в (18), то нужно разложить экспоненту в ряд по степени показателя экспоненты. Степень первого члена этого ряда, который дает отличный от нуля вклад в матричный элемент, определяет порядок запрета перехода. Из соотношения (22) следует, что вероятность β-перехода должна убывать приблизительно в 10⁴ при увеличении порядка запрета на 1.
    У разрешенных переходов

(Qб - Te) ~ f(Te),

(24)

где  f(T_e) - график Кюри или Ферми

f(Te) = {(dNe/dTe)/[p(Te + mc2)2F(Te,Z)]}1/2.

(25)

Пересечение линейной фуекции f(T_e) с осью абсцисс определяет энергию бета-распада - Q_б.
    Переходы Гамова - Теллера не учитываются в теории Ферми, поскольку в ней матричный элемент (10) заменяется матричным элементом (11).Эти переходы возникают лишь при введении в гамильтониан слабого взаимодействия V_fi членов, изменяющих спиновые состояния частиц.
     Для разрешенных переходов l = 0. В этом случае волновые функции лептонов сферически симметричны и поэтому лептоны вылетают в различных направлениях с одинаковой вероятностью. У запрещенных переходов волновые функции лептонов уже не являются сферически симметричными, в силу чего вероятность их вылета в некоторых направлениях оказывается сильно подавленной.
    Правила отбора для полного момента и четности в случае бета-распада можно записать в виде

	(26)
Pi =  Pf ( -1)l,

где l - суммарный орбитальный момент пары лептонов, J_i, P_i, J_f  P_f, - спины и четности начального и конечного ядер, - спины лептонов. Вероятность бета-переходов в основном определяется минимальным орбитальным моментом пары лептонов l_min, удовлетворяющим правила отбора (26).

ЗАДАЧИ

---