Монотонные последовательности

5.7. Монотонные последовательности

    Определение 8. Верхняя (нижняя) грань множества значений числовой последовательности {x_n} называется верхней (нижней) гранью этой последовательности и обозначается sup {x_n} ( соответственно inf {x_n}).
    Иначе говоря, если x_n R, n = 1, 2, ..., и если = sup {x_n}, то:
    1) для всех n N имеет место неравенство x_n < ;
    2) для любого ' < существует такое n₀ N, что < '.
    Аналогично, если = inf {x_n}, то:
    1) для всех n N имеет место неравенство x_n > ;
    2) для любого ' > существует такое n₀ N, что < '.

    Примеры.
    1. sup {1/n} = 1,     inf {1/n} = 0.
    2. sup {n} = +,    inf {n} = 1.

    Определение 9. Числовая последовательность {x_n} называется возрастающей (убывающей), если для всех n N выполняется неравенство x_n < x_n+1 ( соответственно неравенство x_n > x_n+1).
    Возрастающая (убывающая) последовательность обозначается x_n (соответственно x_n). Если возрастающая (убывающая) последовательность имеет предел, равный a, то пишут x_na
(соответственно x_n a).
    Последовательность {x_n} называется строго возрастающей (строго убывающей), если для всех n N выполняется неравенство x_n < x_n+1 (соответственно неравенство x_n > x_n+1). Строго возрастающая (строго убывающая) последовательность обозначается x_n (соответственно x_n ).
    Убывающие и возрастающие последовательности называются монотонными, а строго убывающие и строго возрастающие - строго монотонными.
    Примеры.
    3. Последовательность {1/n} строго убывает.
    4. Последовательность {n} строго возрастает.
    5. Последовательность {(-1)ⁿ} немонотонная.

Теорема 3 (Beйepштpacc). Всякая возрастающая числовая последовательность {x_n} имеет предел: конечный, если она ограничена сверху, и бесконечный, если она неограничена сверху, причем

= sup {x_n}.

(5.49)

Аналогично, если {x_n} - убывающая последовательность, то существует (конечный или бесконечный) предел

= inf {x_n}.

(5.50)

и, следовательно, этот предел конечен, если последовательность {x_n} ограничена снизу, и бесконечен, если она неограничена снизу.

Рис. 52

Пусть последовательность {x_n} возрастает. Докажем равенство (5.49). Остальные утверждения теоремы для возрастающих послеовательностей следуют из него очевидным образом.
Пусть = sup {x_n}, значение может быть как конечным, так и бесконечным. Возьмем произвольную окресность U() точки и обозначим через ' ее левый конец (рис. 52). Очевидно, ' < . Согласно определению верхней грани:
1) для любого номера n N имеет место неравенство

x_n < ;

(5.51)

2) существует такой номер n₀, что

> '

(5.52)

В силу возрастания последовательности {x_n} из (5.51) и (5.52) следует, что для всех номеров n > n₀ выполняется неравенство

' < < x_n<

(5.53)

и поскольку (',] U() , то при n > n₀ имеет место включение

x_n U(),

(5.54)

а это и означает, что является пределом последовательности {x_n}.
Аналогично рассматривается случай x_n.
Замечание. Если [a_n,b_n], n = 1, 2, ..., - система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, а - точка, принадлежащая всем отрезкам этой системы, то

= a_n= b_n.

(5.55)

В самом деле, последовательность {a_n} возрастает, а {b_n} убывает, кроме того (см. (4.25) в п. 4.5), было показано, что = sup {a_n} = inf {b_n}. Поэтому равенство (5.55) сразу следует из теоремы 3.
Пример 6 (число e). Рассмотрим последовательность

a_n = (1 + 1/n)ⁿ, n = 1, 2, ...,

(5.56)

и покажем, что она строго возрастает и ограничена сверху, а следовательно, согласно теореме 3 имеет конечный предел. Применив формулу бинома Ньютона, получим

(5.57)

Из выражения, стоящего в правой части равенства, видно, что при переходе от n к n + 1 число слагаемых (которые все положительны) в написанной сумме возрастает на единицу и каждое слагаемое, начиная с третьего, увеличивается, так как становится больше выражение, стоящее в каждых круглых скобках, ибо

1 - s/n < 1 - s/(n + 1), s = 1, 2, ..., n-1, n = 2, 3, ...

Это означает строгое возрастание последовательности (5.56):

x_n < x_n+1, n = 1, 2, ...

(5.58)

Далее, поскольку

1 - s/n < 1, s = 1, 2, ..., n-1, n = 2, 3, ...

(5.59)