Согласно определению предела
функции (п. 6.1) для того,
чтобы существовал предел 
f(x) функции f(x),
x 
X,
нужно, чтобы для любых последовательностей xn
x0, xn X, n = 1, 2, ...,
существовали пределы 
f(xn)
и они были равны между собой. Покажем, что второе
условие вытекает из первого. То есть, не
предполагая равенство этих пределов, а
предполагая только их существование, можно
доказать их равенство, а следовательно, и
существование предела функции. Точнее, докажем
следующее утверждение.
Лемма 2. Для того чтобы
функция f(x), x X, имела конечный или
определенного знака бесконечный предел в точке
x0, являющейся конечной или
бесконечно удаленной точкой прикосновения
множества X, необходимо и достаточно, чтобы
для любой последовательности xnx0, xn X, n = 1,
2, ..., последовательность соответствующих
значений функции {f(xn)} имела
предел (конечный или определенного знака
бесконечный).
Необходимость
сформулированного условия для существования f(x)
содержится в самом определении предела функции (см. (6.4)), в котором
утверждается существование пределов f(xn) для всех
указанных в условиях леммы
последовательностей {xn}.
Докажем достаточность этого условия
для существования предела функции.
Пусть x'nx0, x"nx0, x'n X, x"n
X, n = 1,
2, ..., и существуют пределы f(x'n)
, f(x"n)
. Покажем, что они равны. Положим
|
k = 1, 2, ... |
Тогда xn
= x0 и xn X, n = 1, 2, ...
Согласно условиям леммы существуют пределы
f(x'n),
f(x"n),
f(xn),
причем {f(x'n)}
и {f(x"n)}
являются подпоследовательностями
последовательности {f(xn)}.
Поскольку из существования у
последовательности предела (конечного или
бесконечного) следует существование того же
предела у любой ее подпоследовательности, то
будем иметь
f(x'n)
= f(xn) = f(x"n).
Таким образом, пределы
последовательностей {f(xn)}, где xnx0, xn X, n = 1,
2, ..., не зависят от выбора указанных
последовательностей {xn}. Обозначив
общее значение пределов последовательностей {f(xn)}
через a, получим f(x) = a. 
Второе определение предела функции Оглавление Предел функции по объединению множеств
