6.3. Второе определение предела функции

    Существует другое определение предела функций, в котором используется понятие окрестности, оно называется определением по Коши.

    Определение 6. Точку a называют пределом функции f(x), x X, при x x₀ (или, что то же самое, в точке x₀) и пишут f(x) = a, если для любой окрестности U(a) точки a существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, что

f(XU(x₀)) U(a).

Используя логические символы, это определение можно записать в следующем виде:

f(x) = a U(a)     U(x₀):        f(XU(x₀)) U(a).

или, что равносильно,

(в подобных символических записях двоеточие читается как "имеет место").
    Вспоминая определения окрестностей, эти определения для соответствующих конкретных случаев можно перефразировать в терминах неравенств. Рассмотрим важный случай, когда x₀ и a - действительные числа.
    Число a называется пределом функции  f(x), x X, в точке x₀ R, если для любого > 0 существует такое  > 0, что для всех x, удовлетворяющих условию |x - x₀| < , x X, выполняется неравенство

| f(x) - a| < .

    Это определение действительно равносильно определению (6.10) в случае, если  x₀ R, так как условие |x - x₀| < равносильно условию

x U(x₀) = U(x₀,),

а условие | f(x) - a| < - условию

f(x) U(a) = U(a,)

(рис. 61).
    В символической форме для рассматриваемого случая определение предела функции имеет вид

f(x) = a > 0  > 0 x X,   |x - x₀| < :    | f(x) - a| < .

    В частности, если функция  f непрерывна в точке x₀ X R  и a = f(x₀) (в этом случае x₀ и a являются числами), то определение непрерывности в символической записи имеет вид

f(x) =  f(x₀) > 0   > 0 x X,  |x - x₀| < :   | f(x) -  f(x₀)| < .

    В качестве примера бесконечных пределов рассмотрим определение предела f(x) = -:

f(x) = - > 0  > 0 x X,  x > 1/:    f(x) < -1/.

    Теорема 1. Определения 1 и 6 предела функции в точке прикосновения множества задания функции равносильны.
Пусть функция  f задана на множестве X и x₀ - точка прикосновения этого множества. Предположим сначала, что f(x) = a в смысле определения 1, и покажем, что тогда число a является и пределом функции в смысле определения 6. Допустим, что это не так, т. е. (см. (6.10)), что существует такая окрестность U(a), что для любой окрестности U(x₀) найдется такая точка x X U(x₀), что f(x) U(a), или, в символической записи,

    В частности, указанные точки x найдутся в каждой окрестности U(x₀, 1/n), n = 1, 2, ..., точки x₀. Обозначим эти точки x_n, т. е.

    Из условия (6.12) следует (см. пример в п. 5.3), что

Поскольку a = f(x) в смысле определения 1, то из выполнения условия (6.14) следует, что f(x_n) = a. Следовательно, для любой окрестности U(a), в частности, и для окрестности U(a), указанной в условии (6.13), существует такой номер n₀, что для всех n > n₀ выполняется включение

что противоречит условию (6.13). В одну сторону утверждение теоремы доказано.
    Пусть теперь a = f(x) в смысле определения 6 предела функции  f: X R, x₀ - точка прикосновения множества X и x_n x₀, x_n X, n = 1, 2, ... Покажем, что f(x_n) = a. Зададим произвольно окрестность U(a) точки a и выберем для нее окрестность U(x₀) точки x₀, удовлетворяющую условию (6.10). Для окрестности U(x₀) в силу условия = x₀ существует такой номер n₀, что для всех n > n₀ выполняется включение x_n U(x₀), а так как x_n X, n = 1, 2, ..., то при n > n₀ будем иметь x_n X U(x₀). Следовательно, в силу (6.10) при n > n₀ имеет место включение f(x_n) U(a), т. e. f(x_n) = a.
    Это и означает, что f(x) = a в смысле определения 1. 

Определение непрерывности функции   Оглавление  Условие существования предела функции