7.4. Равномерная непрерывность

    Если функция f непрерывна на отрезке, то это означает, что любой точки x этого отрезка и для любого числа > 0 найдется такое число > 0 (зависящее от точки x и числа ), что для всех точек x' отрезка, для которых

выполняется неравенство

    Если число можно выбрать не зависящим от точки x так, чтобы при выполнении условия (7.20) выполнялось условие (7.21), то функция f называется равномерно непрерывной. Сформулируем определение этого важного понятия более подробно.

    Определение 2. Функция f, заданная на отрезке [a,b], называется равномерно непрерывной на нем, если для любого > 0 существует такое > 0, что для любых двух точек x [a,b] и x' [a,b] таких, что |x' - x| < , выполняется неравенство | f(x') - f(x)| < .
    В символической записи определение непрерывности функции на отрезке выглядит следующим образом:

x  > 0 > 0  x',    |x' - x| < : | f(x') - f(x)| < ,

а определение равномерной непрерывности выглядит так:

Здесь точки x и x' принадлежат отрезку, на котором задана функция f.
    Примеры. 1. Функция f(x) = x равномерно непрерывна на всей числовой оси R. Действительно, если задано > 0, то, выбрав = , получим, что для любых точек x и x' таких, что |x' - x| < , выполняется неравенство

| f(x') - f(x)| = |x' - x| < = ,

т. е. условия определения 1 выполнены.
    2. Функция f(x) = x₂ не равномерно непрерывна на всей числовой оси R.
    Это следует из того, что для любого h0 имеет место

Поэтому, если задано > 0, то, каково бы ни было > 0, зафиксировав h0, |h| < , можно в силу (7.23) так выбрать x, что для точек x' = x + h и x будем иметь

| f(x') - f(x)| > ,

и в то же время

|x' - x| = |h| < .

    Ясно, что всякая равномерно непрерывная на отрезке функция непрерывна на нем: если в определении равномерной непрерывности зафиксировать точку x, то получится определение непрерывности в этой точке. Верно и обратное утверждение.

    Теорема 5 (Кантор). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.
Докажем теорему от противного. Допустим, что существует непрерывная на некотором отрезке [a,b] функция f, которая, однако, на нем не равномерно непрерывна. Это означает (см. (7.22)), что существует такое ₀ > 0, что для любого > 0 найдутся такие точки x [a,b] и x' [a,b], что |x' - x| < , но | f(x') - f(x)| > . В частности, для = 1/n найдутся такие точки, обозначим их x_n и x'_n, что

но

    Из последовательности точек {x_n} в силу свойства компактности отрезка (см. теорему 4 в п. 5.8) можно выделить сходящуюся подпоследовательность {}. Обозначим ее предел x₀:

Поскольку a < < b, k = 1, 2, ..., то a < x₀ < b. Функция f непрерывна в точке x₀, поэтому

Подпоследовательность {} последовательности {x'_n} также сходится в точке x₀, ибо

|- x0| < |- | + | - x0|	<	1/nk + | - x0|		0
	(7.24)		(7.26)

при k. Поэтому

Из (7.27) и (7.28) следует, что

[ f() -  f() ] =  f(x₀) -  f(x₀) = 0,

а это противоречит условию, что при всех k = 1, 2, ... выполняется неравенство

| f() -  f()|	>	> 0.
	(7.25)

    Полученное противоречие доказывает теорему. 
    Условие равномерной непрерывности можно сфомулировать в терминах так называемых колебаний функции на отрезках.

    Определение 3. Пусть функция f задана на отрезке [a,b]. Тогда величина

называется колебанием функции f на отрезке [a,b].
    Из двух значений  f(x') - f(x) и  f(x) -  f(x') одно неотрицательно и, следовательно, не меньше второго, поэтому величина верхней грани и в правой части равенства не изменится, если вместо абсолютной величины | f(x') - f(x)| разности  f(x') - f(x) взять саму эту разность:

 w( f;[a,b]) =( f(x') - f(x)).

    Справедливо следующее утверждение. Для того чтобы функция f была равномерно непрерывна на отрезке [a,b], необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовало такое > 0, что для любого отрезка [x,x'] [a,b] такого, что 0 < x' - x < выполнялось неравенство

Действительно, поскольку x,x' [x,x'], то из неравенства (7.30) следует, что | f(x') - f(x)| < , а поэтому выполняется утверждение (7.22).
    Обратно, если справедливо утверждение (7.22), то для любого > 0 найдется такое > 0, что для любых двух точек x и x' отрезка [a,b], удовлетворяющих условию |x' - x| < , имеет место неравенство
| f(x') - f(x)| < /2. В частности, это неравенство выполняется и для всех таких точек x,x' [a,b], для которых
0 < x' - x < . Но для любых двух точек  и отрезка [x,x'] выполняется, очевидно, неравенство
0 < | - | < x' - x < , а следовательно, и неравенство | f() - f()| < /2 . Поэтому для любого отрезка [x,x'] такого, что 0 < x' - x < , имеем

w( f;[x,x']) = | f() - f()| < /2 < .

Утверждение доказано. 

Обратные функции  Оглавление Многочлены и рациональные функции