Если функция f непрерывна на
отрезке, то это означает, что любой точки x
этого отрезка и для любого числа > 0 найдется такое число
> 0 (зависящее от
точки x и числа
), что для всех точек x' отрезка,
для которых
|x' - x| < |
(7.20) |
выполняется неравенство
| f(x') - f(x)| <
|
(7.21) |
Если число
можно выбрать не зависящим от точки x так,
чтобы при выполнении условия (7.20) выполнялось
условие (7.21), то функция f называется равномерно
непрерывной. Сформулируем определение этого
важного понятия более подробно.
Определение 2. Функция f,
заданная на отрезке [a,b], называется равномерно
непрерывной на нем, если для любого > 0 существует такое
> 0, что для любых двух
точек x
[a,b]
и x'
[a,b]
таких, что |x' - x| <
, выполняется неравенство | f(x') - f(x)| <
.
В символической записи определение
непрерывности функции на отрезке выглядит
следующим образом:
x
> 0
> 0
x',
|x' - x| <
: | f(x') - f(x)| <
,
а определение равномерной непрерывности выглядит так:
|
(7.22) |
Здесь точки x и x' принадлежат отрезку,
на котором задана функция f.
Примеры. 1. Функция f(x) = x
равномерно непрерывна на всей числовой оси R. Действительно, если задано > 0, то, выбрав
=
, получим, что для любых точек x и x'
таких, что |x' - x| <
, выполняется неравенство
| f(x') - f(x)| = |x' - x| <
=
,
т. е. условия определения 1 выполнены.
2. Функция f(x) = x2
не равномерно непрерывна на всей числовой оси R.
Это следует из того, что для любого h0 имеет место
|
(7.23) |
Поэтому, если задано > 0, то, каково бы ни было
> 0, зафиксировав h
0, |h| <
, можно в силу (7.23) так
выбрать x, что для точек x' = x + h
и x будем иметь
| f(x') - f(x)|
> ,
и в то же время
|x' - x| = |h| < .
Ясно, что всякая равномерно непрерывная на отрезке функция непрерывна на нем: если в определении равномерной непрерывности зафиксировать точку x, то получится определение непрерывности в этой точке. Верно и обратное утверждение.
Теорема 5 (Кантор). Функция, непрерывная на
отрезке, равномерно непрерывна на нем.
Докажем теорему от
противного. Допустим, что существует непрерывная
на некотором отрезке [a,b] функция f,
которая, однако, на нем не равномерно непрерывна.
Это означает (см. (7.22)), что существует такое
0 > 0, что для
любого
> 0 найдутся
такие точки x
[a,b] и x'
[a,b], что |x' - x| <
, но | f(x') - f(x)| >
. В частности, для
= 1/n найдутся такие
точки, обозначим их xn и x'n,
что
|x'n - xn| 1/n, |
(7.24) |
но
| f(x') - f(x)|
> |
(7.25) |
Из последовательности точек {xn}
в силу свойства компактности отрезка (см. теорему 4 в п. 5.8) можно
выделить сходящуюся подпоследовательность {}. Обозначим ее предел x0:
|
(7.26) |
Поскольку a < < b, k = 1, 2, ..., то a
< x0 < b. Функция f
непрерывна в точке x0, поэтому
|
= | f(x0). | (7.27) |
(7.26) |
Подпоследовательность {} последовательности {x'n}
также сходится в точке x0, ибо
| |
< | 1/nk + |![]() |
0 | |
(7.24) | (7.26) |
при k. Поэтому
|
(7.28) |
Из (7.27) и (7.28) следует, что
[ f(
) - f(
) ] = f(x0)
- f(x0) = 0,
а это противоречит условию, что при всех k = 1, 2, ... выполняется неравенство
| f( |
> | ![]() |
(7.25) |
Полученное противоречие доказывает
теорему.
Условие равномерной непрерывности
можно сфомулировать в терминах так называемых
колебаний функции на отрезках.
Определение 3. Пусть функция f задана на отрезке [a,b]. Тогда величина
w( f;[a,b]) = |
(7.29) |
называется колебанием функции f на
отрезке [a,b].
Из двух значений f(x') - f(x)
и f(x) - f(x') одно
неотрицательно и, следовательно, не меньше
второго, поэтому величина верхней грани и в
правой части равенства не изменится, если вместо
абсолютной величины | f(x') - f(x)|
разности f(x') - f(x)
взять саму эту разность:
w( f;[a,b]) =( f(x') - f(x)).
Справедливо следующее утверждение. Для
того чтобы функция f была равномерно
непрерывна на отрезке [a,b], необходимо
и достаточно, чтобы для любого > 0 существовало
такое
> 0, что для
любого отрезка [x,x']
[a,b] такого, что 0 < x' - x <
выполнялось
неравенство
w( f;[x,x']) < |
(7.30) |
Действительно, поскольку x,x'
[x,x'], то
из неравенства (7.30) следует, что | f(x') - f(x)| <
, а поэтому
выполняется утверждение (7.22).
Обратно, если справедливо утверждение
(7.22), то для любого
> 0 найдется такое
> 0, что для любых двух точек x и x'
отрезка [a,b], удовлетворяющих условию
|x' - x| <
,
имеет место неравенство
| f(x') - f(x)| < /2. В частности, это
неравенство выполняется и для всех таких точек x,x'
[a,b], для
которых
0 < x' - x < . Но для любых двух точек
и
отрезка [x,x'] выполняется,
очевидно, неравенство
0 < | -
| < x' - x <
, а следовательно, и
неравенство | f(
) - f(
)| <
/2
. Поэтому для любого отрезка [x,x']
такого, что 0 < x' - x <
, имеем
w( f;[x,x']) = | f(
) - f(
)| <
/2
<
.
Утверждение доказано.
Обратные функции Оглавление Многочлены и рациональные функции