8.1. Многочлены и рациональные функции

    Теорема 1. Многочлен непрерывен на всей числовой оси.
    Действительно, во-первых, постоянная на всей числовой оси функция непрерывна во всех точках (см. свойство 3^o пределов функций в п. 6.7); во-вторых, функции x^k, k = 1, 2, ..., также непрерывны на всей числовой оси (см. пример в п. 7.3), а любой многочлен P_n(x) = a₀ + a₁x + ... + a_nxⁿ является линейной комбинацией функций 1, x, x², ..., xⁿ с коэффициентами a₀, a₁,..., a_n, поэтому, согласно следствию из свойства 6^o пределов функции в п. 6.7, он непрерывен на всей числовой оси. 

    Теорема 2. Рациональная функция P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) - многочлены, непрерывна во всех точках числовой оси, в которых Q(x)0.
    Это сразу следует из непрерывности многочленов P(x) и Q(x) на всей числовой оси и непрерывности частного непрерывных функций во всех точках, в которых знаменатель не обращается в нуль (см. следствие из свойства 6^o пределов функций в п. 6.7). 

Равномерная непрерывность  Оглавление  Показательная и логарифмическая функция