Теорема 2 (Ролль). Если
функция f:
1) непрерывна на отрезке [a,b];
2) имеет в каждой точке интервала (a,b)
конечную или определенного знака бесконечную
производную;
3) принимает равные значения на
концах отрезка [a,b] , т. е.
f(a) = f(b); |
(12.3) |
то существует по крайней мере одна такая
точка (a,b)
, что
f'( |
(12.4) |
|
Геометрический смысл теремы Ролля
состоит в том, что на графике функции,
удовлетворяющей условиям теоремы Ролля, имеется
по крайней мере одна точка, в которой касательная
горизонтальна (рис. 78).
Если для любой точки x
интервала (a,b) выполняется равенство f(x) = f(a) = f(b),
то функция f является постоянной на этом
интервале, и потому для любой точки
(a,b)
выполняется условие (12.4).
Пусть существует точка x0 (a,b),
для которой f(x0)
f(a), например f(x0) > f(a).
Согласно теореме Вейерштрасса о достижимости
непрерывной на отрезке функцией своих
наибольшего и наименьшего значений (см. теорему 1 в п. 7.1),
существует такая точка
[a,b],
в которой функция f принимает наибольшее
значение. Тогда
f() > f(x0) > f(a) = f(b),
Поэтому a и
b,
т. е. точка
принадлежит интервалу (a,b) и функция f
принимает в ней наибольшее значение.
Следовательно, согласно теореме Ферма (см. теорему 1 в п. 12.1),
выполняется равенство f'(
) = 0.
Замечание 3. Все условия теоремы Ролля
существенны. На рис. 79 изображены графики
четырех функций, определенных на отрезке [-1,1]; у
каждой из ниeх не выполняется лишь одно из трех
условий теоремы Ролля и не существует такой
точки , что f'(
) = 0. Пример функции
(см. рис. 79, б)
показывает также, что условие существования
определенного знака бесконечной производной
нельзя заменить условием существования просто
бесконечной производной. У функции
в точке x = 0
производная равна бесконечности, но без
определенного знака, т. е. f'(0) =
, и не существует
такой точки
, что f'(
) = 0.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
= 1 - точка разрыва а |
f'(0) = ![]() б |
f'(0) не существует в |
f(0) = f(1) г |
Рис. 79 |
Примером функции, удовлетворяющей условиям теоремы Ролля и имеющей в некоторой точке определенного знака бесконечную производную, является функция
Эта функция непрерывна на отрезке [-2,2],
дифференцируема во всех точках интервала (-2,2),
кроме точки x = 0, в которой f'(0) = +,
и f(-2) = f(-2) (см. рис. 78). В согласии с
теоремой Ролля у нее имеются точки, в которых
производная равна нулю: ими являются точки x = +1.
Графиком этой функции являются две
полуокружности радиуса единица, сопряженные в
точке (0).
Замечание 4. В дальнейшем
нам понадобится следующее свойство бесконечных
производных. Если функции y1 = f1(x)
и y2 = f2(x)
определены в окрестности точки x0,
функция f1 имеет в точке x0
бесконечную производную (определенного знака
или нет), а функция f2 имеет в точке x0
конечную производную, то функция y = f1(x) + f2(x)
имеет в точке x0 такую же
бесконечную производную, как и функция f1.
Для того чтобы в этом убедиться, надо перейти к
пределу при x
0 в равенстве
y/
x =
y1/
x +
y2/
x.
Теорема 3 (Лагранж). Если функция f
непрерывна на отрезке [a,b] и в
каждой точке интервала (a,b) имеет
конечную или определенного знака бесконечную
производную, то существует такая точка (a,b), что
f(b) - f(a) = f'( |
(12.5) |
Это равенство называется формулой конечных
приращений Лагранжа.
Рассмотрим
вспомогательную функцию
F(x) = f(x)
- |
(12.6) |
где - некоторое число.
Эта функция непрерывна на отрезке [a,b] и
в каждой точке интервала (a,b) имеет
конечную или определенного знака бесконечную
производную (см. замечание 4).
Подберем число
так,
чтобы выполнялось соотношение
F(a) = F(b); |
(12.7) |
тогда функция F будет удовлетворять всем
условиям теоремы Ролля. Из условий (12.6) и (12.7)
имеем равенство f(a) - a = f(b) -
b,
откуда
(12.8) |
При этом , согласно
теореме Ролля, существует такая точка
(a,b), что
F'( |
(12.9) |
и так как из (12.6) следует, что F'(x) = f'(x)
- , то из (12.8) и (12.9) получаем
что равносильно равенству (12.5).
![]() |
Геометрический смысл теоремы
Лагранжа состоит в том, что на дуге (рис. 80) графика функции f
с концами в точках A = (a, f(a))
и B = (b, f(b)) найдется
точка M = (
, f(
)), касательная в
которой параллельна хорде AB. Действительно,
согласно теореме Лагранжа
(12.10) |
где [f(b) - f(a)]/(b - a)
- тангенс угла наклона хорды AB, а f'()- тангенс угла наклона
касательной к дуге в точке M = (
, f(
)),
(a,b).
Если положить
(
- a)/(b - a), a <
< b, то, очевидно,
0 <
< 1 и
= a +
(b - a).
Поэтому формулу Лагранжа можно также записать в
виде
f(b) - f(a) = f'(a
+ (b - a))(b - a),
0 <
< 1
или, полагая b - a = x, a = x и,
следовательно, b = x +
x, в виде
f(x + |
(12.11) |
Заметим, что равенство (12.10) остается
верным и при b < a (а поэтому и
равенство (12.11) при x
< 0), так как при перемене местами a и b
его левая часть не меняет знака, причем в этом
случае также
= a +
(b - a), 0 <
< 1 (здесь b - a < 0,
- a < 0).
Следствие 1. Если фукция
непрерывна и имеет производную, равную нулю,
во всех точках некоторого промежутка (конечного
или бесконечного), то она на нем постоянна.
Действительно, пусть функция
f удовлетворяет сформулированным условиям
на некотором промежутке и x1, x2 -
две произвольные его точки, x1 < x2.
Тогда функция f непрерывна и
дифференцируема на отрезке [x1,x2]
(на концах этого отрезка в смысле соответственно
односторонней непрерывности и односторонних
производных). По теореме Лагранжа
f(x2) - f(x1) = f'( |
(12.12) |
Во всех точках промежутка, на котором
рассматривается функция f, по условию f'(x) = 0,
в частности f'() = 0.
Поэтому из равенства (12.12) следует, что f(x2) = f(x1).
Поскольку x1 и x2 -
произвольные точки указанного промежутка, то это
и означает, что функция f на нем
постоянна.
Следствие 2. Если функция f
непрерывна в окрестности U(x0)
точки x0, дифференцируема в
проколотой окрестности (x0)
и существует конечный или бесконечный предел
f'(x),
то существует конечная или бесконечная производная f'(x0) и
f'(x0) =f'(x),
В частности, производная не может
иметь устранимую точку разрыва.
В самом деле, согласно
теореме Лагранжа для любой точки x
(x0)
справедливо равенство
(12.13) |
где =
(x) лежит между точками x0
и x, и, следовательно,
(x) = x0, а
потому
|
(12.14) |
Из этого равенства следует, что левая часть равенства (12.13) имеет конечный или бесконечный предел, т. е. существует конечная или бесконечная производная f'(x0), причем
Утверждение, аналогичное следствию 2, имеет место и для односторонних производных.
Замечание 5. Из следствия 2 вытекает, что если функция f непрерывна на некотором промежутке (конечном или бесконечном) и имеет производную, равную нулю во всех точках этого промежутка, кроме, быть может, конечного множества его точек, то функция f постоянна на указанном промежутке. Действительно, в этом случае в достаточно малых проколотых окрестностях точек рассматриваемого конечного множества производная функции равна нулю и, следовательно, имеет в этих точках предел, равный нулю по проколотым окрестностям. Согласно следствию 2 в указанных точках также существует производная и она равна нулю. Поэтому в силу следствия 1 функция является постоянной.
Теорема 4 (Коши). Если
функции f и g:
1) непрерывны на отрезке [a,b];
2) дифференцируемы в каждой точке
интервала (a,b);
3) g'(x)0 во всех точках x
(a,b);
то существует такая точка (a,b),
что
|
(12.15) |
Прежде всего заметим, что
для функции g справедливо неравенство
g(a) |
(12.16) |
так как если бы имело место равенство g(a) = g(b),
то в силу теоремы Ролля нашлась бы такая точка
x0 (a,b),
что g'(x0) = 0, а это
противоречило бы условиям теоремы. В силу
неравенства (12.16) левая часть формулы (12.15) имеет
смысл. Рассмотрим теперь функцию
F(x) = f(x) - |
(12.17) |
где число подберем таким
образом, чтобы имело место равенство
F(a) =F(b). |
(12.18) |
Тогда функция F будет удовлетворять на отрезке [a,b] условиям теоремы Ролля. Из соотношений (12.17) и (12.18) имеем
f(a) - g(a)
= f(b) -
g(b),
откуда
|
(12.19) |
При таком выборе числа существует
(a,b),
для которого F'(
)
= 0, то F'(
) = f'(x)
-
g'(x),
следовательно,
f'(x) - g'(x)
= 0,
и поэтому
|
(12.20) |
Из (12.19) и (12.20) следует (12.15).
Теорема Ферма Оглавление Раскрытие неопределенностей вида 0/0