17.2. Касательная к кривой

    Пусть задана кривая Г = {M(t); a < t < b}, r(t) = (t) - радиус-вектор точки M(t), вектор-функция r(t) дифференцируема в точке t₀ [a,b] и r'(t₀)0. В силу определения дифференцируемости

r = r(t₀ + t) - r(t₀) = r'(t₀)t + o(t),  t0.

Из этой формулы и из условия r'(t₀)0 следует, что для всех достаточно малых t0 имеет место неравенство r 0, т. е. r(t₀ + t) r(t₀), а поэтому точки M₀ = M(t₀) и M = M(t₀ + t) различны. Проведем через них прямую (она обычно называется секущей) M₀M. Очевидно, вектор r, а следовательно, и вектор r/t, t0,   отличающийся от вектора r только скалярным множителем 1/t, параллельны секущей M₀M. По условию в точке t₀ существует производная r'(t₀) = (r/t). Геометрически это означает, что векторы r/t, параллельные секущей M₀M, при t0 стремятся к некоторому предельному вектору r'(t₀), по условию не равному нулю, а так как все секущие M₀M проходят через одну и ту же точку M₀, то прямую, проходящую через эту точку в напавлении вектора r'(t₀), называют предельным положением секущих M₀M при t0 (рис. 92) или касательной к кривой Г в точке M(t₀).
    Если начало вектора r'(t₀) поместить в точку M(t₀), то он будет направлен по касательной, поэтому ее уравнение в векторной форме имеет вид

( - текущий радиус-вектор касательной), а в координатной -

или

(x - x₀)/x'₀ = (y - y₀)/y'₀ = (z - z₀)/z'₀

(здесь = (x,y,z), r(t₀) = (x₀,y₀,z₀), r'(t₀) = (x'₀,y'₀,z'₀)).
    Точка кривой Г, в которой r'(t₀) = 0, называется особой, а точка, в которой r'(t₀)  0, - неособой. Из сказанного выше следует, что геометрический смысл производной r'(t) вектор-функции r(t) состоит в том, что в неособой точке вектор r'(t₀) направлен по касательной к кривой в конце радиус-вектора r(t₀). В этом случае вектор r'(t₀) называется вектором, касательным к кривой в соответствующей точке.
    Если r'(t₀) = ... = r^(n-1)(t₀) = 0, а r⁽ⁿ⁾(t₀)  0, то по формуле Тейлора

    Вектор r/tⁿ направлен по секущей M₀M, где, как и раньше, M₀ = M(t₀), M = M(t₀ + t), а
n!(r/tⁿ) = r⁽ⁿ⁾(t₀).
    Определяя и в этом случае касательную к кривой Г в точке M₀ как предельное положение секущих M₀M при t0, т. е. как прямую, проходящую через точку M₀ в направлении вектора r⁽ⁿ⁾(t₀), получим ее уравнение в виде

    Замечание 1. Если рассматривается плоская кривая r(t) = (x(t), y(t), z(t)), a < x < b, и r'(t₀)0,  то уравнение (17.14) касательной прямой превращается в уравнение прямой

лежащей в плоскости кривой.
    Если эта кривая задается непрерывной функцией y = f(x), a < x < b, дифференцируемой в точке x₀ (за параметр на кривой взята переменная x), то уравнение касательной в точке (x₀,y₀), y₀ = f(x₀), в силу формулы (17.16) имеет вид (x - x₀)/1 = (y - y₀)/f'(x₀), т. е.

    Таким образом, получилось, конечно, то же самое уравнение касательной к графику функции, что и раньше (п. 10.3).
    Сформулируем еще несколько определений, которые будут использоваться в дальнейшем.
    Непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек называется гладкой кривой.
    Кривая Г = {r(t); a < t < b} называется объединением кривых Г_i, если

Г_i = {r(t);  t_i-1 < t < t_i},    i = 1, 2, ..., n,
a = t₀ < t₁ < ... < t_n-1 < t_n = b.

Очевидно, что в этом случае начало кривой Г₁ является и началом кривой Г, конец кривой Г_n - концом Г, а конец каждой кривой Г_i - началом Г_i+1,  i = 1, 2, ..., n - 1.
    Кривая, являющаяся объединением конечного числа гладких кривых, называется кусочно гладкой.
    Замечание 2. Понятие кривой имеет в своей основе понятие траектории движущейся материальной точки. Если конец радиус-вектора r(t) описывает траекторию движения этой точки, а параметр t является временем движения, то производная dr/dt   равна мгновенной скорости в данный момент времени.

Понятие кривой   Оглавление   Определение длины кривой. Спрямляемые кривые