19.2. Основные свойства интеграла

    Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке дельта.
    Перечислим свойства неопределенного интеграла, вытекающие непосредственно из его определения.
    1o. Если функция F дифференцируема на промежутке дельта, то = F(x) + C, или, что то же самое,

= F(x) + C.

    Это сразу следует из определения неопределенного интеграла как совокупности всех дифференцируемых функций, дифференциал которых стоит под знаком интеграла.
    2o. Пусть функция f имеет первообразную на промежутке дельта; тогда для всех x принадлежит дельта имеет место равенство

d= f(x)dx.

(19.7

Отметим, что в этом равенстве под интегралом понимается произвольная первообразная F функции f. Поэтому (19.7) можно записать в виде равенства dF(x) = f(x)dx, справедливость которого следует из того, что F - первообразная f (т. е. из (19.1)).
    3o. Если функции f1 и f2 имеют первообразные на промежутке дельта, то и функция f1 + f2 имеет первообразную на этом промежутке, причем

=+.

(19.8)

    Это равенство выражает собой совпадение двух множеств функций. В правой его части стоит арифметическая сумма множеств (ее определение см. в п. 4.3). Оно означает, что сумма каких-либо первообразных для функций f1 и f2 является первообразной для функции f1 + f2 и что, наоборот, всякая первообразная для функции f1 + f2 является суммой некоторых первообразных для функций f1 и f2.
Пусть F1 и F2 - первообразные соответственно функций f1 и f2, т. е. в каждой точке x принадлежит дельта выполняются равенства F'1(x) = f1(x), F'2(x) = f2(x). Тогда неопределенные интегралы и состоят соответственно из функций вида F1(x) + C1 и F2(x) + C2, где C1 и C2 - произвольные постоянные. Положим F(x) = F1(x) + F2(x), тогда функция F будет первообразной для функции f1 + f2, ибо F'(x) = F'1(x) + F'2(x) = f1(x) + f2(x), x принадлежит дельта.
    Следовательно, интеграл состоит из функций F(x) + C F1(x) + F2(x) + C, в то время как сумма интегралов +- из функций вида F1(x) + C1 + F2(x) + C2. Поскольку C, C2, C3 - произвольные постоянные, то оба эти множества, т. е. левая и правая части равенства (19.8), совпадают. конец
    4o. Если функция f имеет первообразную на промежутке дельта и k - число, то функция kf также имеет на дельта первообразную и при kне равно0 справедливо равенство

 = k.

(19.9)

Это равенство так же, как равенство (19.8), является равенством множеств.
началоПусть F - первообразная функция f, т. е. F'(x) = f(x), x принадлежит дельта.
Тогда функция kF является первообразной функции kf на промежутке дельта при любом k принадлежит R, ибо (kF(x))' = kF'(x) = kf(x), x принадлежит дельта. Поэтому интеграл  состоит из всевозможных функций вида kF + C, а интеграл  k  - из всевозможных функций k(F + C) = kF + kC. В силу произвольности постоянной C и условия kне равно0 обе совокупности функций совпадают. Это и означает справедливость равенства (19.9). конец
    Следствие (линейность интеграла). Если функции f1 и f2  имеют первообразные на промежутке дельта, а
lamda1принадлежит R  и lamda2принадлежит R  - такие числа, что , то функция lamda1 f1 + lamda2 f2   также имеет первообразную на дельта, причем

= lamda1+ lamda2.

    Это непосредственно следует из свойств 3o и 4o. Вопрос о существовании первообразной будет изучаться несколько позже (п. 25.2), а теперь рассмотрим простейшие методы вычисления интегралов для элементарных функций.


Первообразная и неопределенный интеграл  Оглавление  Табличные интегралы