19.2. Основные свойства интеграла

    Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке .
    Перечислим свойства неопределенного интеграла, вытекающие непосредственно из его определения.
    1^o. Если функция F дифференцируема на промежутке , то = F(x) + C, или, что то же самое,

= F(x) + C.

    Это сразу следует из определения неопределенного интеграла как совокупности всех дифференцируемых функций, дифференциал которых стоит под знаком интеграла.
    2^o. Пусть функция f имеет первообразную на промежутке ; тогда для всех x имеет место равенство

Отметим, что в этом равенстве под интегралом понимается произвольная первообразная F функции f. Поэтому (19.7) можно записать в виде равенства dF(x) = f(x)dx, справедливость которого следует из того, что F - первообразная f (т. е. из (19.1)).
    3^o. Если функции f₁ и f₂ имеют первообразные на промежутке , то и функция f₁ + f₂ имеет первообразную на этом промежутке, причем

    Это равенство выражает собой совпадение двух множеств функций. В правой его части стоит арифметическая сумма множеств (ее определение см. в п. 4.3). Оно означает, что сумма каких-либо первообразных для функций f₁ и f₂ является первообразной для функции f₁ + f₂ и что, наоборот, всякая первообразная для функции f₁ + f₂ является суммой некоторых первообразных для функций f₁ и f₂.
Пусть F₁ и F₂ - первообразные соответственно функций f₁ и f₂, т. е. в каждой точке x выполняются равенства F'₁(x) = f₁(x), F'₂(x) = f₂(x). Тогда неопределенные интегралы и состоят соответственно из функций вида F₁(x) + C₁ и F₂(x) + C₂, где C₁ и C₂ - произвольные постоянные. Положим F(x) = F₁(x) + F₂(x), тогда функция F будет первообразной для функции f₁ + f₂, ибо F'(x) = F'₁(x) + F'₂(x) = f₁(x) + f₂(x), x .
    Следовательно, интеграл состоит из функций F(x) + C = F₁(x) + F₂(x) + C, в то время как сумма интегралов +- из функций вида F₁(x) + C₁ + F₂(x) + C₂. Поскольку C, C₂, C₃ - произвольные постоянные, то оба эти множества, т. е. левая и правая части равенства (19.8), совпадают. 
    4^o. Если функция f имеет первообразную на промежутке и k - число, то функция kf также имеет на первообразную и при k0 справедливо равенство

Это равенство так же, как равенство (19.8), является равенством множеств.
Пусть F - первообразная функция f, т. е. F'(x) = f(x), x .
Тогда функция kF является первообразной функции kf на промежутке при любом k  R, ибо (kF(x))' = kF'(x) = kf(x), x . Поэтому интеграл  состоит из всевозможных функций вида kF + C, а интеграл  k  - из всевозможных функций k(F + C) = kF + kC. В силу произвольности постоянной C и условия k0 обе совокупности функций совпадают. Это и означает справедливость равенства (19.9). 
    Следствие (линейность интеграла). Если функции f₁ и f₂  имеют первообразные на промежутке , а
₁ R  и ₂ R  - такие числа, что , то функция ₁ f₁ + ₂ f₂   также имеет первообразную на , причем

= ₁+ ₂.

    Это непосредственно следует из свойств 3^o и 4^o. Вопрос о существовании первообразной будет изучаться несколько позже (п. 25.2), а теперь рассмотрим простейшие методы вычисления интегралов для элементарных функций.

Первообразная и неопределенный интеграл  Оглавление  Табличные интегралы