Познакомимся в заключение этого
параграфа с двумя свойствами неопределенного
интеграла, весьма полезными, в частности, для
вычисления интегралов. Пусть функции f(x)
и (t) заданы
соответственно на промежутках
x и
t,
причем функция f отображает промежуток
t на промежуток
x, т. е.
|
(19.12) |
и, следовательно, имеет смысл сложная функция f((t)), t
t.
Пусть, кроме того, функция (t) дифференцируема
на промежутке
t
и ее производная не меняет знака
на t, т. е. для
всех t
t имеет место либо
неравенство
'(t)
> 0, либо
'(t)
< 0, а следовательно (см. п. 15.1),
функция
(t) строго
монотонна на промежутке
t. Тогда (см. п. 7.3) у функции
(t) существует обратная однозначная
функция
-1(x),
определенная на промежутке
x. В формулируемой ниже теореме
будем предполагать, что все перечисленные
условия выполняются.
Теорема 1. Существование на
промежутке x
интеграла
(19.13) |
и существование на промежутке t интеграла
(19.14) |
равносильны, и имеет место формула
|
(19.15) |
Эта формула называется формулой замены
переменной в неопределенном интеграле:
переменная x заменяется переменной
t по формуле x = (t). Если в формуле (19.15) в обеих
частях равенства перейти к переменной t по
формуле x =
(t),
то, меняя местами левую и правую части равенства,
получим
|
(19.16) |
Иначе говоря, сделав сначала
подстановку (t) = x,
а затем взяв интеграл или сначала взяв интеграл,
а потом сделав указанную подстановку, получим
один и тот же результат.
Формула (19.16) обычно называется формулой
интегрирования подстановкой. Эту формулу
можно записать также в виде
=
.
Ее применение к вычислению интегралов состоит
в том, что вместо интеграла вычисляется интеграл
, а затем полагается x =
(t). Формула замены
переменной (19.15) и соответственно, формула
интегрирования подстановкой (19.16) применяются
тогда, когда интегралы, стоящие в их правых
частях, в каком-то смысле проще интегралов,
стоящих в их левых частях. Ниже, после
доказательства теоремы, это будет пояснено на
примерах.
Докажем сначала, что
существование интегралов (19.13) и (19.14) равносильно,
т. е. что равносильно существование
первообразных у функции f(x) на
промежутке
x и
функции
на промежутке
t.
Пусть у функции f(x) на
промежутке x
существует первообразная F(x), т. е.
dF(x)/dx = f(x),
x |
(19.17) |
В силу условия (19.12) имеет смысл сложная функция F((t)). Покажем, что она
является на промежутке
t первообразной функции f(
(t))d
(t)/dt.
Действительно, по правилу дифференцирования
сложных функций имеем
(19.18) |
Наоборот, пусть теперь функция f((t))d
(t)/dt имеет
первообразную. Обозначим ее Ф(t):
(19.19) |
В силу условий, которым удовлетворяет функция , обратная к ней функция
-1 дифференцируема
во всех точках промежутка
x, и имеет место формула (см. п. 10.6)
|
(19.20) |
Покажем, что функция Ф(-1(x)) является на промежутке
x первообразной для
функции f(x). В самом деле,
Итак, интегралы (19.13) и (19.14) одновременно существуют или нет. При этом
![]() ![]() |
(19.21) |
![]() ![]() ![]() |
(19.22) |
а так как
F( |
(19.23) |
то
F(x) + С
F(
(t))
+ С =
.
Примеры.
1o. Вычислим с помощью формулы
замены переменной (19.13) интеграл
, -1 <
x < 1.
Сделав замену переменной x = sin t,
-/2 < x <
/2, получим
Аналогично вычисляется и интеграл , только здесь
целесообразно положить x = sh t:
В полученном выражении надо вернуться к переменной x. Имеем sh t = x, ch t = (1 + sh2t)1/2 = (1 + x2)1/2. Переменную же t найдем из уравнения x = sh t, т. е. из уравнения x = (et - e-t)/2. Из него следует, что y = et удовлетворяет квадратному уравнению y2 - 2xy - 1 = 0 и, следовательно, et = x + (1 + x)1/2 (другой корень указанного квадратного уравнения отрицателен, а et принимает только положительные значения), откуда t = ln (x + (1 + x)1/2). В результате окончательно получим
2o. Вычисление интегралов с
помощью формулы подстановки (19.16) целесообразно,
например, применять к интегралам вида . Применив в них
подстановку
(x) = u,
получим
К такому типу интегралов относится интеграл
Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать некоторые преобразования подынтегральной функции:
Табличные интегралы Оглавление Формула интегрирования по частям