19.4. Формула замены переменной

    Познакомимся в заключение этого параграфа с двумя свойствами неопределенного интеграла, весьма полезными, в частности, для вычисления интегралов. Пусть функции f(x) и fi(t) заданы соответственно на промежутках дельтаx и дельтаt, причем функция f отображает промежуток дельтаt на промежуток дельтаx, т. е.

fi(дельтаt) = дельтаx,

(19.12)

и, следовательно, имеет смысл сложная функция f(fi(t)), t принадлежит дельтаt.
    Пусть, кроме того, функция fi(t) дифференцируема на промежутке дельтаt и ее производная не меняет знака
на дельтаt, т. е. для всех t принадлежит дельтаt имеет место либо неравенство fi'(t) > 0, либо fi'(t) < 0, а следовательно (см. п. 15.1), функция fi(t) строго монотонна на промежутке дельтаt. Тогда (см. п. 7.3) у функции fi(t) существует обратная однозначная функция fi-1(x), определенная на промежутке дельтаx. В формулируемой ниже теореме будем предполагать, что все перечисленные условия выполняются.
    Теорема 1. Существование на промежутке дельтаx интеграла

(19.13)

и существование на промежутке дельтаt интеграла

(19.14)

равносильны, и имеет место формула

= .

(19.15)

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле: переменная x заменяется переменной t по формуле x = fi(t). Если в формуле (19.15) в обеих частях равенства перейти к переменной t по формуле x = fi(t), то, меняя местами левую и правую части равенства, получим

=.

(19.16)

    Иначе говоря, сделав сначала подстановку fi(t) = x, а затем взяв интеграл или сначала взяв интеграл, а потом сделав указанную подстановку, получим один и тот же результат.
    Формула (19.16) обычно называется формулой интегрирования подстановкой. Эту формулу можно записать также в виде

= .

Ее применение к вычислению интегралов состоит в том, что вместо интеграла вычисляется интеграл , а затем полагается x = fi(t). Формула замены переменной (19.15) и соответственно, формула интегрирования подстановкой (19.16) применяются тогда, когда интегралы, стоящие в их правых частях, в каком-то смысле проще интегралов, стоящих в их левых частях. Ниже, после доказательства теоремы, это будет пояснено на примерах.
началоДокажем сначала, что существование интегралов (19.13) и (19.14) равносильно, т. е. что равносильно существование первообразных у функции f(x) на промежутке дельтаx и функции на промежутке дельтаt.
    Пусть у функции f(x) на промежутке дельтаx существует первообразная F(x), т. е.

dF(x)/dx = f(x),    x принадлежит дельтаx.

(19.17)

В силу условия (19.12) имеет смысл сложная функция F(fi(t)). Покажем, что она является на промежутке дельтаt первообразной функции f(fi(t))dfi(t)/dt. Действительно, по правилу дифференцирования сложных функций имеем

(19.18)

    Наоборот, пусть теперь функция f(fi(t))dfi(t)/dt  имеет первообразную. Обозначим ее Ф(t):

(19.19)

В силу условий, которым удовлетворяет функция fi, обратная к ней функция fi-1 дифференцируема во всех точках промежутка дельтаx, и имеет место формула (см. п. 10.6)

   x принадлежит дельтаx.

(19.20)

Покажем, что функция Ф(fi-1(x)) является на промежутке дельтаx первообразной для функции f(x). В самом деле,

Итак, интегралы (19.13) и (19.14) одновременно существуют или нет. При этом

F(x) + С,

(19.21)

F(fi(t)) + С

(19.22)

а так как

F(fi(t))= F(x),

(19.23)

то

F(x) + СF(fi(t)) + С = . конец

    Примеры.
    1o. Вычислим с помощью формулы замены переменной (19.13) интеграл

,    -1 < x < 1.

Сделав замену переменной x = sin t, -pi/2 < x < pi/2, получим

Аналогично вычисляется и интеграл , только здесь целесообразно положить x = sh t:

    В полученном выражении надо вернуться к переменной x. Имеем sh t = x, ch t = (1 + sh2t)1/2 = (1 + x2)1/2. Переменную же t найдем из уравнения x = sh t, т. е. из уравнения x = (et - e-t)/2. Из него следует, что y = et удовлетворяет квадратному уравнению y2 - 2xy - 1 = 0 и, следовательно, et = x + (1 + x)1/2 (другой корень указанного квадратного уравнения отрицателен, а et принимает только положительные значения), откуда t = ln (x + (1 + x)1/2). В результате окончательно получим

    2o. Вычисление интегралов с помощью формулы подстановки (19.16) целесообразно, например, применять к интегралам вида . Применив в них подстановку fi(x) = u, получим

К такому типу интегралов относится интеграл

    Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать некоторые преобразования подынтегральной функции:


Табличные интегралы  Оглавление   Формула интегрирования по частям