28.5. Объем тел вращения

    Пусть функция f неотрицательна и непрерывна на отрезке [a,b], a Q - множество, полученное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции P, порожденной графиком функции y = f(x) (см. (28.1) и рис. 108). Такого типа множества называются  телами вращения. Покажем, что для объема V этого тела имеет место формула

    Обозначим через и тела, образованные вращением вокруг оси x ступенчатых фигур и (см. (28.6)), соответствующих некоторому разбиению отрезка [a,b]. Из включения P следует включение Q , a следовательно, и неравенство

Объемы и равны суммам объемов составляющих их цилиндров, образованных вращением прямоугольников и (см. (28.4) и (28.5)):

= ,    =

(рис. 116). Из этих равенств видно, что и являются соответственно нижними и верхними суммами Дарбу функции f ²(x), поэтому

= =  f ²(x)dx,

откуда в силу (28.35) и следует, что

Пример. Найдем объем тела, получающегося от вращения вокруг оси x одной арки синусоиды y = sin x:

V = sin² x dx = dx - cos 2x dx = .

Площадь поверхности вращения   Оглавление   Теоремы Гульдина. Центры тяжести плоских фигур и их моменты относительно осей