28.6*. Теоремы Гульдина. Центры тяжести плоских фигур и их моменты относительно осей

    Пусть Г - график неотрицательной непрерывно дифференцируемой на отрезке [a,b] функции f, - разбиение этого отрезка, а  - ломаная, соответствующая этому разбиению и вписанная в кривую Г. Будем кривую Г и ломаные рассматривать как материальные кривые, т. е. как имеющие массу. Будем предполагать, что их линейные плотности равны единице. Это означает, что массы их частей совпадают с длинами этих частей. Как и выше (см. п. 28.4), положим

y_k = f(x_k),   x_k = x_k - x_k-1, y_k = y_k - y_k-1,
()_k = x_k,
_k [x_k-1,x_k],     k = 1, 2, ..., .

Рассмотрим физический смысл суммы

являющейся, очевидно, интегральной суммой функции y, y = f(x), и потому имеющей своим пределом при ||0 интеграл

Каждое слагаемое f(_k)()_k суммы (28.37) является произведением массы ()_k k-го звена ломаной на некоторое среднее расстояние f(_k) этого звена от оси x, т. е. f(_k)()_k является приближенным значением момента k-го звена ломаной относительно оси x, а вся сумма (28.37) представляет собой приближенное значение момента этой ломаной относительно той же оси. Предел этих приближенных значений моментов ломаных при ||0 равен моменту  M_x кривой Г относительно оси x. Поскольку сумма (28.37) при
||0 стремится к интегралу (28.38), то

Этот момент равен моменту относительно оси x материальной точки, масса которой равна массе кривой Г (в данном случае совпадающей с ее длиной S), помещенной в центр тяжести (x₀, y₀) этой кривой. Момент относительно оси x материальной точки массы S, находящейся в точке (x₀, y₀), равен Sy₀. В силу сказанного он совпадает с моментом M_x, т. е.

Используя формулу (28.39), это равенство можно записать в виде Sy₀  = y ds. Умножив обе его части на 2 и вспомнив, что 2y ds является площадью L поверхности вращения (см. п. 28.4), получим, что

    Мы доказали эту формулу в предположении, что кривая Г является графиком функции f (имеет явное представление). Можно показать, что формула (28.40), а следовательно, и формула (28.41), остается справедливой и для любой непрерывно дифференцируемой кривой, замкнутой или незамкнутой, не пересекающей ось x. Таким образом, верна следующая

    Теорема 1 (первая теорема Гульдина). Площадь поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси, равна длине кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести кривой.
    В этой теореме предполагается, что кривая, которая вращается около оси, непрерывно дифференцируема, лежит в одной плоскости с указанной осью и по одну сторону от нее.
Эта теорема позволяет иногда находить площади поверхностей вращения без вычисления интегралов. Например, найдем площадь поверхности тора, т. е. поверхности, образованной вращением вокруг оси окружности радиуса r, центр которой находится на расстоянии a от оси и окружность лежат в одной плоскости и не пересекаются, т. е. a > r (рис. 117).
    Поскольку длина вращаемой окружности равна 2r, а ее центр является и ее центром тяжести, то согласно формуле (28.41)

L = 2a2r = 2²ar.

Отметим, что аналогично формуле (28.40) для другой координаты x₀ центра тяжести кривой Г имеет место формула

     Из соотношений (28.40) и (28.42) следуют формулы для координат x₀, y₀ центра тяжести кривой Г, именно,

где момент кривой Г относительно оси y может быть вычислен по формуле, аналогичной формуле (28.39) для момента :

M_y = x ds.

    Если кривая Г не удовлетворяет условиям, при которых получена формула (28.39), то можно попытаться разбить кривую Г на конечное число кривых, каждая из которых уже удовлетворяет указанным условиям, и воспользоваться тем, что момент относительно оси объединения тел равен сумме их моментов.
    Перейдем ко второй теореме Гульдина.
    Пусть функции f и g непрерывны на отрезке [a,b], 0 < g(x) < f(x), x [a,b],

как всегда, - разбиение отрезка [a,b],

x_k = x_k - x_k-1,      _k [x_k-1,x_k],

а  - на этот раз ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников

= {(x, y):  x_k-1 <  x < x_k,  g(_k) < 0 <  f(_k)},

с основаниями и высотами, равными соответственно x_k и f(_k),   k = 1, 2, ..., (рис. 118):

= .

    Будем рассматривать фигуры P и как материальные, т. е как фигуры, имеющие массу с плотностью 1. Это означает, что масса каждой из их частей совпадает с площадью этой части.
    Центр тяжести прямоугольника находится в его центре и, следовательно, на расстоянии

от оси x.
    Момент прямоугольника относительно оси x равен произведению ординаты его центра тяжести (28.45) на его массу, т. е. в данном случае на площадь [ f(_k) + g(_k)]x_k. Таким образом, этот момент равен

[ f²(_k) - g²(_k)]x_k.

    Для момента же ступенчатой фигуры , равного сумме моментов составляющих его прямоугольников , имеем формулу

Момент M_x самой фигуры P относительно оси x равен пределу моментов ступенчатых фигур при ||:

Сумма, стоящая в правой части равенства (28.46), представляет собой интегральную сумму функции
[ f²(x) - g²(x)], поэтому имеем также

    Таким образом, из (28.47) и (28.48) следует, что момент M_x фигуры P относительно оси x равен интегралу, стоящему в правой части формулы (28.48):

    Момент фигуры относительно оси равен моменту материальной точки, масса которой равна массе фигуры и которая помещена в центр тяжести фигуры.
    Поэтому если (x₀, y₀) - центр тяжести фигуры P, то, так как ее масса в данном случае совпадает с ее площадью S, получим

или, в силу (28.49),

Sy₀ = [ f²(x) - g²(x)]dx.

Умножим обе части последнего равенства на 2:

S2y₀ =  f²(x) dx - g²(x) dx.

В правой части этого равенства стоит разность объемов тел, полученных вращением вокруг оси x криволинейных трапеций, порожденных графиками соответственно функций f и g (п. 28.5), т. е. объем V тела, получающегося вращением фигуры P вокруг оси x:

    Таким образом, доказана следующая
    Теорема 2 (вторая теорема Гульдина). Объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, описываемой центром тяжести фигуры.
    Здесь под плоской фигурой понимается множество P рассмотренного выше типа (см. (28.44)), а под ее вращением - вращение этой фигуры вокруг оси, лежащей с фигурой в одной плоскости и не пересекающей ее.      Пример. Найдем объем V тора, рассмотренного в качестве примера применения первой теоремы Гульдина. Поскольку площадь вращаемой фигуры (в данном случае круга) равна , то в силу формулы (28.51)

V = r²2a = 2²r²a.

Отметим в заключение, что для координаты x₀ центра тяжести фигуры P имеет место формула (аналогичная формуле (28.50))

где момент M_y фигуры P находится по формуле, аналогичной формуле (28.49).
    Из формул (28.50) и (28.52) получаются следующие формулы для координат центра тяжести (x₀, y₀) фигуры P:

x₀ = M_y/S,   y₀ = M_x/S.

Объем тел вращения    Оглавление    Определение несобственных интегралов