29.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов

    В силу свойства предела функций и определения значения несобственного интеграла как предела функции, являющейся интегралом Римана с переменным пределом интегрирования, на собственные интегралы предельным переходом переносятся многие свойства определенного интеграла. В дальнейшем в этом параграфе для простоты в вопросах теории будем рассматривать случай несобственного интеграла от функций, определенных на полуинтервале [a,b) и интегрируемых по Риману на любом отрезке [a,),
- < a < < b < + (определение (29.1)), если, конечно, специально не оговорено что-либо другое.
     Аналогичные определения и теоремы для интегралов (29.4) и (29.5) читатель без труда сформулирует самостоятельно.
    Для общего несобственного интеграла (29.6) утверждения, аналогичные тем, которые будут сформулированы ниже для интеграла вида (29.1), также справедливы и в случае необходимости могут быть сформулированы читателем.
    1^o. Формула Ньютона-Лейбница. Если функция f непрерывна на промежутке [a,b) и Ф - какая-либо ее первообразная, то

    В этом равенстве либо обе части одновременно имеют смысл, и тогда они равны, либо они одновременно не имеют смысла, т. е. стоящие в них пределы не существуют.
    Справедливость формулы (29.7) следует из того, что для любого , согласно формуле Ньютона-Лейбница для интеграла Римана (теорема 3 из п. 25.2), имеет место равенство

Из него следует, что предел f(x)dx существует тогда и только тогда, когда существует предел Ф(), причем, если эти пределы существуют, то, перейдя в равенстве (29.8) к пределу при b, получим формулу (29.7). 

    2^o. Линейность интеграла. Если несобственные интегралы f(x)dx и g(x)dx сходятся, то для любых чисел и несобственный интеграл [f(x) + g(x)]dx также сходится и

    Действительно, на основании соответствующих свойств предела и линейности интеграла Римана имеем

[f(x) + g(x)]dx[f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx =
= f(x)dx + g(x)dx f(x)dx + g(x)dx.       

    3^o. Интегрирование неравенств. Если интегралы f(x)dx и g(x)dx сходятся и для всех x [a,b) выполняется неравенство f(x) < g(x), то

    В силу соответствующего свойства интеграла Римана (см. следствие свойства 7^o в п. 24.1) для любого выполняется неравенство

f(x)dx < g(x)dx.

Перейдя в нем к пределу при b, получим неравенство (29.10). 
    Аналогичным образом, исходя из соответствующих свойств интеграла Римана, с помощью предельного перехода доказываются и следующие два свойства несобственных интегралов (проведение доказательств которых предоставляется читателю).

    4^o. Правило замены переменной. Если функция f(x) непрерывна на полуинтервале _x = [a,b), функция
(t) непрерывно дифференцируема на полуинтервале _t = [,), - < a < < + , и выполняются условия

(_t) _x,    a = (),   a = (t),

то

f(x)dx = f((t))'(t)dt,

причем из существования интеграла, стоящего слева в этом равенстве, следует существование интеграла, стоящего справа.
    Если функция такова, что обратная функция ^-1 однозначна и удовлетворяет условиям, аналогичным условиям, наложенным на функцию , и, следовательно, в интеграле, стоящем в правой части равенства (29.11), можно сделать замену переменной t = ^-1(x), то оба интеграла в этом равенстве сходятся или расходятся одновременно.
    С помощью замены переменной из условий сходимости интегралов, рассмотренных в примерах 1 и 2 п. 29.1, следует, что интегралы и , - < a < b < + , сходятся при < 1 и расходятся при > 1. В самом деле, первый интеграл с помощью замены переменной t = x - a, а второй с помощью t = b - x приводятся к интегралу .
    5^o. Правило интегрирования по частям. Если функции u и v непрерывны на промежутке [a,b), а их производные кусочно непрерывны на любом отрезке [a,), a < < b, то

При этом из существования любых двух из следующих трех пределов:

udv = udv,     vdu = vdu,
uv  = u()v() - u(a)v(a)

следует существование оставшегося.
    Замечание. Отметим, что не все свойства интеграла Римана переносятся на несобственные интегралы. Например, интеграл от произведения двух функций может расходится в случае, когда интеграл от каждого из сомножителей сходится: если f(x) = x^-1/2 , то интеграл f(x)dx = x^-1/2dx сходится, а интеграл
f²(x)dx = x^-1dx расходится.

    Примеры.
    1. Посредством замены переменной x = 1/t вычислим интеграл

2. Вычислим интеграл , n = 0, 1, 2, ... Проинтегрировав по частям при n > 0, будем иметь

Поскольку , то, применив последовательно рекуррентную формулу (29.13), получим
I_n = nI_n-1 = n(n - 1)I_n-1 = n!I₀ = n!.

Определение несобственных интегралов  Оглавление  Несобственные интегралы от неотрицательных функций