Теорема 2 (критерий Коши
сходимости интеграла). Несобственный интеграл f(x)dx
сходится тогда и только тогда, когда для
любого
> 0
существует такое
, что для
всех
' и
", удовлетворяющих условию
|
(29.23) |
выполняется неравенство
|
(29.24) |
(рис.120 и рис.121).
![]() Рис. 120 |
![]() Рис. 121 |
Если
положить
|
(29.25) |
то сходимость интеграла f(x)dx
будет означать существование конечного предела
функции
(
) при
b. Согласно критерию Коши
существования предела функции (п. 6.12) для существования указанного
предела необходимо и достаточно, чтобы для
любого
> 0
нашлось такое
, что если
<
' <
b,
<
"< b, то
| |
(29.26) |
Так как
(
')
-
(
")
f(x)dx
-
f(x)dx =
f(x)dx,
то неравенство (29.24) совпадает с
неравенством (29.26).
Несобственные интегралы от неотрицательных функций Оглавление Абсолютно сходящиеся интегралы