29.5. Абсолютно сходящиеся интегралы

    Как и выше, будем предполагать, что функция f задана на полуинтервале [a,b), - < a < b < +, и интегрируема по Риману на любом отрезке [a,), a < < b.
    Определение 2. Несобственный интеграл f(x)dx называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл | f(x)|dx.  
    Теорема 3 (критерий Коши абсолютной сходимости интеграла). Для того чтобы интеграл f(x)dx абсолютно сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовало такое , a < < b, что если < ' < b, < " < b, то

    Применив критерий Коши сходимости несобственного интеграла (теорема 2) к интегралу | f(x)|dx, получим утверждение теоремы 3. 

    Теорема 4. Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он и просто сходится.
    Если интеграл f(x)dx абсолютно сходится, то согласно необходимости выполнения условий критерия Коши абсолютной сходимости интеграла для любого > 0 cуществует такое , a < < b, что если

то

Но

поэтому,если выполнено условие (29.28), то

В силу достаточности выполнения условий критерия Коши для сходимости интеграла из (29.28) и (29.31) следует сходимость интеграла

f(x)dx.     

    Если интеграл от абсолютной величины функции сходится, то она называется абсолютно интегрируемой (в несобственном смысле) на соответствующем промежутке.
    Теорема 4 показывает, что если функция абсолютно интегрируема, то она и просто интегрируема в несобственном смысле. Обратное утверждение неверно. Действительно, рассмотрим интеграл

Прежде всего, если доопределить подынтегральную функцию при x = 0 единицей, то, поскольку
= 1, получившаяся функция будет непрерывной, а следовательно, интегрируемой по Риману на любом отрезке [0,], > 0. Поэтому определение (29.1) несобственного интеграла (29.32) имеет смысл. Кроме того, интеграл (29.32) сходится или расходится одновременно с интегралом

    Для выяснения сходимости этого интеграла проинтегрируем его по частям: если в результате получатся выражения, имеющие смысл и принимающие конечные значения, то это будет являться обоснованием возможности интегрирования по частям и будет означать сходимость интеграла (29.33). Имеем

Получившийся интеграл

абсолютно сходится, ибо < 1/x² , а интеграл сходится. Следовательно, интегралы (29.35), а потому и (29.33) сходятся.
    Покажем теперь, что интеграл (29.33) не сходится абсолютно, т. е. что интеграл dx расходится. Из неравенства

следует, что для любого > 0 выполняется неравенство

Интеграл x^-1/2dx расходится, т. е.

а интеграл dx сходится. Действительно, аналогично случаю интеграла (29.33) имеем

и поскольку < 1/x² , то интеграл dx абсолютно, а следовательно, и просто сходится. Поэтому из равенства (29.39) следует, что интеграл dx сходится, т. е. существует конечный предел

Из неравенства (29.37) и выполнения условий (29.38) и (29.40) получаем

dx = = +,

т. е. действительно интеграл (29.33) не сходится абсолютно.
    Замечание. Отметим одно простое свойство абсолютно сходящихся интегралов. Если интеграл f(x)dx абсолютно сходится, а функция g(x) интегрируема по Риману на любом отрезке [a,] [a,b) и ограничена на полуинтервале [a,b), то интеграл f(x)g(x)dx также абсолютно сходится.
    В самом деле, произведение интегрируемых по Риману функций также интегрируемо по Риману (свойство 5 в п. 24.1), поэтому функция f(x)g(x) интегрируема на любом отрезке [a,] [a,b), и, следовательно, можно говорить о несобственном интеграле f(x)g(x)dx.
    Из ограниченности функции g(x) следует, что существует такая постоянная c, что для всех x [a,b) выполняется неравенство |g(x)| < c, а поэтому и неравенство | f(x)g(x)| < c| f(x)|, из которого
явствует, что сходимость интеграла | f(x)g(x)|dx вытекает, согласно признаку сравнения для сходимости интегралов от неотрицательных функций, из сходимости интеграла . Определение абсолютно сходящегося интеграла естественным образом обобщается на несобственный интеграл общего вида, определяемый с помощью правильных разбиений промежутка интегрирования (см. п. 29.1), и для него остаются верными аналоги теорем, доказанных выше в этом пункте для абсолютно сходящихся интегралов специального вида (определение 1, п. 29.1).

Критерий Коши  Оглавление  Признаки сходимости Дирихле