31.3*. Специальные признаки равномерной сходимости рядов

    Для рядов функций справедливы признаки равномерной сходимости, аналогичные признакам Дирихле и Абеля сходимости числовых рядов.
    Теорема 5 (признак Дирихле-Харди). Если последовательность функций a_n(x) R, n = 1, 2, ..., равномерно стремится на множестве X к нулю, т. е.

и в каждой точке x X  монотонна, а последовательность функций b_n(x), n = 1, 2, ..., x X, такова, что последовательность частичных сумм ряда

ограничена на X, то ряд

равномерно сходится на множестве X.
    Согласно условию последовательность частичных сумм

B_n(x) = b₁(x) + ... + b_n(x),   n = 1, 2, ...,

ряда (31.23) ограничена на множестве X, поэтому существует такая постоянная B > 0, что для всех x X и всех n = 1, 2, ... выполняется неравенство

|B_n(x)| < B.

Отсюда для всех x X, всех n = 2, 3, ... и всех p = 0, 1, 2, ... имеем

    Зафиксируем произвольно > 0. Из условия (31.22) следует, что существует такой номер n₀, что для всех
x X и всех номеров n > n₀ выполняется неравенство

Поэтому для любого x X, любого n > n₀ и любого p = 0, 1, 2, ..., согласно неравенству Абеля (30.75), будем иметь

a_k(x)b_k(x) 2B(|a_n(x)| + 2|a_n+p(x)|) + 2 = .

Таким образом, ряд (31.24) удовлетворяет на множестве X критерию Коши равномерной сходимости ряда. 
    Теорема 6 (признак Абеля-Харди). Если последовательность функций a_n(x), n = 1, 2, ..., ограничена на множестве X и монотонна в каждой точке x X, а ряд (31.23) равномерно сходится на X, то и ряд (31.24) также равномерно сходится на множестве X.
    В силу ограниченности на множестве X последовательности {a_n(x)} существует такая постоянная A > 0, что для всех x X и всех n = 1, 2, ... выполняется неравенство

    В силу же равномерной сходимости ряда (31.23) для произвольно фиксированного > 0 существует такой номер n₀, что для всех x X, всех n > n₀ и всех p = 0, 1, 2, ... имеет место неравенство

b_k(x)  < .

    В результате, согласно неравенству Абеля (30.75), для всех x X, всех n > n₀ и всех p = 0, 1, 2, ... будет выполняться неравенство

a_k(x)b_k(x) (|a_n(x)| + 2|a_n+p(x)|) (A + 2A) = ,

т. е. снова ряд (31.24) удовлетворяет на множестве X критерию Коши равномерной сходимости ряда. 
    Пример. В п. 30.8* было показано, что ряд

сходится на всей числовой оси R. Там же было показано, что

Поэтому если положить a_n = 1/n, b_n(x) = sin nx, n = 1, 2, ..., то последовательность {a_n} будет монотонной и, как всякая сходящаяся числовая последовательность, может рассматриваться как равномерно сходящаяся, например, на R. Последовательность {b_n(x)} ограниченна на любом отрезке [a,b], не содержащем точек вида x = 2m, m = 0, +1,  +2, ... , так как для любой точки x такого отрезка

b_k(x) = sin kx 1/|sin x/2| < 1/|sin x/2| < +,

и, следовательно, последовательность b_k(x) , n = 1, 2, ..., ограниченна сверху на отрезке [a,b] числом
1/|sin x/2| . Таким образом, на всяком отрезке [a,b], не содержащем точек вида x = 2m, m = 0, +1,  +2, ..., ряд (31.29) удовлетворяет условиям признака Дирихле-Харди и потому равномерно сходится.
    Можно показать, что если отрезок [a,b] содержит точку вида x = 2m при некотором m = 0, +1,  +2, ... , то ряд (31.29) не сходится равномерно на этом отрезке.

Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов  Оглавление Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов