Определение 1.
Функциональная последовательность (31.1)
называется равномерно сходящейся к функции f
на множестве X, если для любого > 0 существует такой
номер n0, что для всех точек x
X и всех
номеров n > n0
выполняется неравенство
| fn(x) - f(x)|
< |
(31.7) |
Очевидно, что если
последовательность (31.1) равномерно сходится на
множестве X к функции f, то эта
последовательность сходится к функции f на
рассматриваемом множестве (определение
сходимости последовательности функций на
множестве см. в п. 31.1).
Если последовательность { fn}
сходится на множестве X к функции f, то
пишут
fn
f,
а если эта последовательность сходится равномерно к f на указанном множестве, то пишут
fn
f.
В символической записи определения сходящейся и равномерно сходящейся на множестве последовательности выглядят соответственно следующим образом:
fn
f
> 0
x
X
n0
n > n0:
| fn(x) - f(x)| <
.
fn f
> 0
n0
x
X
n > n0:
| fn(x) - f(x)| <
.
|
Таким образом, если
последовательность { fn} только
сходится к функции f на множестве X, то
для каждой точки x X существует, вообще говоря,
свой номер n0 = n0(
,x), для которого при
n > n0 выполняется
неравенство
| fn(x) - f(x)| <
,
и может оказаться, что для всех точек x X невозможно
подобрать общий номер n0, обладающий
указанным свойством.
Равномерная же сходимость
последовательности { fn} к
функции f означает, что, какое бы число > 0 ни задать, можно
подобрать такой номер n0, что в любой
точке значение функции будет отличаться от
значения функции меньше, чем на (рис. 124).
Лемма 1. Для того чтобы
последовательность { fn} равномерно
сходилась на X к функции f, необходимо
и достаточно, чтобы
|
(31.8) |
Значение этой леммы состоит в том, что она сводит понятие равномерной сходимости поледовательности { fn} функций к понятию сходимости числовой последовательности
{| fn(x)
- f(x)|}
("числовой" в широком смысле этого слова:
конечное число членов указанной
последовательности может обратиться в +). В силу этого
обстоятельства условие (31.8) часто бывает
удобно использовать для выяснения, сходится ли
равномерно интересующая нас конкретная
последовательность функций.
1. Пусть
fn
f.
Зададим произвольно > 0. Тогда существует такой номер n0,
что для всех n > n0 и
всех x
X
выполняется неравенство | fn(x) - f(x)|
<
, а следовательно,
для всех n > n0 -
неравенство
| fn(x)
- f(x)| <
.
Это и означает выполнение условия (31.8).
2. Пусть выполнено условие (31.8). Зададим
произвольно > 0.
Тогда в силу определения предела числовой
последовательности существует такой номер n0,
что для всех n > n0
выполняется неравенство
| fn(x)
- f(x)| <
,
а следовательно, для всех n > n0
и всех x X -
неравенство
| fn(x) - f(x)| <
.
Это означает, что
fn
f.
Следствие. Если
существует стремящаяся к нулю
последовательность {n}:
n = 0.
такая, что для всех x X выполняется неравенство
| fn(x) - f(x)|
< |
(31.9) |
то последовательность { fn(x)}
равномерно сходится к функции f(x) на
множестве X.
Действительно, поскольку неравенство (31.9)
выполняется для всех x
X, то
| fn(x)
- f(x)| <
n,
а поэтому из условия n = 0 получаем, что
| fn(x) - f(x)|
= 0.
Замечание 1. Очевидно, что из
определения равномерной сходимости
последовательности функций следует, что если
какие-то последовательности равномерно сходятся
на некотором множестве, то и любая их конечная
линейная комбинация равномерно сходится на этом
множестве.
Примеры.
1. Пусть fn(x) = xn,
n = 1, 2, ..., X = [0,q], 0 < q < 1.
Предел fn(x),
x
[0,q],
существует и равен нулю:
f(x)
fn(x)
= 0.
Так как xn =
qn, то
xn =
qn = 0.
Следовательно, согласно лемме 1, последовательность {xn} равномерно сходится к нулю на отрезке [0,q]:
xn
0, 0 < q < 1.
|
2. Рассмотрим теперь последовательность функций fn(x) = xn, n = 1, 2, ..., на полуинтервале [0,1). Здесь снова
f(x)
fn(x)
= 0, x
[0,1),
т. е. последовательность {xn} сходится на полуинтервале [0,1) к функции равной нулю:
xn
0,
однако xn =
1, и потому
xn =
1 =1
0.
Следовательно, согласно той же лемме сходящаяся на полуинервале [0,1) последовательность {xn} не сходится на нем равномерно (рис. 125):
xn
0,
3. Последовательность fn(x) = xn, n = 1, 2, ..., сходится и на отрезке [0,1], но уже к разрывной функции
f(x) =
Поскольку последовательность {xn}
не сходится равномерно на полуинтервале [0,1), то
она не сходится равномерно и на отрезке [0,1]. Это
следует из того, что если неравенство (31.7) не
выполняется на каком-то множестве X (в
данном случае на [0,1)), то оно, очевидно, не
выполняется и на всяком множестве, содержащем в
себе X.
Рассмотренная последовательность
является еще одним примером сходящейся
последовательности непрерывных функций, предел
которой уже не является непрерывной функцией
(первым примером такого рода у нас была
последовательность частичных сумм ряда (31.4)).
Ниже будет показано, что если потребовать, чтобы
последовательность не только сходилась, но и
равномерно сходилась, то подобная ситуация будет
уже невозможной (теоремы 7
и 7').
Теорема 1 (критерий Коши
равномерной сходимости последовательности). Для
того чтобы последовательность fn
равномерно сходилась на множестве X к
некоторой функции, необходимо и достаточно,
чтобы для любого
> 0 существовал такой номер n0, что
для всех x
X,
всех n > n0 и всех
p = 0, 1, ... выполнялось неравенство
| fn+p(x) - fn(x)|
< .
В символической записи это условие выглядит следующим образом:
|
(31.10) |
1. Пусть
fn
f.
Зафиксируем произвольно > 0. Для него в силу (31.7) существует
такой номер n0, что для всех n > n0
и всех x
X
выполняется неравенство
| fn(x) - f(x)| <
/2.
Поэтому для всех точек x X, всех номеров n > n0
и всех p = 0, 1, 2, ... имеем
| fn+p(x) - fn(x)|
= |[ fn+p(x) - f(x)] + [ f(x)
- fn(x)]| <
< | fn+p(x) - f(x)|
+ | fn(x) - f(x)| < /2 +
/2 =
,
т. е. выполняется условие (31.10).
2. Пусть выполняется условие (31.10); тогда
в каждой точке x X последовательность { fn(X)}
удовлетворяет критерию Коши сходимости числовых
последовательностей и, следовательно, сходится.
Обозначим предел последовательности { fn}на
множестве X через f:
f(x) = |
(31.11) |
Перейдя к пределу в последнем неравенстве (31.10)
при p, в силу (31.11) получим, что для
всех номеров n > n0 и
всех точек x
X
выполняется неравенство | f(x) - fn(x)|
<
.
Это и означает равномерную сходимость
последовательности функций { fn} к
функции f на множестве X.
|
(31.12) |
называется равномерно сходящимся на
множестве x, если на x равномерно
сходится последовательность его частичных сумм.
Очевидно, что ряд, равномерно
сходящийся на множестве X, сходится на этом
множестве. Пусть
s(x) = un(x),
sn(x) =
uk(x)
и rn(x) = s(x) - sn(x) =
uk(x) -
остаток ряда. Равномерная сходимость ряда
un(x) согласно
определению означает, что
sn(x) |
(31.13) |
Это условие равносильно условию
s(x) - sn(x) 0.
Поэтому условие (31.13) равномерной сходимости на множестве X ряда равносильно условию
rn(x) |
(31.14) |
Иначе говоря, равномерная сходимость ряда на множестве X означает равномерную сходимость на X к нулю последовательности его остатков. Отсюда в силу леммы получаем, что для того чтобы ряд (31.12) равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы
|
(31.15) |
Замечание 2. Если какие-то
ряды равномерно сходятся на некотором множестве,
то и любая их конечная линейная комбинация
равномерно сходится на этом множестве (см. замечание 1).
Теорема 2 (необходимое
условие равномерной сходимости ряда). Если ряд
(31.12) равномерно сходится на множестве X,
то последовательность его членов равномерно
стремится к нулю на этом множестве.
В самом деле,
un(x) = sn(x) - sn-1(x), n = 2, 3, ... |
(31.16) |
В случае равномерной сходимости на множестве X ряда (31.12) последовательности {sn(x)} и {sn-1(x)} его частичных сумм равномерно стремятся на X к его сумме s(x):
sn(x) s(x), sn-1(x)
s(x),
поэтому
sn(x) - sn-1(x)
0,
а это в силу (31.16) и означает, что
un(x) |
(31.17) |
Отметим, что согласно лемме 1 для того, чтобы было выполнено условие (31.17), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
|
(31.18) |
Теорема 3 (критерий Коши
равномерной сходимости ряда). Для того чтобы
ряд (31.12) равномерно сходился на множестве X,
необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовал такой
номер n0, что для всех n > n0,
всех и всех p = 0, 1, 2, ... выполнялось
неравенство
|un(x) + un+1(x)
+ ... un+p(x)| < .
В силу
равенства
un(x) + un+1(x) + ... un+p(x) = sn+p(x) - sn-1(x),
где sn(x) - частичные суммы
рассматриваемого ряда, критерий Коши
равномерной сходимости рядов сразу следует из
критерия Коши равномерной сходимости
последовательностей.
Замечание 3. В дальнейшем нам
понадобится следующее простое свойство
равномерно сходящихся рядов. Если ряд (31.12) равномерно
сходится на множестве X, а функция f
ограничена на этом множестве, то ряд f(x)un(x)
также равномерно сходится на X.
Действительно, ограниченность функции f
означает, что существует такая постоянная c > 0,
что для всех x
X выполняется неравенство | f(x)| < c.
Поэтому для любых целых n > 1, p >
0 и любой точки x
X имеет место неравенство
| f(x)un(x) + f(x)un+1(x)
+ ... f(x)un+p(x)| = | f(x)||un(x)
+ un+1(x) + ... un+p(x)| <
< c|un(x) + un+1(x) +
... un+p(x)|.
Из этого неравенства следует, что ряд
f(x)n = 1,
2, ... удовлетворяет на множестве X критерию
Коши равномерной сходимости ряда, ибо этому
критерию удовлетворяет исходный ряд (31.12).
Теорема 4 (признак
Вейерштрасса). Если числовой ряд
|
(31.19) |
сходится и для всех X и для всех n = 1, 2, ... выполняется неравенство
|un(x)| < |
(31.20) |
то ряд (31.12) абсолютно и равномерно сходится
на множестве X.
Абсолютная
сходимость ряда (31.12) в каждой точке x
множества X следует, согласно признаку
сравнения (теорема 6 в
п. 30.4), из неравенства (31.20) и сходимости
ряда (31.19).
Докажем равномерную сходимость ряда
(31.12). Пусть rn(x) и n являются
остатками порядка n соответственно рядов
un(x), x
X, и
an(x), т. е. rn(x)
=
uk(x),
n(x) =
ak. Тогда
|rn(x)| = uk(x)
<
|uk(x)|
ak
=
n, x
X.
Из сходимости ряда an следует, что
, тогда в силу следствия
из леммы 1 имеем
rn(x) 0.
Это и означает, что ряд (31.12) равномерно
сходится на множестве X.
Примеры.
4. В п. 31.1 было показано, что
ряд
zn/n!
сходится при любом z C, в
частности, для любого r > 0 сходится
ряд
|
(31.21) |
Поскольку из неравенства |z| < r следует неравенство |zn/n!| < rn/n!, то из признака Вейерштрасса следует, что ряд (31.21) абсолютно и равномерно сходится в круге Kr = {z: |z| < r} любого радиуса r. Однако ряд (31.21) не сходится равномерно на всей комплексной плоскости C. Это следует из того, что последовательность членов ряда (31.21) не стремится равномерно к нулю на C, ибо при любом n = 1, 2, ... имеет место равенство
|zn/n!|
= +
,
и потому условие (31.18) заведомо не выполнено.
Итак, ряд (31.21) равномерно сходится в
круге Kr сколь угодно большого
радиуса r, но не сходится равномерно на
всей плоскости C.
Это означает, что если обозначить через s(z)
и sn(z) соответственно сумму и
частичные суммы ряда (31.21), то для любого > 0 при заданном круге Kr
можно так выбрать номер n0, что для всех
n > n0 и всех z
Kr будет
выполняться неравенство |s(z) - sn(z)| <
. Номер n0
зависит не только от
,
но и от r, т. е. n0 = n0(
,r), причем при
неограниченном возрастании радиуса r номер n0
также неограниченно возрастает:
n0(
,r) = +
(если бы это было не так, то
ряд (31.21) сходился бы равномерно на всей
комплексной плоскости), т. е. невозможно
выбрать такой номер n0, чтобы при всех n > n0
неравенство |s(z) - sn(z)| <
выполнялось для всех
z
C.
5. Ряд zn,
z
C,
сходится в открытом круге K = {z: |z|
< 1} и при любом , 0 < r < 1,
сходится равномерно в замкнутом круге Kr = {z:
|z| < r} . Это следует, например, из
признака сходимости Вейерштрасса, так как при |z|
< r имеем |zn| + |z|n < rn
и ряд
rn
сходится. В круге K заданный ряд не сходится
равномерно, так как
|zn| +
|z|n
= 1 и, следовательно, в круге K не выполняется
необходимое условие равномерной сходимости ряда
(см. теорему 2).
При |z| < 1 члены ряда zn образуют
убывающую геометрическую прогрессию, и поэтому
zn = 1/(1 - z).
Если z = r(cos
n
+ isin n
), то
zn =
rn(cos n
+ isin n
) =
,
0 < r < 1, - <
< +
.
Приравняв действительную и мнимую части этого равенства, получим
rncos n
=
,
rnsin n
=
.
При фиксированном r, 0 < r < 1,
эти ряды как функции переменной абсолютно и равномерно сходятся на
множестве R всех
действительных чисел. Это следует, например, из
признака равномерной сходимости Вейерштрасса,
так как |rncos n
| < |rn|, |rnsin
n
| < |rn|,
и при 0 < r < 1 ряд
rn сходится.
Сходимость функциональных последовательностей Оглавление Специальные признаки равномерной ходимости рядов