31.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов

    Определение 1. Функциональная последовательность (31.1) называется равномерно сходящейся к функции f на множестве X, если для любого эпсилон > 0 существует такой номер n0, что для всех точек x принадлежит X  и всех номеров n n0 выполняется неравенство

| fn(x) - f(x)| < эпсилон.

(31.7)

    Очевидно, что если последовательность (31.1) равномерно сходится на множестве X к функции f, то эта последовательность сходится к функции f на рассматриваемом множестве (определение сходимости последовательности функций на множестве см. в п. 31.1).
    Если последовательность { fn} сходится на множестве X к функции f, то пишут

fn   f,

а если эта последовательность сходится равномерно к f на указанном множестве, то пишут

fn   f.

    В символической записи определения сходящейся и равномерно сходящейся на множестве последовательности выглядят соответственно следующим образом:

fn   f allэпсилон > 0   allx принадлежитn0    alln n0:  | fn(x) - f(x)| < эпсилон.
fn   f allэпсилон > 0    n0   allx принадлежит  alln n0:   | fn(x) - f(x)| < эпсилон.

Рис. 124
Рис. 124

    Таким образом, если последовательность { fn} только сходится к функции f на множестве X, то для каждой точки x принадлежит X существует, вообще говоря, свой номер n0 = n0(эпсилон,x), для которого при n n0 выполняется неравенство

| fn(x) - f(x)| < эпсилон,

и может оказаться, что для всех точек x принадлежит X невозможно подобрать общий номер n0, обладающий указанным свойством.
    Равномерная же сходимость последовательности { fn} к функции f означает, что, какое бы число эпсилон > 0 ни задать, можно подобрать такой номер n0, что в любой точке значение функции будет отличаться от значения функции меньше, чем на  (рис. 124).
Лемма 1. Для того чтобы последовательность { fn} равномерно сходилась на X к функции f, необходимо и достаточно, чтобы

 | fn(x) - f(x)| = 0.

(31.8)

    Значение этой леммы состоит в том, что она сводит понятие равномерной сходимости поледовательности { fn} функций к понятию сходимости числовой последовательности

{| fn(x) - f(x)|}

("числовой" в широком смысле этого слова: конечное число членов указанной последовательности может обратиться в +бесконечность). В силу этого обстоятельства условие (31.8) часто бывает удобно использовать для выяснения, сходится ли равномерно интересующая нас конкретная последовательность функций.
начало    1. Пусть

fn   f.

Зададим произвольно эпсилон > 0. Тогда существует такой номер n0, что для всех n n0 и всех x принадлежит X выполняется неравенство | fn(x) - f(x)| < эпсилон, а следовательно, для всех n n0 - неравенство

sup| fn(x) - f(x)| < эпсилон.

Это и означает выполнение условия (31.8).
    2. Пусть выполнено условие (31.8). Зададим произвольно эпсилон > 0. Тогда в силу определения предела числовой последовательности существует такой номер n0, что для всех n n0 выполняется неравенство

| fn(x) - f(x)| < эпсилон,

а следовательно, для всех n n0 и всех x принадлежит X - неравенство

| fn(x) - f(x)| < эпсилон.

Это означает, что

fn   f.    конец

    Следствие. Если существует стремящаяся к нулю последовательность {alphan}:

alphan = 0.

такая, что для всех x принадлежит X выполняется неравенство

| fn(x) - f(x)| < alphan,

(31.9)

то последовательность { fn(x)} равномерно сходится к функции f(x) на множестве X.
начало    Действительно, поскольку неравенство (31.9) выполняется для всех x принадлежит X, то

| fn(x) - f(x)| < alphan,

а поэтому из условия alphan = 0 получаем, что

| fn(x) - f(x)| = 0.     конец

    Замечание 1. Очевидно, что из определения равномерной сходимости последовательности функций следует, что если какие-то последовательности равномерно сходятся на некотором множестве, то и любая их конечная линейная комбинация равномерно сходится на этом множестве.
    Примеры.
    1. Пусть fn(x) = xn, n = 1, 2, ..., X = [0,q], 0 < q < 1. Предел fn(x), x принадлежит [0,q], существует и равен нулю:

f(x) определение fn(x) = 0.

Так как xn = qn, то

xn = qn = 0.

Следовательно, согласно лемме 1, последовательность {xn} равномерно сходится к нулю на отрезке [0,q]:

xn 0,     0 < q < 1.

Рис. 125
Рис. 125

    2. Рассмотрим теперь последовательность функций fn(x) = xn, n = 1, 2, ..., на полуинтервале [0,1). Здесь снова

f(x) определение fn(x) = 0,   x принадлежит [0,1),

т. е. последовательность {xn} сходится на полуинтервале [0,1) к функции равной нулю:

xn 0,

однако xn = 1, и потому

xn = 1 =1 не равно 0.

    Следовательно, согласно той же лемме сходящаяся на полуинервале [0,1) последовательность {xn} не сходится на нем равномерно (рис. 125):

xn 0,

    3. Последовательность fn(x) = xn, n = 1, 2, ..., сходится и на отрезке [0,1], но уже к разрывной функции

f(x) =

Поскольку последовательность {xn} не сходится равномерно на полуинтервале [0,1), то она не сходится равномерно и на отрезке [0,1]. Это следует из того, что если неравенство (31.7) не выполняется на каком-то множестве X (в данном случае на [0,1)), то оно, очевидно, не выполняется и на всяком множестве, содержащем в себе X.
    Рассмотренная последовательность является еще одним примером сходящейся последовательности непрерывных функций, предел которой уже не является непрерывной функцией (первым примером такого рода у нас была последовательность частичных сумм ряда (31.4)). Ниже будет показано, что если потребовать, чтобы последовательность не только сходилась, но и равномерно сходилась, то подобная ситуация будет уже невозможной (теоремы 7 и 7').
    Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости последовательности). Для того чтобы последовательность fn равномерно сходилась на множестве X к некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы для любого эпсилон > 0 существовал такой номер n0, что для всех x принадлежит X, всех n n0 и всех p = 0, 1, ... выполнялось неравенство

| fn+p(x) - fn(x)| < эпсилон.

    В символической записи это условие выглядит следующим образом:

allэпсилон > 0   n0    allx принадлежитalln n0    allp > 0:  | fn+p(x) - fn(x)| < эпсилон.

(31.10)

начало    1. Пусть

fn   f.

Зафиксируем произвольно эпсилон > 0. Для него в силу (31.7) существует такой номер n0, что для всех n n0 и всех x принадлежит X выполняется неравенство

| fn(x) - f(x)| < эпсилон/2.

Поэтому для всех точек x принадлежит X, всех номеров n n0 и всех p = 0, 1, 2, ... имеем

| fn+p(x) - fn(x)| = |[ fn+p(x) - f(x)] + [ f(x) - fn(x)]| <
      < | fn+p(x) - f(x)| + | fn(x) -  f(x)| < эпсилон/2 + эпсилон/2 = эпсилон,

т. е. выполняется условие (31.10).
    2. Пусть выполняется условие (31.10); тогда в каждой точке x принадлежит X последовательность { fn(X)} удовлетворяет критерию Коши сходимости числовых последовательностей и, следовательно, сходится. Обозначим предел последовательности { fn}на множестве X через f:

f(x) = fn(x),   x принадлежит X

(31.11)

Перейдя к пределу в последнем неравенстве (31.10) при pбесконечность, в силу (31.11) получим, что для всех номеров n n0 и всех точек x принадлежит X выполняется неравенство | f(x) - fn(x)| < эпсилон.
    Это и означает равномерную сходимость последовательности функций { fn} к функции f на множестве Xконец

    Определение 2. Ряд

un(x),    x принадлежит X,

(31.12)

называется равномерно сходящимся на множестве x, если на x равномерно сходится последовательность его частичных сумм.
    Очевидно, что ряд, равномерно сходящийся на множестве X, сходится на этом множестве. Пусть

s(x) = un(x),     sn(x) = суммаuk(x)

и rn(x) = s(x) - sn(x) = uk(x) - остаток ряда. Равномерная сходимость ряда un(x) согласно определению означает, что

sn(x) s(x).

(31.13)

Это условие равносильно условию

s(x) - sn(x) 0.

Поэтому условие (31.13) равномерной сходимости на множестве X ряда равносильно условию

rn(x) 0.

(31.14)

    Иначе говоря, равномерная сходимость ряда на множестве X означает равномерную сходимость на X к нулю последовательности его остатков. Отсюда в силу леммы получаем, что для того чтобы ряд (31.12) равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы

|rn(x)| = 0.

(31.15)

    Замечание 2. Если какие-то ряды равномерно сходятся на некотором множестве, то и любая их конечная линейная комбинация равномерно сходится на этом множестве (см. замечание 1).
    Теорема 2 (необходимое условие равномерной сходимости ряда). Если ряд (31.12) равномерно сходится на множестве X, то последовательность его членов равномерно стремится к нулю на этом множестве.
начало    В самом деле,

un(x) = sn(x) - sn-1(x),   n = 2, 3, ...

(31.16)

В случае равномерной сходимости на множестве X ряда (31.12) последовательности {sn(x)} и {sn-1(x)} его частичных сумм равномерно стремятся на X к его сумме s(x):

sn(x) s(x),     sn-1(x) s(x),

поэтому

sn(x) - sn-1(x) 0,

а это в силу (31.16) и означает, что

un(x) 0,

(31.17)

    Отметим, что согласно лемме 1 для того, чтобы было выполнено условие (31.17), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

|un(x)| = 0.

(31.18)

    Теорема 3 (критерий Коши равномерной сходимости ряда). Для того чтобы ряд (31.12) равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы для любого эпсилон > 0 существовал такой номер n0, что для всех n n0, всех и всех p = 0, 1, 2, ... выполнялось неравенство

|un(x) + un+1(x) + ... un+p(x)| < эпсилон.

начало    В силу равенства

un(x) + un+1(x) + ... un+p(x) = sn+p(x) - sn-1(x),

где sn(x) - частичные суммы рассматриваемого ряда, критерий Коши равномерной сходимости рядов сразу следует из критерия Коши равномерной сходимости последовательностей. конец
    Замечание 3. В дальнейшем нам понадобится следующее простое свойство равномерно сходящихся рядов. Если ряд (31.12) равномерно сходится на множестве X, а функция f ограничена на этом множестве, то ряд f(x)un(x) также равномерно сходится на X.
начало    Действительно, ограниченность функции f означает, что существует такая постоянная c > 0, что для всех x принадлежит X выполняется неравенство | f(x)| < c. Поэтому для любых целых n > 1, p > 0 и любой точки x принадлежит X имеет место неравенство

| f(x)un(x) +  f(x)un+1(x) + ...  f(x)un+p(x)| = | f(x)||un(x) + un+1(x) + ... un+p(x)| <
                                                                             < c|un(x) + un+1(x) + ... un+p(x)|.

    Из этого неравенства следует, что ряд f(x)n = 1, 2, ... удовлетворяет на множестве X критерию Коши равномерной сходимости ряда, ибо этому критерию удовлетворяет исходный ряд (31.12). конец
    Теорема 4 (признак Вейерштрасса). Если числовой ряд

alphan,   alphan > 0,

(31.19)

сходится и для всех X и для всех n = 1, 2, ... выполняется неравенство

|un(x)| < alphan,

(31.20)

то ряд (31.12) абсолютно и равномерно сходится на множестве X.
начало    Абсолютная сходимость ряда (31.12) в каждой точке x множества X следует, согласно признаку сравнения (теорема 6 в п. 30.4), из неравенства (31.20) и сходимости ряда (31.19).
    Докажем равномерную сходимость ряда (31.12). Пусть rn(x) и эпсилонn являются остатками порядка n соответственно рядов un(x), x принадлежит X, и an(x), т. е. rn(x) = uk(x),  эпсилонn(x) = ak. Тогда

|rn(x)| = uk(x) < |uk(x)| ak = эпсилонnx принадлежит X.

    Из сходимости ряда an следует, что , тогда в силу следствия из леммы 1 имеем

rn(x) 0.

Это и означает, что ряд (31.12) равномерно сходится на множестве Xконец
    Примеры.
    4. В п. 31.1 было показано, что ряд

zn/n!

сходится при любом z принадлежит C, в частности, для любого r > 0 сходится ряд

rn/n!.

(31.21)

    Поскольку из неравенства  |z| < r следует неравенство |zn/n!| < rn/n!, то из признака Вейерштрасса следует, что ряд (31.21) абсолютно и равномерно сходится в круге Kr = {z: |z| < r} любого радиуса r. Однако ряд (31.21) не сходится равномерно на всей комплексной плоскости C. Это следует из того, что последовательность членов ряда (31.21) не стремится равномерно к нулю на C, ибо при любом n = 1, 2, ... имеет место равенство

 |zn/n!| = +бесконечность,

и потому условие (31.18) заведомо не выполнено.
    Итак, ряд (31.21) равномерно сходится в круге Kr сколь угодно большого радиуса r, но не сходится равномерно на всей плоскости C. Это означает, что если обозначить через s(z) и sn(z) соответственно сумму и частичные суммы ряда (31.21), то для любого эпсилон > 0 при заданном круге Kr можно так выбрать номер n0, что для всех n n0 и всех z принадлежит Kr будет выполняться неравенство |s(z) - sn(z)| < эпсилон. Номер n0 зависит не только от эпсилон, но и от r, т. е. n0 = n0(эпсилон,r), причем при неограниченном возрастании радиуса r номер n0 также неограниченно возрастает: n0(эпсилон,r) = +бесконечность (если бы это было не так, то ряд (31.21) сходился бы равномерно на всей комплексной плоскости), т. е. невозможно выбрать такой номер n0, чтобы при всех n n0 неравенство  |s(z) - sn(z)| < эпсилон выполнялось для всех z принадлежит C.
    5. Ряд zn, z принадлежит C, сходится в открытом круге K = {z: |z| < 1} и при любом , 0 < r < 1, сходится равномерно в замкнутом круге Kr = {z: |z| < r} . Это следует, например, из признака сходимости Вейерштрасса, так как при |z| < r имеем |zn| + |z|n < rn и ряд rn сходится. В круге K заданный ряд не сходится равномерно, так как
|zn| + |z|n = 1 и, следовательно, в круге K не выполняется необходимое условие равномерной сходимости ряда (см. теорему 2).
    При |z| < 1 члены ряда zn образуют убывающую геометрическую прогрессию, и поэтому zn = 1/(1 - z). Если z = r(cos fin + isin nfi), то

zn = rn(cos nfi + isin nfi) = ,
< r < 1,    -бесконечность < fi < +бесконечность.

Приравняв действительную и мнимую части этого равенства, получим

rncos nfi = ,       rnsin nfi = .

При фиксированном r, 0 < r < 1, эти ряды как функции переменной fi абсолютно и равномерно сходятся на множестве R всех действительных чисел. Это следует, например, из признака равномерной сходимости Вейерштрасса, так как |rncos nfi| < |rn|, |rnsin nfi| < |rn|, и при 0 < r < 1 ряд rn сходится.


Сходимость функциональных последовательностей  Оглавление  Специальные признаки равномерной ходимости рядов