31.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов

    Определение 1. Функциональная последовательность (31.1) называется равномерно сходящейся к функции f на множестве X, если для любого > 0 существует такой номер n₀, что для всех точек x X  и всех номеров n > n₀ выполняется неравенство

    Очевидно, что если последовательность (31.1) равномерно сходится на множестве X к функции f, то эта последовательность сходится к функции f на рассматриваемом множестве (определение сходимости последовательности функций на множестве см. в п. 31.1).
    Если последовательность { f_n} сходится на множестве X к функции f, то пишут

f_n   f,

а если эта последовательность сходится равномерно к f на указанном множестве, то пишут

f_n   f.

    В символической записи определения сходящейся и равномерно сходящейся на множестве последовательности выглядят соответственно следующим образом:

f_n   f > 0   x X  n₀    n > n₀:  | f_n(x) - f(x)| < .
f_n   f > 0    n₀   x X    n > n₀:   | f_n(x) - f(x)| < .

    Таким образом, если последовательность { f_n} только сходится к функции f на множестве X, то для каждой точки x X существует, вообще говоря, свой номер n₀ = n₀(,x), для которого при n > n₀ выполняется неравенство

| f_n(x) - f(x)| < ,

и может оказаться, что для всех точек x X невозможно подобрать общий номер n₀, обладающий указанным свойством.
    Равномерная же сходимость последовательности { f_n} к функции f означает, что, какое бы число > 0 ни задать, можно подобрать такой номер n₀, что в любой точке значение функции будет отличаться от значения функции меньше, чем на  (рис. 124).
Лемма 1. Для того чтобы последовательность { f_n} равномерно сходилась на X к функции f, необходимо и достаточно, чтобы

    Значение этой леммы состоит в том, что она сводит понятие равномерной сходимости поледовательности { f_n} функций к понятию сходимости числовой последовательности

{| f_n(x) - f(x)|}

("числовой" в широком смысле этого слова: конечное число членов указанной последовательности может обратиться в +). В силу этого обстоятельства условие (31.8) часто бывает удобно использовать для выяснения, сходится ли равномерно интересующая нас конкретная последовательность функций.
    1. Пусть

f_n   f.

Зададим произвольно > 0. Тогда существует такой номер n₀, что для всех n > n₀ и всех x X выполняется неравенство | f_n(x) - f(x)| < , а следовательно, для всех n > n₀ - неравенство

| f_n(x) - f(x)| < .

Это и означает выполнение условия (31.8).
    2. Пусть выполнено условие (31.8). Зададим произвольно > 0. Тогда в силу определения предела числовой последовательности существует такой номер n₀, что для всех n > n₀ выполняется неравенство

| f_n(x) - f(x)| < ,

а следовательно, для всех n > n₀ и всех x X - неравенство

| f_n(x) - f(x)| < .

Это означает, что

f_n   f.   

    Следствие. Если существует стремящаяся к нулю последовательность {_n}:

_n = 0.

такая, что для всех x X выполняется неравенство

то последовательность { f_n(x)} равномерно сходится к функции f(x) на множестве X.
    Действительно, поскольку неравенство (31.9) выполняется для всех x X, то

| f_n(x) - f(x)| < _n,

а поэтому из условия _n = 0 получаем, что

| f_n(x) - f(x)| = 0.    

    Замечание 1. Очевидно, что из определения равномерной сходимости последовательности функций следует, что если какие-то последовательности равномерно сходятся на некотором множестве, то и любая их конечная линейная комбинация равномерно сходится на этом множестве.
    Примеры.
    1. Пусть f_n(x) = xⁿ, n = 1, 2, ..., X = [0,q], 0 < q < 1. Предел f_n(x), x [0,q], существует и равен нулю:

f(x) f_n(x) = 0.

Так как xⁿ = qⁿ, то

xⁿ = qⁿ = 0.

Следовательно, согласно лемме 1, последовательность {xⁿ} равномерно сходится к нулю на отрезке [0,q]:

xⁿ 0,     0 < q < 1.

    2. Рассмотрим теперь последовательность функций f_n(x) = xⁿ, n = 1, 2, ..., на полуинтервале [0,1). Здесь снова

f(x) f_n(x) = 0,   x [0,1),

т. е. последовательность {xⁿ} сходится на полуинтервале [0,1) к функции равной нулю:

x_n 0,

однако xⁿ = 1, и потому

xⁿ = 1 =1 0.

    Следовательно, согласно той же лемме сходящаяся на полуинервале [0,1) последовательность {xⁿ} не сходится на нем равномерно (рис. 125):

x_n 0,

    3. Последовательность f_n(x) = xⁿ, n = 1, 2, ..., сходится и на отрезке [0,1], но уже к разрывной функции

f(x) =

Поскольку последовательность {xⁿ} не сходится равномерно на полуинтервале [0,1), то она не сходится равномерно и на отрезке [0,1]. Это следует из того, что если неравенство (31.7) не выполняется на каком-то множестве X (в данном случае на [0,1)), то оно, очевидно, не выполняется и на всяком множестве, содержащем в себе X.
    Рассмотренная последовательность является еще одним примером сходящейся последовательности непрерывных функций, предел которой уже не является непрерывной функцией (первым примером такого рода у нас была последовательность частичных сумм ряда (31.4)). Ниже будет показано, что если потребовать, чтобы последовательность не только сходилась, но и равномерно сходилась, то подобная ситуация будет уже невозможной (теоремы 7 и 7').
    Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости последовательности). Для того чтобы последовательность f_n равномерно сходилась на множестве X к некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовал такой номер n₀, что для всех x X, всех n > n₀ и всех p = 0, 1, ... выполнялось неравенство

| f_n+p(x) - f_n(x)| < .

    В символической записи это условие выглядит следующим образом:

    1. Пусть

f_n   f.

Зафиксируем произвольно > 0. Для него в силу (31.7) существует такой номер n₀, что для всех n > n₀ и всех x X выполняется неравенство

| f_n(x) - f(x)| < /2.

Поэтому для всех точек x X, всех номеров n > n₀ и всех p = 0, 1, 2, ... имеем

| f_n+p(x) - f_n(x)| = |[ f_n+p(x) - f(x)] + [ f(x) - f_n(x)]| <
      < | f_n+p(x) - f(x)| + | f_n(x) -  f(x)| < /2 + /2 = ,

т. е. выполняется условие (31.10).
    2. Пусть выполняется условие (31.10); тогда в каждой точке x X последовательность { f_n(X)} удовлетворяет критерию Коши сходимости числовых последовательностей и, следовательно, сходится. Обозначим предел последовательности { f_n}на множестве X через f:

Перейдя к пределу в последнем неравенстве (31.10) при p, в силу (31.11) получим, что для всех номеров n > n₀ и всех точек x X выполняется неравенство | f(x) - f_n(x)| < .
    Это и означает равномерную сходимость последовательности функций { f_n} к функции f на множестве X. 

    Определение 2. Ряд

называется равномерно сходящимся на множестве x, если на x равномерно сходится последовательность его частичных сумм.
    Очевидно, что ряд, равномерно сходящийся на множестве X, сходится на этом множестве. Пусть

s(x) = u_n(x),     s_n(x) = u_k(x)

и r_n(x) = s(x) - s_n(x) = u_k(x) - остаток ряда. Равномерная сходимость ряда u_n(x) согласно определению означает, что

Это условие равносильно условию

s(x) - s_n(x) 0.

Поэтому условие (31.13) равномерной сходимости на множестве X ряда равносильно условию

    Иначе говоря, равномерная сходимость ряда на множестве X означает равномерную сходимость на X к нулю последовательности его остатков. Отсюда в силу леммы получаем, что для того чтобы ряд (31.12) равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы

    Замечание 2. Если какие-то ряды равномерно сходятся на некотором множестве, то и любая их конечная линейная комбинация равномерно сходится на этом множестве (см. замечание 1).
    Теорема 2 (необходимое условие равномерной сходимости ряда). Если ряд (31.12) равномерно сходится на множестве X, то последовательность его членов равномерно стремится к нулю на этом множестве.
    В самом деле,

В случае равномерной сходимости на множестве X ряда (31.12) последовательности {s_n(x)} и {s_n-1(x)} его частичных сумм равномерно стремятся на X к его сумме s(x):

s_n(x) s(x),     s_n-1(x) s(x),

поэтому

s_n(x) - s_n-1(x) 0,

а это в силу (31.16) и означает, что

    Отметим, что согласно лемме 1 для того, чтобы было выполнено условие (31.17), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

    Теорема 3 (критерий Коши равномерной сходимости ряда). Для того чтобы ряд (31.12) равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовал такой номер n₀, что для всех n > n₀, всех и всех p = 0, 1, 2, ... выполнялось неравенство

|u_n(x) + u_n+1(x) + ... u_n+p(x)| < .

    В силу равенства

u_n(x) + u_n+1(x) + ... u_n+p(x) = s_n+p(x) - s_n-1(x),

где s_n(x) - частичные суммы рассматриваемого ряда, критерий Коши равномерной сходимости рядов сразу следует из критерия Коши равномерной сходимости последовательностей. 
    Замечание 3. В дальнейшем нам понадобится следующее простое свойство равномерно сходящихся рядов. Если ряд (31.12) равномерно сходится на множестве X, а функция f ограничена на этом множестве, то ряд f(x)u_n(x) также равномерно сходится на X.
    Действительно, ограниченность функции f означает, что существует такая постоянная c > 0, что для всех x X выполняется неравенство | f(x)| < c. Поэтому для любых целых n > 1, p > 0 и любой точки x X имеет место неравенство

| f(x)u_n(x) +  f(x)u_n+1(x) + ...  f(x)u_n+p(x)| = | f(x)||u_n(x) + u_n+1(x) + ... u_n+p(x)| <
                                                                             < c|u_n(x) + u_n+1(x) + ... u_n+p(x)|.

    Из этого неравенства следует, что ряд f(x)n = 1, 2, ... удовлетворяет на множестве X критерию Коши равномерной сходимости ряда, ибо этому критерию удовлетворяет исходный ряд (31.12). 
    Теорема 4 (признак Вейерштрасса). Если числовой ряд

сходится и для всех X и для всех n = 1, 2, ... выполняется неравенство

то ряд (31.12) абсолютно и равномерно сходится на множестве X.
    Абсолютная сходимость ряда (31.12) в каждой точке x множества X следует, согласно признаку сравнения (теорема 6 в п. 30.4), из неравенства (31.20) и сходимости ряда (31.19).
    Докажем равномерную сходимость ряда (31.12). Пусть r_n(x) и _n являются остатками порядка n соответственно рядов u_n(x), x X, и a_n(x), т. е. r_n(x) = u_k(x),  _n(x) = a_k. Тогда

|r_n(x)| = u_k(x) < |u_k(x)| a_k = _n,  x X.

    Из сходимости ряда a_n следует, что , тогда в силу следствия из леммы 1 имеем

r_n(x) 0.

Это и означает, что ряд (31.12) равномерно сходится на множестве X. 
    Примеры.
    4. В п. 31.1 было показано, что ряд

zⁿ/n!

сходится при любом z C, в частности, для любого r > 0 сходится ряд

    Поскольку из неравенства  |z| < r следует неравенство |zⁿ/n!| < rⁿ/n!, то из признака Вейерштрасса следует, что ряд (31.21) абсолютно и равномерно сходится в круге K_r = {z: |z| < r} любого радиуса r. Однако ряд (31.21) не сходится равномерно на всей комплексной плоскости C. Это следует из того, что последовательность членов ряда (31.21) не стремится равномерно к нулю на C, ибо при любом n = 1, 2, ... имеет место равенство

 |zⁿ/n!| = +,

и потому условие (31.18) заведомо не выполнено.
    Итак, ряд (31.21) равномерно сходится в круге K_r сколь угодно большого радиуса r, но не сходится равномерно на всей плоскости C. Это означает, что если обозначить через s(z) и s_n(z) соответственно сумму и частичные суммы ряда (31.21), то для любого > 0 при заданном круге K_r можно так выбрать номер n₀, что для всех n > n₀ и всех z K_r будет выполняться неравенство |s(z) - s_n(z)| < . Номер n₀ зависит не только от , но и от r, т. е. n₀ = n₀(,r), причем при неограниченном возрастании радиуса r номер n₀ также неограниченно возрастает: n₀(,r) = + (если бы это было не так, то ряд (31.21) сходился бы равномерно на всей комплексной плоскости), т. е. невозможно выбрать такой номер n₀, чтобы при всех n > n₀ неравенство  |s(z) - s_n(z)| < выполнялось для всех z C.
    5. Ряд zⁿ, z C, сходится в открытом круге K = {z: |z| < 1} и при любом , 0 < r < 1, сходится равномерно в замкнутом круге K_r = {z: |z| < r} . Это следует, например, из признака сходимости Вейерштрасса, так как при |z| < r имеем |zⁿ| + |z|ⁿ < rⁿ и ряд rⁿ сходится. В круге K заданный ряд не сходится равномерно, так как
|zⁿ| + |z|ⁿ = 1 и, следовательно, в круге K не выполняется необходимое условие равномерной сходимости ряда (см. теорему 2).
    При |z| < 1 члены ряда zⁿ образуют убывающую геометрическую прогрессию, и поэтому zⁿ = 1/(1 - z). Если z = r(cos n + isin n), то

zⁿ = rⁿ(cos n + isin n) = ,
0 < r < 1,    - < < +.

Приравняв действительную и мнимую части этого равенства, получим

rⁿcos n = ,       rⁿsin n = .

При фиксированном r, 0 < r < 1, эти ряды как функции переменной  абсолютно и равномерно сходятся на множестве R всех действительных чисел. Это следует, например, из признака равномерной сходимости Вейерштрасса, так как |rⁿcos n| < |rⁿ|, |rⁿsin n| < |rⁿ|, и при 0 < r < 1 ряд rⁿ сходится.

Сходимость функциональных последовательностей  Оглавление  Специальные признаки равномерной ходимости рядов