До сих пор при изучении
последовательностей и рядов функций эти функции
предполагались заданными на произвольном
множестве X. Теперь мы перейдем к изучению
свойств непрерывности, дифференцируемости и
интегрируемости, в связи с чем множество X
будет являться подмножеством числовой прямой.
При изучении вопроса о непрерывности
суммы ряда будем рассматривать ряды
un(x),
где x
X, un(x)
C,
n = 1, 2, ...
Теорема 7. Если ряд
равномерно сходится на некотором множестве и в
какой-то точке этого множества все члены ряда
непрерывны, то сумма ряда непрерывна в этой
точке.
Пусть ряд
|
(31.31) |
равномерно сходится на множестве X, s(x)
= un(x) - его
сумма, а
sn(x) = |
(31.32) |
- его частичные суммы. Зафиксируем произвольно > 0. Равномерная
сходимость ряда (31.31) означает, что
последовательность {sn(x)}
равномерно сходится на множестве X к
функции s(x). Поэтому существует такой
номер
> 0, что для
всех точек x
X
выполняется неравенство
|s(x) - sn(x)|
< |
(31.33) |
так как такое неравенство имеет место для всех
номеров, начиная с некоторого. Зафиксируем
указанный номер n.
Функция sn(x), являясь
конечной суммой непрерывных (согласно условиям
теоремы) в точке x0 X функций u1(x),
u2(x), ..., un(x), сама
непрерывна в этой точке. Поэтому существует
такое
> 0, что для всех
точек x
X,
удовлетворяющих условию x
U(x0;
), выполняется неравенство
|sn(x) - sn(x0)|
< |
(31.34) |
В силу сказанного для любой точки x X
U(x0;
) имеем
|s(x) - s(x0)| = |[s(x)
- sn(x)] + [sn(x) - sn(x0)]
+ [sn(x0) - s(x0)] <
< |s(x) - sn(x)| + |sn(x)
- sn(x0)| + |sn(x0)
- s(x0)|
/3 +
/3 +
/3 =
.
Это и означает непрерывность функции s(x)
в точке x0.
Отметим, что в условиях теоремы в точке
x0 X
для ряда
un(x)
возможен почленный переход к пределу, т. е.
|
![]() |
Действительно, в силу непрерывности функций s(x)
и un(x) в точке x0 имеем
s(x) = s(x0),
un(x) = un(x0)
, n = 1, 2, ..., поэтому
|
|
![]() ![]() |
Заметим, что в теореме 7 условие
равномерной сходимости ряда на множестве нельзя
заменить условием только его сходимости на этом
множестве. Это показывает пример 2
в п. 31.1: ряд (31.4) сходится на всей числовой
прямой, его члены являются непрерывными на ней
функциями, а сумма ряда - разрывная в точке x = 0
функция.
Выше отмечалось, что изучение рядов
равносильно изучению последовательностей
(п. 30.1), поэтому каждое предложение о рядах
можно перефразировать в соответствующее
предложение о последовательностях. Будем
рассматривать последовательности { fn(x)},
x X
R,
fn(x)
C, n = 1,
2, ... Теорема 7 в терминах последовательностей
равносильна следующей теореме.
Теорема 7'. Если
последовательность функций равномерно сходится
на некотором множестве и в некоторой точке
множества все члены последовательности
непрерывны, то и предельная функция
последовательности непрерывна в этой точке.
Заметим, что если
fn f
и все функции непрерывны в точке x0 X, то
fn(x) =
fn(x),
т. е. при сделанных предложениях предельные
переходы при n и при x
x0 перестановочны.
Действительно,
fn(x) =
fn(x0) = f(x0)
=
f(x) =
fn(x).
Пример 3 в п.
31.2 еще раз подтверждает, что условие равномерной
сходимости в теоремах 7 и существенно.
Теорема 8. Пусть функции un(x)
R,
n = 1, 2, ..., x
[a,b], непрерывны на
отрезке [a,b] и ряд
|
(31.35) |
равномерно сходится на этом отрезке. Тогда, какова
бы ни была точка x0 [a,b], ряд
|
(31.36) |
также равномерно сходится на отрезке [a,b] и
|
(31.37) |
Равенство (31.37) означает, что в
условиях теоремы ряд (31.35) можно почленно
интегрировать.
В силу
равномерной сходимости ряда (31.35) и
непрерывности его членов на отрезке [a,b]
его сумма
s(x) = |
(31.38) |
также непрерывна на этом отрезке (теорема 7),
а следовательно, и интегрируема по Риману на
отрезке [a,b], а поэтому и на любом
отрезке с концами в точках x0 [a,b] и x
[a,b].
Покажем, что ряд (31.36) равномерно
сходится к функции
|
(31.39) |
Как всегда, положим
sn(x) |
(31.40) |
а через n(x)
обозначим частичные суммы ряда (31.36):
|
(31.41) |
Для любого x
[a,b] имеем
|
|
(31.42) |
Отсюда следует, что
|
(x) -
n(x)|
< (b - a)
|rn(x)|.
Из равномерной сходимости на отрезке [a,b] ряда (31.35) следует, что
|rn(x)| =
0.
Следовательно,
|
(x)
-
n(x)| = 0.
что, согласно лемме 1, означает, что
последовательность {n(x)}
равномерно на отрезке [a,b] сходится к
функции
(x), т. е. что
ряд (31.36) равномерно сходится на указанном
отрезке и что его сумма равна
(x) =
un(t)dt.
Последнее равенство в силу (31.39) можно записать в виде
s(t)dt
=
un(t)dt.
что согласно (31.38) равносильно
равенству (31.37).
Перефразировка теоремы 8 в терминах
последовательностей имеет следующий вид.
Теорема 8'. Если
последовательность непрерывных на отрезке [a,b]
функций fn(x), n = 1, 2, ..., равномерно
сходится на этом отрезке к функции f(x),
то, какова бы ни была точка x0 [a,b], последовательность
fn(t)dt
сходится равномерно на отрезке [a,b]
к функции
f(t)dt
.
Из этой теоремы следует, в частности,
что
|
![]() |
т. е. что в данном случае можно переходить к пределу под знаком интеграла, или, коротко: в рассматриваемом случае предел интегралов равен интегралу от предела.
|
Замечание. Условия равномерной
сходимости в теореме 8' являются существенными.
Подтвердим это примером.
Функции fn(x), 0 < x < 1,
зададим для наглядности графически (рис. 126).
Для любой точки x [0,1] имеем
fn(x)
= 0 и, следовательно,
= 0.
При любом же n = 1, 2, ... интеграл
fn(x)dx =
1 равен площади треугольника
AOB. Поэтому в этом случае
fn(x)dx =
1
0 =
.
Теорема 9. Пусть функции un(x)
R,
n = 1, 2, ..., непрерывно дифференцируемы
на отрезке [a,b] и ряд, составленный
из их производных:
|
(31.43) |
равномерно сходится на отрезке [a,b]. Тогда если ряд
|
(31.44) |
сходится хотя бы в одной точке x0 [a,b], то он
сходится равномерно на всем отрезке [a,b],
его сумма
s(x) = |
(31.45) |
является непрерывно дифференцируемой функцией и
s'(x) = |
(31.46) |
В силу формулы (31.45) последнее равенство можно записать в виде
Таким образом, в условиях теоремы ряд (31.44) можно
почленно дифференцировать.
Положим
|
(31.47) |
По теореме 8 этот ряд можно почленно интегрировать:
|
(31.48) |
(мы использовали формулу Ньютона-Лейбница),
причем ряд, стоящий в правой части равенства, в
силу той же теоремы 8 равномерно сходится на
отрезке [a,b].
По условию теоремы числовой ряд un(x0)
сходится, причем, как и для всякого числового
ряда, у него сходимость совпадает с равномерной
сходимостью. Сумма двух равномерно сходящихся на
отрезке [a,b] рядов
[un(x) - un(x0)]
и
un(x0),
т. е. ряд
un(x),
также, очевидно, равномерно сходится на
отрезке [a,b]. В силу доказанной
сходимости ряда (31.44) формулу (31.48) можно
записать в виде
(t)dt =
un(x) -
un(x0),
или (см. (31.45))
|
(31.49) |
Функция (t)
является суммой равномерно сходящегося ряда
непрерывных функций на отрезке [a,b]
(см. (31.47)), и поэтому она сама непрерывна на этом
отрезке, а тогда функция
(t)dt
непрерывно дифференцируема на [a,b] (см. п. 25.1) и
|
(31.50) |
В силу формулы (31.49) это означает, что функция непрерывно дифференцируема и что
s'(x)
(t)dt
(x)
u'n(x).
Для последовательностей функций аналогичная
теорема выглядит следующим образом.
Теорема 9'. Если
последовательность непрерывно дифференцируемых
на отрезке [a,b] функций fn(x),
n = 1, 2, .., сходится в некоторой точке x0
[a,b], а
последовательность их производных f'n(x),
n = 1, 2, ..., равномерно сходится на [a,b]
к некоторой функции
(x),
то и последовательность {fn(x)} сходится
равномерно на отрезке [a,b] к
непрерывно дифференцируемой функции f и
f' =
.
Из рассуждений, проведенных при
доказательстве теоремы 9, следует, что если
функции fn, n = 1, 2, ..,
непрерывно дифференцируемы и
последовательность их производных {f'n}
равномерно сходится на отрезке [a,b], то
условия:
1) существует такая точка x0 [a,b], что
числовая последовательность {fn(x0)}
сходится;
2) fnf;
3) fnf;
равносильны (то, что из условия 1) следуют
условия 2) и 3), было доказано; что из 3)
следует 1) - очевидно). Поэтому теорема 9
равносильна следующему утверждению.
Если
fnf
и f'n
,
то существует производная f' и f' =
, т. е. в этом
случае предел производных равен производной от
предела.
В терминах рядов это утверждение
(равносильное теореме 9) можно сформулировать
следующим образом: если функции un(x)
непрерывно дифференцируемы, а ряды un(x) = s(x)
и
u'n(x) =
(x) равномерно сходятся на
отрезке [a,b], то у суммы ряда s(x)
существует производная s'(x) и s'(x)
=
(x).
Эти формулировки отражают сущность
условий, при выполнении которых возможно
почленное дифференцирование
последовательностей и рядов. Но, конечно, на
практике очень удобно, что сходимость
последовательностей и рядов достаточно
проверять лишь в одной точке и не доказывать их
равномерную сходимость (конечно, равномерную
сходимость последовательностей и рядов
производных необходимо установить).
Пример. Рассмотрим функцию
f(x) = 1/nx,
x > 1,
называемую функцией Римана (ряд, стоящий в
правой части равенства, сходится при x >
1; см. (30.20)). Каково бы ни было > 1, ряд
1/nx
и ряд, получающийся его формальным
дифференцированием, т. е. ряд
-ln n/nx ,
равномерно сходятся на полуинтервале [
,+
). Это сразу вытекает в силу
признака Вейерштрасса из неравенств
1/nx < 1/,
0 < ln n/nx < ln n/
< 1/
, 0 <
<
- 1,
справедливых при фиксированном для достаточно больших n,
и из сходимости рядов
1/
,
1/
. В силу теоремы 9 при любом x
>
имеет место равенство
а поскольку > 1 было
выбрано произвольно, то это равенство верно и при
любом x > 1.
Специальные признаки равномерной сходимости рядов Оглавление Радиус сходимости и круг сходимости