32.2. Аналитические функции в действительной области

    Рассмотрим теперь аналитические функции, раскладывающиеся в степенной ряд с действительными коэффициентами в некоторой окрестности точки действительной оси R. Такие функции называются  действительными аналитическими функциями. Это означает, что действительная аналитическая в точке
x₀   R функция f в некоторой окрестности этой точки на действительной оси представима в виде степенного ряда

с действительными коэффициентами a_n, n = 1, 2, ...
    Очевидно, что действительные аналитические функции являются частным случаем аналитических функций, и поэтому при изучении их можно использовать свойства степенных рядов в комплексной области. Рассмотрим некоторые свойства действительных аналитических функций. Прежде всего заметим, что для всякого степенного ряда (32.25) с действительными коэффициентами (как и для всякого степенного ряда) существует радиус сходимости R (теорема 2 из п. 32.1). В действительной области радиус сходимости R ряда (32.25) обладает тем свойством, что для всех x   (x₀ - R, x₀ + R) рассматриваемый ряд абсолютно сходится, а при x [x₀ - R, x₀ + R] расходится. При  R > 0 интервал (x₀ - R, x₀ + R) называется  интервалом сходимости степенного ряда (32.25).
    Теорема 4. Если функция f раскладывается в окрестности x₀ в степенной ряд (32.25) с радиусом сходимости R (и, следовательно, радиус сходимости R этого ряда положителен: R > 0), то:
    1) функция f имеет на интервале (x₀ - R, x₀ + R) производные всех порядков, которые могут быть найдены из ряда (32.25) почленным дифференцированием:

    2) для любого x   (x₀ - R,x₀ + R)

таким образом,  ряд (32.25) можно почленно интегрировать на интервале (x₀ - R, x₀ + R);
    3) ряды (32.25), (32.26) и (32.27) имеют одинаковые радиусы сходимости.
    Короче, внутри интервала сходимости степенного ряда ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз.
    В силу леммы п. 32.1 ряды (32.26) и (32.27), получающиеся из ряда (32.25) почленным дифференцированием и интегрированием, имеют тот же радиус сходимости, что и ряд (32.25). Так как всякий степенной ряд вида (32.25) с радиусом сходимости R > 0 на любом отрезке [x₀ - r, x₀ + r], 0 < r < R, сходится равномерно (теорема 2 из п. 32.1), то утверждения 1) и 2) доказываемой теоремы непосредственно следуют из общих теорем о дифференцируемости и интегрируемости функциональных рядов (теоремы 8 и 9 из п. 31.4).  
    Теорема 5. Если функция f раскладывается в некоторой окрестности точки x₀ в степенной ряд:

то

и, следовательно, справедлива формула

    Следствие. Если в некоторой окрестности заданной точки функция раскладывается в степенной ряд, то это разложение единственно.
    Из формулы (32.26) при x = x₀ имеем f^(m)(x₀) = m!a_m, m = 1, 2, ... Отсюда и следует равенство (32.29).
    Единственность разложения (32.28) следует из того, что его коэффициенты задаются формулами (32.29).   

Радиус сходимости и круг сходимости  Оглавление  Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора