32.3. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора

    Определение 3. Пусть действительная функция f определена в некоторой окрестности точки x₀ и имеет в этой точке производные всех порядков. Тогда ряд

называется ее рядом Тейлора в точке x₀.
    Согласно теоремам 4 и 5 всякая действительная аналитическая в некоторой точке действительной оси функция (32.25) бесконечно дифференцируема в этой точке и раскладывается в ее окрестности в свой ряд Тейлора. Если же функция бесконечно дифференцируема в какой-то точке, то может случиться, что она не равна сумме своего ряда Тейлора ни в какой окрестности этой точки (в этом случае функция в силу сказанного выше заведомо не аналитическая в рассматриваемой точке).
    Приведем пример такой функции.
    Пример. Пусть

Если x0,  то

f'(x) = ,     f''(x)= -+ ,

вообще,

где P_n(t) - некоторый многочлен от переменной t (n - его порядковый номер, а не степень), т. е. f ⁽ⁿ⁾(x) имеет вид

f⁽ⁿ⁾(x) = _kx_k,     _k R,     m_n N.

Найдем предел

f ⁽ⁿ⁾(x).

(Заметим, что поскольку здесь производные f ⁽ⁿ⁾(x), n = 1, 2, ..., определены пока только при x0, то здесь и ниже предел берется по x0.) Сделав замену переменной t =1/x², получим

,   m N.

Отсюда в силу (32.33) имеем

Теперь, заметив, что = 0 = f(0), т. е. что функция f непрерывна в точке x = 0, получим отсюда (см. следствие 2 теоремы 3 из п. 12.2), что она и дифференцируема в этой точке и что (в силу (32.34) при n = 1) f'(0) = 0. Следовательно, согласно (32.34) производная f' также непрерывна при x = 0. Повторив аналогичное рассуждение для производной f' вместо функции f, получим, что в точке x = 0 существует вторая производная f'', что f''(0) = 0 и что f'' непрерывна при x = 0. Продолжая это процесс, докажем, что при любом n = 1, 2, ... имеет место равенство

f ⁽ⁿ⁾(0) = 0.

Из него следует, что все члены ряда Тейлора функции (32.32) равны нулю, т. е. указанный ряд имеет вид

0 + 0+ ... + 0 +...,

а поскольку сама функция f(x)0 при x0, то она не равна сумме своего ряда Тейлора ни в какой окрестности точки x = 0. Функция (32.32) является примером бесконечно дифференцируемой функции, не являющейся аналитической в данной точке. То, что она бесконечно дифференцируема в точке x = 0, только что было доказано, а то, что она неаналитическая в данной точке (т. е. не раскладывается в степенной ряд), следует из того, что она ни в какой окрестности нуля не является суммой своего ряда Тейлора в этой точке.
    Пусть f - бесконечно дифференцируемая в точке x₀ функция,

- ее ряд Тейлора,

- частичная сумма порядка n = 1, 2, … ряда (32.35) и

- остаточный член формулы Тейлора для функции f (а не сумма остатка ряда (32.35), так как сумма остатка ряда имеет смысл только тогда, когда известно, что ряд сходится; относительно же ряда (32.35) это не предполагалось. Кроме того, если он даже и сходится, то неизвестно, равна его сумма f(x) или нет). Таким образом,

- формула Тейлора для функции f.
    Отсюда видно, что для того чтобы функция f равнялась сумме своего ряда Тейлора в некоторой точке x, надо, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора (32.38) стремился к нулю при n:

В самом деле, если это имеет место, то из формулы (32.38) следует, что

f(x) =s_n(x),

т. е. f(x) является суммой ряда (32.35).
    Для исследования свойства (32.39) остаточного члена r_n(x) установим некоторые новые виды его записи. Напомним предварительно, что если точка принадлежит интервалу с концами в точках x₀ и x, т. е. либо x <  < x₀, либо x₀ <  < x, и если = ( - x₀)/(x - x₀),   то = x₀+(x - x₀),  0 < <1.
    Теорема 6. Если функция f   n + 1 раз непрерывно дифференцируема на интервале} (x₀ - h, x₀ + h), h > 0, то остаточный член r_n(x) ее формулы Тейлора (32.38) для всех x   (x₀ - h, x₀ + h) можно записать в каждом из следующих трех видов:

где принадлежит интервалу с концами в точках x₀ и x, т. е. = x₀ + (x - x₀), 0 <  < 1, и

где 0 < < 1.
    Формула (32.40) называется остаточным членом формулы Тейлора в интегральной форме, формула (32.41) - в форме Лагранжа, а (32.42) - в форме Коши.
    Число , 0 <  < 1, участвующее в записи остаточного члена r_n(x), зависит от x и от n.
    В силу формулы Ньютона - Лейбница имеем

f(x) = f(x₀) +f'(t)dt = f(x₀) -f'(t) d(x - t).

Применив интегрирование по частям к интегралу в правой части этого равенства, получим

f(x) = f(x₀) + (-f'(t)(x - t))+ f''(t)(x - t)dt =  f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + f''(t)(x - t)dt.

Пусть для некоторого m < n уже доказано, что

Эта формула уже доказана нами для m = 1 и m = 2. Проинтегрируем по частям последнее слагаемое в правой части равенства 

  f^(m)(t)(x - t)^m-1dt = - f^(m)(t)(x - t)^mdt =                    
= -+  f ^(m+1)(t)(x - t)^mdt = (x - x₀)^m +  f ^(m+1)(t)(x - t)^mdt.

Подставим получившееся выражение в (32.43):

f(x) = (x - x₀)^k +  f ^(m+1)(t)(x - t)^mdt.

В результате получилась формула (32.43), в которой m заменено на m + 1.
    Таким образом, формула Тейлора (32.43) доказана методом математической индукции для всех m < n. При m = n ее остаточный член имеет вид (32.40).
    Применим теперь интегральную теорему о среднем значении к  интегралу (32.40). Заметив, что функция (x - t)ⁿ не меняет знака n, x₀ и x фиксированы, a t изменяется между x₀ и x), а функция f ⁽ⁿ⁺¹⁾ непрерывна на промежутке интегрирования, вынесем за знак интеграла "среднее значение" производной f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (см. следствие из теоремы п. 24.2):

r_n(x) =  f ⁽ⁿ⁺¹⁾(t)(x - t)ⁿdt = (x - t)ⁿdt =                                       
                                        = = (x - x₀)ⁿ⁺¹,

где лежит на интервале с концами в точках x₀ и x. Формула (32.41) доказана. Если применить интегральную теорему о среднем к интегралу (32.40), вынося за знак интеграла среднее значение всей подынтегральной функции (см. п. 24.2), то получим

где , как и выше, лежит на интервале с концами в точках x₀ и x, т. е.  = x₀ + (x - x₀), 0 < <1. Отсюда

x -  = x - x₀ - (x - x₀) = (x - x₀)(1 - ).

Подставив это выражение x- в (32.44), получим формулу (32.42). 
    Укажем теперь одно достаточное условие разложимости функции в степенной ряд.

    Теорема 7. Если функция в окрестности точки x₀ имеет все производные, ограниченные в совокупности на этой окрестности, то функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки x₀.
    Пусть функция f имеет на интервале (x₀ - h, x₀ + h) производные всех порядков и они ограничены в совокупности на этом интервале, т. е. существует такая постоянная c > 0, что для всех x   (x₀ - h, x₀ + h) и всех n = 0, 1, 2,  ... выполняется неравенство

Заметим, что

Это следует из того, что ряд hⁿ/n! сходится при любом z  C
(пример 1 из п. 31.1), в частности, он сходится при z = h, а равенство (32.46) выражает собой необходимое условие сходимости этого ряда: последовательность членов сходящегося ряда стремится к нулю.
    Для того чтобы доказать, что функция f раскладывается в степенной ряд, т. е. в ряд Тейлора:

достаточно убедиться в том, что (см. (32.39))

где r_n(x) - остаточный член формулы Тейлора функции f в точке x₀. Возьмем r_n(x) в форме Лагранжа (см. (32.41)). Из неравенства (32.45) следует, что

где x и таковы, что | - x₀| < |x - x₀| < h. Так как согласно (32.46) имеет место

  = 0,

то в силу неравенства (32.49) при |x - x₀| < h выполняется условие (32.48). 
    Замечание. При доказательстве теоремы 7 было показано, что остаток r_n(x) ряда не только стремится к нулю, но и то, что это стремление к нулю в силу оценки (32.49) происходит на интервале (x₀ - h, x₀ + h) равномерно. Поэтому если все производные функции f ограничены на интервале (x₀ - h, x₀ + h), то ряд Тейлора в точке x₀ сходится на этом интервале к самой функции f(x) равномерно.

Аналитические функции в действительной области  Оглавление  Разложение элементарных функций в ряд Тейлора