Лекция 2. Борновское приближение

§ 2.1. Разложение амплитуды рассеяния по кратности взаимодействия. Борновское приближение

    Соотношения (1.32) − (1.34) и (1.41), к которым в рамках стационарной теории сводится общее рассмотрение задачи потенциального рассеяния, дают лишь формальное решение этой задачи. Они не решают вопроса о том, как практически при заданном V(r) найти волновую функцию (r), ее асимптотику, амплитуду рассеяния и, следовательно, дифференциальное сечение.
    Если потенциал V(r) мал (об условиях малости см. § 2.2), то интегральное уравнение (1.32) можно решать приближенно, методом итераций:

(2.1)

    Такое представление волновой функции будем называть разложением по кратности взаимодействия. Подставляя (2.1) в (1.34) мы получим такое же разложение для амплитуды рассеяния:

(2.2)

Будем говорить, что ƒ⁽ⁿ⁾(k,k') − это амплитуда n-го порядка в разложении амплитуды рассеяния по кратности взаимодействия.
    В целях компактной записи амплитуд рассеяния различной кратности удобно пользоваться диаграммами Фейнмана (введенными им первоначально при рассмотрении процессов столкновений в квантовой электродинамике):

(2.3)

    Для установления соответствия между диаграммой n-кратной амплитуды и ее аналитическим выражением сформулируем следующие правила. Сплошные линии со свободными концами изображают падающую и рассеянную частицы. Волнистая линия с жирной точкой в месте ее соединения со сплошной линией − взаимодействие между частицей и силовым центром. Между двумя такими точками («вершинами» диаграммы) частица движется свободно; соответствующему отрезку сплошной линии (скажем между точками r и r') приписывается функция Грина свободной частицы (Е,r,r'). Диаграмма n-го порядка содержит п вершин и соответственно n − 1 внутренних сплошных линий. Аналитическое выражение, соответствующее такой диаграмме, есть 3n−кратный интеграл по переменным r, r', r" и т. д., подынтегральное выражение которого условимся записывать в следующей последовательности. Обходим диаграмму по ее сплошной линии в направлении, противоположном движению частицы. Первый множитель подынтегрального выражения − экспонента e^-ik'r; далее в каждой вершине добавляется множитель V(r), V(r') и т.д., а между ними − функция Грина (Е,r,r'), (Е,r',r") и т.д.; заканчивается подынтегральное выражение экспонентой e^ikr, где в показателе − переменная, соответствующая последней вершине диаграммы; перед интегралом стоит множитель (−μ/2πћ²).
    Если взаимодействие мало, то можно ограничиться первыми членами ряда (2.3). В частности, ограничиваясь одним первым членом, получаем амплитуду рассеяния в приближении Борна (борновском приближении):

(2.4)

    Обратим внимание на то, что в этом приближении при рассеянии частицы на локальном потенциале V(r) любой радиальной и угловой зависимости амплитуда рассеяния /(к, к') зависит лишь от разности импульсов частицы в начальном и конечном состояниях − переданного импульса:

а сама зависимость от q определяется просто фурье-образом потенциала V(r):

(2 6)

    Итак, в борновском приближении дифференциальное сечение рассеяния частицы силовым центром рассчитывается по формуле

(2.7)

Подчеркнем, что вектор переданного импульса q − это единственная комбинация энергии частицы и углов рассеяния, от которой в борновском приближении зависит дифференциальное сечение рассеяния. Если потенциал обладает сферической симметрией:

то и борновская амплитуда рассеяния, и соответствующее дифференциальное сечение зависят лишь от одной переменной − модуля переданного импульса. В этом важном частном случае интегрирование по угловым переменным в (2.6) приводит к выражению

(2.9)

§ 2.2. Об условиях применимости борновского приближения

    При вычислении борновской амплитуды рассеяния мы подставили в общее выражение (1.34) вместо точного решения уравнения Липпмана − Швингера (r) плоскую волну e^ikr, описывающую падающую частицу. Это значит, что во всей «внутренней» области второй член в (1.32) считается малым по сравнению с первым:

(2.10)

Неравенство (2.10) является достаточным условием применимости борновского приближения. Для приближенной оценки входящего сюда интеграла заменим точное решение (r) плоской волной; подставляя также в качестве (Е,r,r') ее явное выражение (1.21), получаем

(2.11)

Дальнейшее прямое вычисление интеграла весьма громоздко даже в случае простейших потенциалов. Поэтому мы ограничимся еще более грубой оценкой, рассмотрев неравенство (2.11) лишь в точке
r = 0, а потенциал V(r) считая сферически-симметричным:

(2.12)

Напомним, что все наше рассмотрение относится к классу потенциалов конечного радиуса. Поэтому фактически интегрирование в (2.12) распространяется лишь на «внутреннюю» область r ≤ d.
    Далее мы рассмотрим неравенство (2.12) в двух предельных случаях: kd << 1 и kd >> 1. В первом из них дебройлевская длина волны частицы = 1/к много больше, а во втором − много меньше, чем размеры области взаимодействия d. Простые вычисления приводят к следующим результатам.
    Если kd >> 1, то

(2.13)

при этом V = (1/d)∫V(r)dr.
     Если kd << 1, то

(2.14)

при этом V = (1/d²)∫V(r) rdr.
    Мы видим, что при kd >> 1 условие (2.13) гораздо сильнее, чем просто требование

выражающее малость средней энергии взаимодействия по сравнению с энергией падающих частиц. При kd << 1 условие (2.14) в случае притяжения практически совпадает с требованием, чтобы в потенциальной яме средней глубины V и среднего радиуса d не было ни одного связанного состояния (см. [1, с. 121]).
    Оба неравенства − (2.13) и (2.14) − дают лишь приблизительную оценку применимости борновского приближения, ничего не говоря, в частности, по следующему, практически очень важному вопросу: как зависит применимость борновских расчетов дифференциального сечения рассеяния от угла вылета рассеянных частиц? Мы вернемся к этому вопросу в § 3.4.

§ 2.3. Угловая и энергетическая зависимости рассеяния быстрых частиц на потенциале конечного радиуса

    В этом параграфе мы выясним общие качественные закономерности рассеяния быстрых частиц
(kd >> 1) на потенциале конечного радиуса. Будем считать выполненным условие применимости борновского приближения (2.13). Начнем с конкретного примера: вычислим в борновском приближении дифференциальное и полное сечения рассеяния частиц потенциалом Юкавы (или, что то же, экранированным кулоновским потенциалом):

    Подставляя (2.16) в (2.6), найдем сначала амплитуду рассеяния:

(2.17)

а затем и дифференциальное сечение:

(2.18)

Угловая зависимость дифференциального сечения (2.18) заключена в передаваемом импульсе q (рис. 2.1):

Подставим (2.19) в (2.18):

(2.20)

Отсюда видно, что в данном случае максимум интенсивности рассеянных частиц приходится на нулевой угол θ = 0, причем она монотонно спадает с ростом угла рассеяния. Скорость спадания тем больше, чем больше энергия падающих частиц; другими словами, с ростом энергии угловое распределение рассеянных частиц оказывается все более резко направленным вперед (рис. 2.2).
    Вычислим интегральное сечение рассеяния:

(2.21)

Для этого заметим, что когда потенциал сферически симметричен и дифференциальное сечение известно как функция передаваемого импульса q, то интегрирование в (2.21) удобно выполнять непосредственно по переданному импульсу. Согласно (2.19),

(2.22)

Подставляя (2.18) в (2.21), получаем

(2.24)

Отсюда видно, что при kа >> 1 интегральное сечение рассеяния, рассчитанное в борновском приближении, убывает с ростом энергии частиц по закону

Рис. 2.1. Кинематика рассеяния частицы на неподвижном силовом центре

Рис. 2.2 Угловая зависимость рассеяния частиц потенциалом Юкавы или экранированным кулоновским потенциалом для разных значений энергии падающих частиц: Е1 > Е2 > Е3

Отмеченные выше качественные закономерности относится к рассеянию быстрых частиц не только на потенциале Юкавы, но и на многих других потенциалах конечного радиуса, в том числе к рассеянию на всех потенциалах (1.26) − (1.29), приведённых в лекции 1. Действительно, обратимся к общей формуле (2.6) для борновской амплитуды рассеяния, переписав ее для случая сферически-симметричного потенциала:

(2.26)

Борновская амплитуда рассеяния вперед ƒ^(B)(0) и соответствующее дифференциальное сечение
dσ/dΩ (θ = 0) не зависят, как видно отсюда, от энергии падающих частиц (см. снова (2.20) и рис. 2.2). Поскольку интегрирование в (2.26) фактически охватывает область r << d, где d − средний радиус действия силового центра, то благодаря осцилляциям экспоненты е^iqr амплитуда рассеяния ƒ^(B)(q) быстро затухает при q > 1/d. При kd >> 1 это, согласно (2.19), означает, что рассеянные частицы сосредоточены в узком конусе, средний угол раствора которого определяется выражением

θ = 1/kd << 1 ,

т.е. падает с ростом энергии по закону 1/Е^1/2. Соответствующий телесный угол падает по закону 1/Е, а поскольку дифференциальное сечение рассеяния вперед не зависит от энергии, то по такому же закону падает и интегральное сечение рассеяния σ. В частном случае потенциала Юкавы мы уже видели это из соотношения (2.24).

§ 2.4. Формула Резерфорда. Рассеяние точечного заряда неподвижным протяженным зарядом

    Потенциал (2.16) при A = Z₁Z₂e² и а → ∞ описывает кулоновское взаимодействие двух точечных зарядов Z₁ и Z₂. В этом случае выражение (2.17) даст борновскую амплитуду кулоновского рассеяния:

(2.27)

а формула (2.20) для дифференциального сечения переходит в этом случае в формулу Резерфорда:

(2.28)

Полное сечение σ, очевидно, расходится. Случай кулоновского взаимодействия двух нерелятивистских точечных зарядов уникален в том отношении, что здесь строго совпадают между собой результаты для дифференциального сечения рассеяния, полученные тремя совершенно разными способами: а) при точном решении задачи в классической механике; б) в борновском приближении; в) при точном решении задачи в квантовой механике (лекция 5). В этом проявляются в конечном счете особые симметрийные свойства кулоновского гамильтониана, хорошо известные по эффекту случайного вырождения уровней частицы в кулоновском поле [1, с.224].
    Перейдем к рассмотрению рассеяния точечного заряда неподвижным протяженным зарядом. Пусть Z₁ − заряд падающей частицы, ρ(r) − плотность заряда, на котором происходит рассеяние; пусть ρ(r) нормировано условием

На больших расстояниях заряды Z₁ и Z₂. взаимодействуют по закону Кулона V_c(r) = Z₁Z₂/r, a при произвольных r потенциальная энергия их взаимодействия определяется выражением

(2.30)

Подставим его в формулу (2.6) для борновской амплитуды рассеяния:

(2.31)

    Двойной интеграл вычислим с помощью следующего приема:

(2.32)

Фурье-образ плотности называется формфактором плотности заряда, или просто зарядовым формфактором мишени. Мы определим зарядовый формфактор F(q), соответствующий плотности заряда ρ(r), с помощью соотношения:

(2.33)

    Подставляя (2.32) и (2.33) в (2.31), получаем, что в борновском приближении дифференциальное сечение рассеяния точечного заряда протяженным зарядом разбивается на два множителя: дифференциальное сечение (dσ/dΩ)_R (формула Резерфорда), соответствующее взаимодействию точечных зарядов Z₁ и Z₂, и квадрат модуля зарядового формфактора мишени:

(2.34)

    Рассмотрим общие свойства зарядового формфактора и то, как проявляются они в процессе рассеяния.
    Во-первых, заметим, что если распределение заряда сферически-симметрично, то и формфактор тоже зависит лишь от модуля переданного импульса:

ρ(r) → ρ(r),

(2.35)

    Из формулы (2.34) видно, что в этом случае, как следует и из общих соображений, угловое распределение рассеянных частиц аксиально-симметрично.
    Согласно определению (2.33) и условию (2.29), при q = 0 (если Z₂ ≠ 0) формфактор равен единице

Подставляя это значение в (2.34), видим, что при q → 0 , т.е при θ → 0, пролетающая частица «не чувствует» конечных размеров мишени, и рассеяние происходит как при взаимодействии точечных зарядов. Физически это тот же результат, что известен в классической механике: при рассеянии на малые углы Э частица пролетает на больших расстояниях от мишени и не чувствует деталей ее структуры. С ростом q формфактор F(q) сначала плавно падает, затем возможны его осцилляции, а при q >> R, где R − средние размеры мишени, быстро затухают. Таким образом, угловое распределение частиц, рассеянных на протяженном заряде, всегда характеризуется более острой направленностью вперед, чем при рассеянии на точечном заряде.

При малых значениях переданного импульса формфактор F(q) можно разложить в ряд по степеням q. Сделаем это для случая сферически-симметричного распределения зарядовой плотности:

F(q) = (1/Z2)∫ρ(r){1 + i(qr) − (qr)2/2 +...}d3r =

(2.37)

Здесь

(2.38)

− среднеквадратичный радиус распределения заряда мишени. Отсюда видно, что измерение дифференциального сечения рассеяния на малые углы дает − в условиях применимости борновского приближения − модельно независимый способ нахождения среднеквадратичного зарядового радиуса мишени.

Упражнения

2.1. Пользуясь правилами для диаграмм Фейнмана записать амплитуду рассеяния 3-го порядка
ƒ⁽³⁾(k,k')

2.2. Показать, что амплитуду рассеяния второго порядка ƒ⁽²⁾(k,k') можно выразить через обобщенную борновскую амплитуду рассеяния ƒ^(B)(k,k'), определенную, согласно общей формуле (2.4), для несовпадающих по абсолютной величине импульсов (k и k'):

(2.39)

2.3. В борновском приближении вычислить дифференциальное и полное сечения рассеяния частиц на потенциале прямоугольной формы.

2.4. Вычислить формфактор равномерно заряженного шара. Используя борновское приближение, описать характер углового распределения быстрых электронов, рассеянных таким шаром.

2.5. Считая, что ядро − это равномерно заряженный шар радиуса R = r₀А^1/3, и используя борновское приближение, найти дифференциальное сечение упругого рассеяния на ядре быстрых электронов. Сравнить результаты для ядер ⁴Не и ¹⁶0.

2.6. В борновском приближении получить общую формулу дифференциального сечения рассеяния протяженного заряда неподвижным протяженным зарядом.

2.7. Пользуясь борновским приближением, найти угловое распределение электронов, рассеянных двумя точечными зарядами +е и −е, неподвижно закрепленными на расстоянии d друг относительно друга. Рассмотреть два случая: ось, соединяющая заряды +е и −е, расположена параллельно и перпендикулярно потоку падающих электронов.