Раздел I. Потенциальное рассеяние

Лекция 1. Стационарная теория потенциального рассеяния. Общие положения

§ 1.1. Постановка задачи. Интегральное уравнение для волновой функции. Асимптотическое условие

    Методы современной квантовой теории столкновений принято разделять на две категории − стационарные и нестационарные.
    Внешнее различие между этими двумя подходами велико. Оно касается и того, как формулируется задача, и математического аппарата и, наконец, области непосредственного практического применения. В первом случае она очень широка и включает разнообразные задачи, относящиеся к столкновениям атомных частиц, ядерным реакциям, взаимодействию элементарных частиц. Во втором случае область практического применения теории гораздо уже. Нестационарная теория столкновений используется чаще всего при решении особых задач, связанных с трактовкой специально поставленных экспериментов. Кроме того, в отличие от стационарной теории здесь по существу нет таких стандартных теоретических приемов, которые были бы взяты «на вооружение» непосредственно экспериментаторами.
    Тем не менее, между стационарной и нестационарной теориями столкновений нет принципиальных различий, а, следовательно, и какого-либо принципиального разделения сфер их действия. Мы покажем, что стационарная теория столкновений со всеми ее привычными атрибутами − фазами рассеяния, борновским приближением, формфакторами и т.п. − вытекает из строгой формулировки задачи столкновения, которая в квантовой механике, как и в классической механике, дается изначально в рамках нестационарной теории. Другими словами, стационарная теория столкновений − это особый математический метод, «рецепт» решения задач теории столкновений, который технически очень удобен и физически нагляден. Вместе с тем надо учитывать и то, что современная квантовая физика все чаще сталкивается с задачами, где видна потребность в разработке других, «прямых» методов нестационарной теории, позволяющих непосредственно проследить за эволюцией состояний квантовых систем в процессах столкновений.
    Мы построим изложение следующим образом. Сначала, отправляясь от интуитивных соображений, сформулируем основные положения стационарной теории столкновений − сперва применительно к задаче потенциального рассеяния, а затем и к разнообразным задачам о столкновениях с составными системами. По ходу разработки конкретных методов теории мы будем не только демонстрировать их успешное применение, но и останавливаться на трудностях, условностях стационарной теории. В заключительной лекции первого раздела курса будет сделано «сшивание» стационарного и нестационарного подходов.
    Начнем с простейшей задачи о рассеянии частиц неподвижным силовым центром. Пусть V(r) − потенциальная энергия взаимодействия частиц с центром, μ − масса частицы. Наша цель − найти дифференциальное сечение рассеяния dσ/dΩ при условии, что на центр из бесконечности падает плоскопараллельный пучок частиц с заданной начальной скоростью v₀ = n₀v₀.
    Вспомним, как решается эта задача в классической механике. При t = −∞ для каждой частицы падающего пучка задается прицельный параметр b. В общем случае это двумерный вектор в плоскости, перпендикулярной направлению n₀. При рассеянии сферически-симметричным или аксиально-симметричным (относительно направления падающих частиц) потенциалом задача характеризуется аксиальной симметрией; в таком случае достаточно указать модуль вектора b = |b|. Уравнения движения позволяют найти для каждого значения b траекторию движения частиц:
r = r(t). Ее асимптотика при t → +∞ указывает направление вылета рассеянной частицы n, т.е. в общем случае, полярный G и азимутальный ср углы рассеяния. Установив зависимость n = n(b), мы вычисляем дифференциальное сечение рассеяния dσ/dΩ.
    В квантовой механике нет траекторий движения частиц. Процесс рассеяния описывается волновой функцией, которая при использовании стационарной теории столкновений есть решение стационарного уравнения Шредингера:

ψ(r) = Eψ(r).

(1.1)

    В рассматриваемой задаче r − это пространственная координата частицы, а гамильтониан − оператор, представляющий собой сумму оператора кинетической энергии частицы и потенциальной энергии ее взаимодействия с силовым центром = V(r):

= 0 + .

(1.2)

Все взаимодействия, с которыми мы будем иметь дело, исчезают на больших расстояниях от силового центра. Примем уровень потенциальной энергии на бесконечности за начало отсчета полной и потенциальной энергии частицы:

    Таким образом, область, в которой V(r) > 0, соответствует отталкиванию, a V(r) < 0 − притяжению частицы силовым центром.
    При Е > 0 уравнение (1.1) не имеет квадратично интегрируемых решений. Вместе с тем важнейшим исходным положением квантовой механики является положение о том, что только квадратично интегрируемые функции описывают реальные состояния физических систем (см. [1, с.6]). Таким образом, решения стационарного уравнения Шредингера, с которыми имеет дело стационарная теория столкновений, играют с физической точки зрения лишь вспомогательную роль, и их связь с реальными состояниями частицы, испытывающей столкновение, нам еще предстоит выяснить (см. лекцию 7).
    Подставляя (1.2) в (1.1), перепишем уравнение Шредингера в виде

(0 − E)ψ(r) = -ψ(r).

(1.4)

Вместе с этим уравнением нам придется рассматривать и соответствующее однородное уравнение, решения которого мы будем обозначать как φ(r):

(0 − E)φ(r) = 0.

(1.5)

Частным случаем решения φ(r) является плоская волна:

Не будучи квадратично интегрируемой, функция (1.6) не описывает какого-либо реального состояния частицы; в стационарной теории столкновений мы будем пользоваться ею для описания плоскопараллельного стационарного потока частиц с заданным импульсом р = ћk (в дальнейшем мы будем просто говорить - «с импульсом k»). Заметим, что при выбранной нами нормировке функции (1.6) удовлетворяют следующему соотношению («условие полноты»):

(1.7)

    Будем искать решение уравнения (1.4), описывающее процесс рассеяния, исходя из следующего физического требования: пусть на достаточно большом расстоянии от силового центра, когда взаимодействием между частицей и силовым центром можно пренебречь, волновая функция задачи рассеяния представляет собой суперпозицию плоской волны (1.6) и расходящейся сферической волны:

где k − импульс (волновой вектор) падающих частиц. Ниже мы покажем, что такое решение уравнения (1.4) действительно существует.
    Для этого перейдем от дифференциального уравнения Шредингера (1.4) к эквивалентному интегральному уравнению

(1.9)

где G₀(E,r,r') − функция Грина, соответствующая оператору ₀ и удовлетворяющая уравнению

(E − 0)G0(E,r,r') = δ(r − r')

(1.10)

(мы будем называть G₀(E,r,r') функцией Грина свободного движения частицы). В эквивалентности (1.4) и (1.9) легко убедиться, подставив (1.9) в левую часть уравнения (1.4). При этом надо учесть связь между энергией и импульсом свободной частицы:

В дальнейшем мы будем пользоваться также сокращенной записью уравнения (1.9):

ψk(r) = eikr + ψk(r),

(1.12)

или

ψk(r) = eikr + 0(E)ψk(r),

(1.13)

где

₀(E) ≡

− гриновский оператор свободного движения частицы (являющийся, как видно из (1.9), интегральным оператором).
    Интегральные уравнения (1.9), (1.13) для волновой функции задачи рассеяния носят название уравнения Липпмана−Швингера.
    Из всех возможных решений уравнения Липпмана− Швингера нам надо выбрать такие, которые удовлетворяют асимптотическому условию (1.8). Как это сделать? Для ответа на этот вопрос вычислим функцию Грина G₀(E,r,r') и рассмотрим, как выглядит она при r → ∞.

§ 1.2. Функция Грина свободного движения частицы. Амплитуда рассеяния

    Легко убедиться в том, что если G(E,r,r') − функция Грина, соответствующая оператору , а
{φ_n(r)} − полный набор ортонормированных собственных функций этого оператора:

φn = Eφn,   n = 1, 2,..., ∞,

(1.14)

то справедливо так называемое спектральное разложение, или спектральное представление функции Грина:

(1.15)

    Действительно, подействовав на G(E,r,r') оператором (E − ) и учитывая свойство полноты функций фп(г), приходим к уравнению типа (1.10):

(1.16)

где оператор действует на переменную r; это уравнение определяет функцию Грина, соответствующую оператору .
    Воспользуемся спектральным представлением (1.15) для вычисления функции Грина свободной частицы G₀(E,r,r'). Правда, в нашем случае спектр собственных значений (или, если говорить более строго, обобщенных собственных значений) оператора − непрерывный, и сумму в (1.15) надо заменить интегралом:

(1.17)

здесь φ_χ(r) − плоская волна (1.6) описывающая свободное движение частицы с импульсом χ. Выполняя несложные преобразования, связанные, в частности, с интегрированием по направлениям вектора χ, приходим к выражению

(1.18)

Здесь становится видно, что уравнение (1.10) и соответствующее ему спектральное представление (1.17) не определяют функции Грина G₀(E,r,r') однозначно. Мы можем сами распорядиться способом обхода полюсов в интеграле (1.18), чтобы получить нужную нам функцию Грина
G₀(E,r,r'), такую, которая при подстановке в уравнение Липпмана − Швингера (1.9) обеспечит требуемое соотношением (1.8) асимптотическое поведение волновой функции ψ_k(r).
    Рассмотрим два способа обхода полюсов: добавим к положительной вещественной величине Е, входящей в (1.18), малую добавку ±iε, а после вычисления интеграла обратим ε в нуль; соответствующие выражения для функции Грина G₀(E,r,r') снабдим индексом (+) или (−):

(1.19)

В соответствии с (1.19) определим также два гриновских оператора , :

(1.20)

    Непосредственное (с помощью техники вычетов) вычисление интегралов (1.19) дает

(1.21)

(1.22)

    Покажем, что подстановка в уравнение (1.9) функции Грина обеспечивает выполнение асимптотического условия (1.8). Для этого заметим, что при r >> r' функция Грина (E,r,r') имеет вид

(1.23)

здесь мы воспользовались разложением

и ввели новое обозначение

Вектор k' равен по модулю импульсу падающих частиц k и направлен в точку наблюдения; таким образом, k' − это импульс частицы, рассеянной в направлении единичного вектора r/r.
    Прежде чем подставить функцию Грина (E,r,r') в (1.9) условимся об одном важном ограничении, касающемся потенциала взаимодействия V(r). Именно − ограничимся так называемыми потенциалами конечного радиуса: для каждого из них можно указать такое расстояние от центра d, за пределами которого взаимодействие частиц с силовым центром пренебрежимо мало (мы будем говорить также, что радиус d разделяет «внутреннюю» и «внешнюю» области действия силового центра). К классу потенциалов конечного радиуса относятся такие часто используемые потенциалы, как потенциал прямоугольной формы:

(1.26)

потенциал Юкавы:

(ту же форму имеет экранированный кулоновский потенциал); гауссов потенциал: 

(1.28)

потенциал Вудса − Саксона:

(1.29)

Важнейший пример потенциала, не являющегося потенциалом конечного радиуса, − кулоновский потенциал:

а также любой потенциал с кулоновским поведением на больших расстояниях (с кулоновским «хвостом»). (В § 5.1 мы увидим, что с математической точки зрения при определении характера короткодействия потенциала является важным, спадает ли потенциал на больших расстояниях быстрее или медленнее, чем 1/r².
    Итак, пусть в рассматриваемой нами задаче V(r) − это потенциал конечного радиуса. Обратимся к уравнению (1.9). Интеграл в правой части берется фактически по области конечных размеров − порядка d. Поэтому при r >> d можно подставить в (1.9) приближенное выражение функции Грина (1.23). В итоге получаем

(1.3l)

    Мы убедились в том, что использование в уравнении Липпмана − Швингера функции Грина (1.21) обеспечивает требуемое соотношением (1.8) асимптотическое поведение волновой функции ψ_k(r) (плоская плюс расходящаяся волны). Будем обозначать такое решение уравнения (1.9) символом
(r) а само уравнение перепишем в виде

(1.32)

где, в отличие от (1.9), явно указано, что в него входит функция Грина (1.21). Асимптотика волновой функции (r) имеет, согласно (1.31), вид

(1.33)

где

(1.34)

Квадрат модуля величины ƒ(k',k) определяет, на больших расстояниях от силового центра, интенсивность расходящейся волны e^ikr/r относительно падающей волны e^ikr. Будем называть
ƒ(k',k) амплитудой рассеяния.

§ 1.3. Связь дифференциального сечения рассеяния с амплитудой рассеяния

    Элемент эффективного сечения рассеяния dσ, соответствующий телесному углу dΩ, есть, по определению, число частиц, которые в результате рассеяния попадают в этот телесный угол в единицу времени, отнесенное к плотности потока падающих частиц:

На первый взгляд, нет никаких проблем в том, чтобы, зная асимптотику волновой функции задачи рассеяния (1.33) и пользуясь известной формулой для плотности тока вероятности

(1.36)

найти числитель и знаменатель этого выражения. Действительно, число частиц dn есть радиальная составляющая плотности потока рассеянных частиц j_out, умноженная на соответствующую площадь поверхности:

Считая, что составляющая e^ikr в асимптотической волновой функции (1.33) определяет плотность падающего потока j_in, а составляющая ƒ(k',k)(e^ikr/r) − плотность рассеянного потока j_out, мы по формуле (1.36) получаем:

(1.38)

Отсюда следует

или − иначе − для дифференциального сечения:

Итак, квадрат модуля амплитуды рассеяния − это дифференциальное сечение рассеяния.
    Надо обратить внимание на то, что наш вывод формулы (1.41) был формальным. Плотность тока вероятности j(r) − это квадратичная форма относительно волновой функции. Подставляя в (1.36) всю комбинацию (1.33), можно выделить в j(r) то, что мы назвали плотностью падающего потока j_in и плотностью рассеянных частиц j_out. Но ведь остается еще и интерференционное слагаемое! Каков его физический смысл? Почему мы его отбросили?
    Мы отложим разбор этих вопросов, а вместе с ним и последовательный вывод формулы (1.41) до лекции 6.

Упражнения

1.1. Обозначим символом (r) волновую функцию, удовлетворяющую уравнению Липпмана − Швингера с функцией Грина (E,r,r'):

(1.42)

где дается выражением (1.22). Найти асимптотику функции (r).

1.2. Показать, что при любом вещественном V(r) функции (r) и (r) связаны соотношением

[(r)]* = ,

(1.43)

которое справедливо во всей области изменения r.

1.3. Найти функцию Грина свободной частицы ₀(E,r,r'), вычисляя интеграл (1.18) в смысле главного значения. Какова асимптотика волновой функции удовлетворяющей уравнению Липпмана − Швингера с функцией Грина ₀? Есть ли связь между функцией и функциями (r)?

1.4. Проследить, как скажется на формулах для вычисления дифференциального сечения рассеяния
((1.41), (1.34) и др.) изменение нормировочного множителя плоской волны в асимптотическом условии (1.8). Убедиться в том, что сама величина dσ/dΩ не зависит от выбора этого множителя.