Семинар 5. Фундаментальные взаимодействия. Лептоны

     С момента открытия электрона прошло более ста лет. До настоящего времени в нашем представлении электрон остается точечной частицей без внутренней структуры, одним из элементарных кирпичиков Вселенной. Открытые вслед за электроном протон и нейтрон обнаружили впоследствии сложную структуру. Вопросы об элементарных составляющих нашего мира, об их взаимодействии, о строгом математическом описании элементарных частиц привели к созданию «Стандартной модели фундаментальных частиц и взаимодействий» – выдающегося результата развития теоретической физики второй половины XX века. Эта наиболее полная из когда-либо созданных физических теорий на данный момент подтверждена с высочайшей точностью многочисленными экспериментами и позволяет описать широкий круг явлений от космических масштабов до расстояний порядка 10^–17 см.
    Стандартная модель представляет собой теорию элементарных составляющих материи, фундаментальных фермионов, и фундаментальных взаимодействий (исключая гравитацию). Переносчиками этих взаимодействий являются фундаментальные калибровочные бозоны. Для расчетов и качественного обсуждения явлений особенно удобна техника диаграмм Фейнмана.   

5.1. Фундаментальные взаимодействия

5.2. Диаграммы Фейнмана

5.3. Калибровочные бозоны

5.4. Лептоны

       Задачи

 5.1. Фундаментальные взаимодействия

    Фундаментальными частицами Стандартной Модели являются лептоны, кварки и калибровочные бозоны. Кварки и лептоны, частицы с полуцелым спином, образуют вещество. Всего известно шесть лептонов, формирующих три поколения:

    Шесть кварков также сгруппированы в три поколения:

    Из кварков состоят адроны (частицы, принимающие участие в сильном взаимодействии), подразделяющиеся на барионы (адроны с полуцелым спином) и мезоны (адроны с целым спином). Протон и нейтрон относятся к классу барионов.
    Каждому фермиону соответствует его античастица, имеющая ту же массу и спин, но противоположный знак заряда и магнитного момента.
    В природе известно четыре типа фундаментальных взаимодействий: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. В масштабах физики элементарных частиц вклад гравитации несущественен и данное взаимодействие не входит в теоретическую схему Стандартной Модели. Основные свойства фундаментальных сил приведены в таблице:

    Переносчики фундаментальных взаимодействий, калибровочные бозоны, составляют еще один класс фундаментальных частиц Стандартной Модели.
    Квантом электромагнитного поля является фотон, γ-квант, обладающий нулевой массой. Посредством обмена фотоном взаимодействуют все частицы, обладающие такой характеристикой, как электрический заряд: кварки, заряженные лептоны и бозоны. Для описания электромагнитного взаимодействия существует наиболее разработанный вариант релятивисткой теории поля – квантовая электродинамика (КЭД), обеспечивающая феноменальную точность теоретических предсказаний.
    В слабом взаимодействии принимают участие частицы, обладающие так называемым слабым зарядом – это кварки и лептоны. Переносчиками взаимодействия являются массивные калибровочные бозоны W^± и Z. Крупнейшим достижением теоретической физики XX века стало построение теории электрослабого взаимодействия кварков и лептонов, объединяющей электромагнитное и слабое взаимодействия и включающей в себя КЭД.
    Участвующие в сильном взаимодействии частицы должны обладать квантовой характеристикой – цветовым зарядом, носителями которого являются кварки. Также цветом обладают переносчики сильного взаимодействия – восемь безмассовых частиц глюонов g. Для описания сильного взаимо­действия на фундаментальном уровне построена теория, называемая квантовой хромодинамикой (КХД). Между составными системами, барионами, не обладающими цветом в явном виде, действует остаточное сильное взаимодействие, примером которого являются ядерные силы между нуклонами. Переносчиками этих сил являются мезоны.
    Бозон Хиггса – массивный квант поля Хиггса, ответственного за возникновение масс фундаментальных частиц. Открыт в 2012 году в экспериментах на Большом адроном коллайдере (ЦЕРН, Женева). Бозон Хиггса имеет спин J = 0 и массу mc² ~ 125 ГэВ.

5.2. Диаграммы Фейнмана

    Фундаментальное взаимодействие сводится к точечному испусканию и поглощению одного калибровочного бозона фермионом. Стандартная Модель позволяет рассчитать результат этого взаимодействия с помощью специальной техники, которая носит название диаграмм Фейнмана.
    Диаграммы Фейнмана – универсальный графический способ изображения развития во времени превращения элементарных частиц в терминах элементарных актов взаимодействия, дополненный алгоритмом расчёта вероятности этих процессов.
    В Стандартной Модели все фундаментальные фермионы обладают способностью испускать или поглощать в одном акте только один из  носителей взаимодействия. В соответствие с тем, какой именно калибровочный бозон испускает и поглощает фундаментальный фермион, говорят о сильном, слабом и электромагнитном взаимодействиях. Чтобы изобразить эти процессы на диаграммах, вводят вершину, в которой происходит элементарный акт взаимодействия (рис. 5.1).

Рис.5.1. Фундаментальная вершина, описывающая локальное взаимодействие в квантовой теории (элементарный узел диаграммы Фейнмана).

    В дальнейшем будем предполагать, что ось времени на диаграммах направлена слева направо. Таким образом, слева находятся все частицы, существовавшие в начале процесса, справа – конечный набор частиц. Фермионы обозначаются сплошной линией со стрелкой, направление которой обозначает частицу или античастицу. Фермионная линия (ток) должна быть непрерывна.
    Бозонные линии обозначаются в соответствии с типом переносимого взаимодействия. Примеры элементарных вершин для трех взаимодействий приведены в таблице:

Взаимодействие	Заряд	Кварки	Лептоны
Сильное	Цветовой заряд
Электромагнитное	Электрический заряд
Слабое	Слабый заряд обеспечивает переходы с изменением аромата d → u, e– → ν
	Нейтральный бозон Z не может изменить аромат частицы

    Точки испускания или поглощения бозонов соответствуют вершинам взаимодействия. Если линия, соответствующая частице, заключена между двумя вершинами, то речь идет о виртуальной частице, которая выполняет роль переносчика взаимодействия. В этом случае в вершине выполняются все законы сохранения для соответствующего взаимодействия, кроме закона сохранения энергии. Если образование виртуальной частицы нарушает баланс энергии на величину ΔЕ, то время, в течение которого допустимо данное нарушение, определяется соотношением неопределенности: Δt ≈ ћ/E. В момент поглощения виртуальной частицы баланс энергии восстанавливается. Для виртуальной частицы не выполняется соотношение E² = p²c² + m²c⁴.
    Если же один конец линии свободен, то речь идет о реальной частице, для которой должны выполняться все законы сохранения.
    Константы связи. Силу взаимодействия в теории поля характеризует соответствующая константа связи, соответствующая вероятности испускания или поглощения кванта этого поля. Значения данных констант зависят от масштаба расстояний, на которых происходит взаимодействие (или, что одно и то же – от масштаба энергий процесса).

Рис. 5.2. Диаграмма взаимодействия двух фермионов

    Для частиц со спином J = 0 амплитуду процесса, показанного на рис. 5.2, можно представить в виде:

A ~ α^1/2·[пропагатор]α^1/2.

Пропагатор ~(m²c² − q²)^-1, где q² = E²/c² − ² − квадрат 4-импульса виртуальной частицы массы m.
    Вероятность процесса пропорциональна квадрату модуля амплитуды A² и определяется несколькими факторами. В первую очередь, это величина константы взаимодействия, так как каждая вершина дает вклад ~ α. Во-вторых, это степень виртуальности частицы-переносчика, то есть степень нарушения соотношения E² = p²c² + m²c⁴. Существенную роль играет также энергия реакции и чем реакция энергетически выгоднее, тем выше ее вероятность.

5.3. Калибровочные бозоны

(данные из  K.A. Olive et al. (PDG), Chin. Phys. C, 38, 090001 (2014))

5.4. Лептоны

    Класс лептонов образуют частицы со спином J = 1/2, не участвующие в сильных взаимодействиях. Это электрон e^-, отрицательно заряженные мюон μ^- и тау-лептон τ^- и три нейтральные частицы - электронное нейтрино ν_e, мюонное нейтрино ν_μ и тау-нейтрино ν_τ. Лептоны считаются бесструктурными частицами. Размер их < 10^-17 см. Лептоны формируют три поколения, состоящие из заряженного лептона и нейтрино. Каждый лептон имеет античастицу. Это позитрон e⁺, положительно заряженные мюон μ⁺ и таон τ⁺ и три типа антинейтрино _e, _μ, _τ.

Частицы			Античастицы
Поколения
I	II	III	I	II	III
νe	νμ	ντ	e	μ	τ
e-	μ-	τ-	e+	μ+	τ+

Основные характеристики заряженных лептонов
	Электрон	Мюон	Тау-лептон
Масса, mc2 (МэВ)	0.511	105.66	1777
Спин J (ћ)	1/2	1/2	1/2
Электрический заряд (e)	-1	-1	-1
Магнитный момент (eћ/(2mc))	1.001	1.001	1 ± 0.05
Время жизни τ	> 5·1026 лет	2.2·10-6 c	2.9·10-13 c
Каналы распада		e-eνμ	e-eντ, μ-μντ адроны ντ
Лептонные числа
Электронное Le	+1	0	0
Мюонное Lμ	0	+1	0
Таонное Lτ	0	0	+1

    Спиральность частицы определяется взаимным направлением векторов спина  и импульса :

Частицы с нулевой массой имеют определенную спиральность и для них она является «хорошим квантовым числом», то есть сохраняется.
    Нейтрино имеет отрицательную спиральность h = -1, то есть является частицей с левой поляризацией, направление вектора спина противоположно направлению движения частицы. Антинейтрино, наоборот, всегда имеет положительную спиральность h = +1, то есть правополяризованно.

Рис. 5.3. Взаимное направление импульсов и собственных моментов продуктов распада π0‑мезона в СЦИ.

    Определенная спиральность нейтрино накладывает ограничения на некоторые распады, например, распад нейтрального пиона на два нейтрино π⁰ → ν_e + _e. Все законы сохранения (энергии, электрического заряда, электронного лептонного числа) выполнены. Однако данный канал распада π⁰ запрещен. При распаде
π⁰ → ν_e + _e, исходя из закона сохранения импульса, нейтрино должны разлетаться строго в противоположные стороны. Момент количества движения ν_e и  _e  . Однако, спин π⁰‑мезона равен J = 0, то есть данный распад невозможен из-за нарушения закона сохранения момента количества движения

J_i = J_π = 0, J_f = 1.

Задачи

5.1. Покажите, что из представления об обмене виртуальными частицами, лежащего в основе квантовой теории поля, следует закон Кулона для силы, действующей между двумя электрическими зарядами. 

5.2. Нарисоуйте основные диаграммы Фейнмана для следующих процессов: 1) рассеяние электрона на электроне; 2) эффект Комптона; 3) электрон-позитронная аннигиляция; 4) фотоэффект в кулоновском поле ядра; 5) образование электрон-позитронной пары в кулоновском поле ядра. Какие виртуальные частицы участвуют в этих процессах? 

5.3. Оценить отношение сечения двух- и трехфотонной аннигиляции электрона и позитрона. Нарисовать соответствующие диаграммы Фейнмана. 

5.4. Одним из способов образования мюонов является распад заряженного пиона:
π⁺ → μ⁺ + ν_μ или π⁻ → μ⁻ + _μ. Рассчитать энергии мюонов, рождающихся в двухчастичном распаде π⁺- мезона. Почему не наблюдаются распады с образованием электронной лептонной пары
π⁺ → e⁺ + ν_e и π⁻ → e⁻ + _e? 

5.5. Нарисуйте диаграмму Фейнмана распада мюона  μ⁻ → e⁻ + _e  + ν_μ.  

5.6. Определите максимальную кинетическую энергию Т_е и импульс p_е электрона, образующегося при распаде мюона μ⁻ → e⁻ + _e  + ν_μ.  

5.7. Какие из приведенных ниже реакций под действием антинейтрино возможны, какие запрещены и почему:
 1) _μ + p → n + μ⁺; 2) _e + n → p + μ⁻; 3) _μ + n → p + μ⁻. 

5.8. Рассмотрите взаимодействие реакторного антинейтрино с веществом. Нарисуйте простейшие диаграммы Фейнмана такого взаимодействия. 

5.9. Определите длину L и время t пробега реакторного антинейтрино в воде. Сечение взаимодействия σ ≈ 10^-43 см².  

5.10. Исходя из характеристик переносчиков слабого взаимодействия, определите радиус слабых сил.

5.11. Нарисуйте диаграммы следующего порядка малости рассеяния электрона на электроне. Оцените вклад от этих диаграмм.

5.12. Перечислите лептонные числа лептонов и антилептонов. Какие квантовые числа сохраняются в реакциях и распадах с участием лептонов? Каковы общие свойства лептонов?  

5.13. Какие из указанных реакций разрешены, а какие запрещены и почему? Для разрешенных процессов нарисовать диаграммы Фейнмана.

μ + p →  μ+ + n,	νμ + n → e− + p,
μ− → e− + γ,	π− → e− + e,
μ− → e− + e + νμ,	τ− → e− + e + ντ,
νμ + p → μ+ + n,	τ− → μ− + μ + ντ,

5.14. Какие из перечисленных реакций с участием антинейтрино возможны, какие запрещены и почему? 

e + p →  = n + e+,	μ + n → p + e+,
μ + n → p + μ−,	νμ + n → p + μ−,
e + p → e− + Σ+ + K+,	e + n → p + e−.

5.15. Проверьте сохранение лептонных чисел в следующих распадах: 

1) μ+ → e+ + νe + μ,	2) τ+ → μ+ + τ + νμ,
3) n →  = p + e− + e,	4) π+ → μ+ + νμ.

5.16. Какую энергию должны иметь встречные пучки e⁺e⁻ для рождения τ⁺τ⁻-лептонов на встречных пучках? Рассчитайте порог рождения e⁺ + e⁻ = τ⁺ + τ⁻ на неподвижном электроне. Объясните различие пороговых энергий для реакций на неподвижной мишени и в коллайдерах.
Ответ: ∑T^* = -Q = 3554 МэВ; T_пор ≈ 12.6 ГэВ

5.17. В каких реакциях можно обнаружить образование ν_τ и _τ?   

5.18. Опишите эксперимент Райнеса и Коэна по обнаружению электронного антинейтрино.  

5.19. Какие массы имеют τ⁺- и τ⁻-лептоны? Приведите реакции их распада, нарисуйте диаграммы Фейнмана.  

5.20.  Исходя из времени жизни, оценить ширины распада μ⁻ и τ⁻.
Ответ: Γ_μ = 3·10^–10 эВ, Γ_τ = 2.3·10^–3 эВ

5.21.  Нарисуйте диаграммы Фейнмана для следующих распадов:

μ+ → e+ + νe + μ,	μ− → e− + e + νμ,
τ+ → e+ + τ + νe,	τ− → e− + ντ + e,
τ+ → μ+ + τ + νμ,	τ− → μ− + ντ + μ.

5.22. Чем отличаются ν_μ от ν_τ?  

5.23. Возможны ли следующие реакции: ν_e + ν_e→ e⁻ + e⁺, ν_e + _e → e⁻ + e⁺?  Для возможных реакций нарисуйте диаграммы Фейнмана.  

5.24. Могут ли взаимодействовать два нейтрино? Если могут, то нарисуйте наиболее вероятную диаграмму этого взаимодействия.  

5.25. Для каких частиц спиральность точное, а для каких – приближенное квантовое число?  Обоснуйте ответ.

5.26. Что можно сказать о спиральности фотона? Как ориентирован спин фотона относительно его импульса?  

5.27. Какие процессы описывают следующие диаграммы?

5.28. Какой из каналов распада заряженного K-мезона на лептонную пару разрешен, а какой запрещен и почему? Рассчитайте энергии продуктов распада.
Ответ: K⁻ → e⁻_e, E_e ≈ m_K/2, распад подавлен;  K⁻ → μ⁻_μ, T_μ = 153 МэВ, E_ν = 236 МэВ

27.10.2016